楊輝三角說課稿111

1、楊輝三角說課稿 依蘭高中數(shù)學組 段性春一、說教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析 楊輝三角是高中數(shù)學教材第三冊（選修）第二章第二節(jié)，在此之前，學生已經(jīng)學習了楊輝三角與二項式系數(shù)之間的關(guān)系,這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。本課的主要內(nèi)容是總結(jié)楊輝三角基本性質(zhì)及研究發(fā)現(xiàn)楊輝三角中蘊涵的優(yōu)美的數(shù)學規(guī)律。二、說教學目標根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學生已有的認知結(jié)構(gòu)心理特征 ，制定如下教學目標：1.知識與技能：了解有關(guān)楊輝三角的簡史，理解并掌握有關(guān)楊輝三角的性質(zhì)2.過程與方法：通過研究楊輝三角的數(shù)字規(guī)律，充分理解、體驗由特殊到一般的探索過程和歸納與演繹有機結(jié)合的重要的思想方法3.情感態(tài)度與價值觀：通過小組討論，培

2、養(yǎng)學生實際動手操作實踐創(chuàng)新的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，探索精神和應用能力。讓學生在探索過程體驗數(shù)學活動，數(shù)學發(fā)現(xiàn)的成功的愉悅。三、說教學重點與難點本著課程標準，在吃透教材基礎(chǔ)上，我確立了如下的教學重點、難點：教學重點：讓學生理解、體驗楊輝三角的性質(zhì)的探索、發(fā)現(xiàn)的過程與方法，掌握由特殊到一般的歸納方法和嚴格的演繹證明的有機結(jié)合。教學難點：楊輝三角的性質(zhì)的探索和發(fā)現(xiàn)。四、說教學方法： 數(shù)學是一門培養(yǎng)人的思維，發(fā)展人的思維的重要學科，因此，在教學中，不僅要使學生“知其然”而且要使學生“知其所以然”，我們在以師生既為主體，又為客體的原則下，展現(xiàn)獲取知識和方法的思維過程?；诒竟?jié)課的特點，應著重采用建構(gòu)

3、主義觀點指導下的探究的、討論的教學方法。五、說教學過程通過介紹楊輝三角的相關(guān)歷史及觀察楊輝三角，引導學生總結(jié)有關(guān)楊輝三角的基本性質(zhì)（研究的基礎(chǔ)）及介紹發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律的主要方法（研究的策略），找出其中蘊涵的一些有趣的數(shù)量關(guān)系以及數(shù)學規(guī)律，把教學內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的問題，讓學生產(chǎn)生強烈的問題意識，使學生的整個學習過程成為“猜想”，繼而緊張地沉思，期待尋找理由和證明過程。在實際情況下進行學習，可以使學生利用已有知識與經(jīng)驗，同化和索引出當前學習的新知識，這樣獲取的知識，不但易于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中。（一）回顧舊知用電腦展示楊輝三角對照楊輝三角，回顧已經(jīng)學過的楊輝三角的構(gòu)造及基本性質(zhì)，

4、并由學生敘述。 1與二項式定理的關(guān)系：楊輝三角的第n行就是二項式展開式的系數(shù)列 。 2對稱性：楊輝三角中的數(shù)字左、右對稱，對稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”。 3結(jié)構(gòu)特征：楊輝三角除斜邊上1以外的各數(shù)，都等于它“肩上”的兩數(shù)之和。其中.（二）分組研究楊輝三角規(guī)