楊輝三角說課稿111

1、楊輝三角說課稿 依蘭高中數(shù)學(xué)組 段性春一、說教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡(jiǎn)析 楊輝三角是高中數(shù)學(xué)教材第三冊(cè)（選修）第二章第二節(jié)，在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系,這為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。本課的主要內(nèi)容是總結(jié)楊輝三角基本性質(zhì)及研究發(fā)現(xiàn)楊輝三角中蘊(yùn)涵的優(yōu)美的數(shù)學(xué)規(guī)律。二、說教學(xué)目標(biāo)根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征 ，制定如下教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能：了解有關(guān)楊輝三角的簡(jiǎn)史，理解并掌握有關(guān)楊輝三角的性質(zhì)2.過程與方法：通過研究楊輝三角的數(shù)字規(guī)律，充分理解、體驗(yàn)由特殊到一般的探索過程和歸納與演繹有機(jī)結(jié)合的重要的思想方法3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過小組討論，培

2、養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作實(shí)踐創(chuàng)新的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，探索精神和應(yīng)用能力。讓學(xué)生在探索過程體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的成功的愉悅。三、說教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本著課程標(biāo)準(zhǔn)，在吃透教材基礎(chǔ)上，我確立了如下的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生理解、體驗(yàn)楊輝三角的性質(zhì)的探索、發(fā)現(xiàn)的過程與方法，掌握由特殊到一般的歸納方法和嚴(yán)格的演繹證明的有機(jī)結(jié)合。教學(xué)難點(diǎn)：楊輝三角的性質(zhì)的探索和發(fā)現(xiàn)。四、說教學(xué)方法： 數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維，發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”，我們?cè)谝詭熒葹橹黧w，又為客體的原則下，展現(xiàn)獲取知識(shí)和方法的思維過程?；诒竟?jié)課的特點(diǎn)，應(yīng)著重采用建構(gòu)

3、主義觀點(diǎn)指導(dǎo)下的探究的、討論的教學(xué)方法。五、說教學(xué)過程通過介紹楊輝三角的相關(guān)歷史及觀察楊輝三角，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)有關(guān)楊輝三角的基本性質(zhì)（研究的基礎(chǔ)）及介紹發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律的主要方法（研究的策略），找出其中蘊(yùn)涵的一些有趣的數(shù)量關(guān)系以及數(shù)學(xué)規(guī)律，把教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的問題，讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的問題意識(shí)，使學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過程成為“猜想”，繼而緊張地沉思，期待尋找理由和證明過程。在實(shí)際情況下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生利用已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，同化和索引出當(dāng)前學(xué)習(xí)的新知識(shí)，這樣獲取的知識(shí)，不但易于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中。（一）回顧舊知用電腦展示楊輝三角對(duì)照楊輝三角，回顧已經(jīng)學(xué)過的楊輝三角的構(gòu)造及基本性質(zhì)，

4、并由學(xué)生敘述。 1與二項(xiàng)式定理的關(guān)系：楊輝三角的第n行就是二項(xiàng)式展開式的系數(shù)列 。 2對(duì)稱性：楊輝三角中的數(shù)字左、右對(duì)稱，對(duì)稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”。 3結(jié)構(gòu)特征：楊輝三角除斜邊上1以外的各數(shù)，都等于它“肩上”的兩數(shù)之和。其中.（二）分組研究楊輝三角規(guī)律（將全班學(xué)生按前后排四或五人一組分成若干研究小組） 1介紹數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法：楊輝三角中蘊(yùn)涵了許多優(yōu)美的規(guī)律。古今中外，許多數(shù)學(xué)家如賈憲、楊輝、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過，并將研究結(jié)果應(yīng)用于其他工作。 2學(xué)生嘗試探索活動(dòng)。 按研究數(shù)字規(guī)律的方向開展研究工作，工作的重點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師巡視指導(dǎo)，必要時(shí)可參與某小組的討論活動(dòng)。最后由小組代表陳

5、述研究結(jié)果及建立猜想的大致思路。 有關(guān)數(shù)字規(guī)律及性質(zhì)：（1）楊輝三角中第1行的所有數(shù)都是奇數(shù)（kN*）；第行的所有數(shù)（除兩端的1以外）都是偶數(shù)（kN*）；其他行的所有數(shù)中，一定既有偶數(shù)又有除1以外的奇數(shù)。 （2）第p（p為素?cái)?shù)）行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除，其逆命題也成立。即如果p是素?cái)?shù)，那么在楊輝三角的第p行中，除去兩端的數(shù)字1外，行數(shù)p整除其余的所有的數(shù)，即p| (r=1，2，p1). 我們從楊輝三角中一個(gè)確定的數(shù)開始(例如10)，根據(jù)楊輝三角的基本性質(zhì)，它是它左右肩上的兩數(shù)之和(10=4+6)；然后把左肩固定而考慮右肩，它又是它左右肩上的兩數(shù)的和(6=3+3).這樣進(jìn)行下去

6、，總是把左肩固定而對(duì)右肩運(yùn)用這一規(guī)則，我們便可以得出：楊輝三角中，從一個(gè)數(shù)的“左肩”出發(fā)，向右上方作一條和左斜邊平等的直線，位于這條直線上的各數(shù)的和等于這個(gè)數(shù).圖中所表示的就是10=4+6=4+(3+3)=4+3+(2+1)，即1+2+3+4=10。將上面的規(guī)律推廣，我們可以得到：在楊輝三角中，第r條斜線(從右上到左下)上前n個(gè)數(shù)字的和，等于第r+1條斜線上的第n個(gè)數(shù). 根據(jù)這一性質(zhì)，請(qǐng)猜想下列數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1+1+1= ，1+2+3+ = ， 1+3+6+= ， 1+4+10+= ，一般地，我們有：.根據(jù)楊輝三角的對(duì)稱性，類似可得：楊輝三角中，第r條斜(從左上到右下)上前n個(gè)數(shù)字的和，

7、等于第r+1條斜線上第n個(gè)數(shù)。介紹斐波那契“兔子繁殖問題”增強(qiáng)趣味性 中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作算術(shù)之法中提出了一個(gè)饒有趣味的問題：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過一個(gè)月就開始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無死亡問一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？ 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，從第三項(xiàng)開始，任何一個(gè)數(shù)都等于它前面的兩個(gè)數(shù)之和，即a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，(nN*)。這就是著名的斐波那契數(shù)列.它所具有的性質(zhì)都是楊輝三角中有蘊(yùn)含的性質(zhì)， 楊輝三角與“彈子游戲”： 在

8、游藝場(chǎng)，可以看到如圖的彈子游戲，小球 (黑色 ) 向容器內(nèi)跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得獎(jiǎng)品。試問：為什么兩邊區(qū)獎(jiǎng)品高于中間區(qū)獎(jiǎng)品？（通過“彈子游戲”了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚，增強(qiáng)愛國(guó)情感。） 照這樣計(jì)算第n+1層有n+1個(gè)通道，彈子通過各通道的概率將是多少？通過類推，很容易得到彈子落到第n+1層各個(gè)框子里的概率分別為.這與楊輝三角有何關(guān)系？如果在漏斗里放顆彈子，它們落在第n+1層中各個(gè)框子中彈子的數(shù)目(按可能情形來計(jì)算)正好是楊輝三角的第n行的數(shù)字，即，楊輝三角與“縱橫路線圖” “縱橫路線

9、圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？ A BAB由此看來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯(lián)系。（三）課堂練習(xí)：利用幻燈片打出（四）課時(shí)小結(jié)： 通過“楊輝三角”了解古代數(shù)學(xué)家楊輝，通過“彈子游戲”了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚，系統(tǒng)探究了楊輝三角的有關(guān)性質(zhì)以及楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律。（五）課后作業(yè)：將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)只由單位分?jǐn)?shù)(分子為1的分?jǐn)?shù))組成的三角形.這個(gè)三角形最早是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz)作出，所以叫做萊布尼茨單位分?jǐn)?shù)三角形，或簡(jiǎn)稱為萊布尼茨三角形.萊布尼茨三角形有許多跟楊輝三角類似的性質(zhì).例如，楊輝三角中，除1以外的每一個(gè)數(shù)，都等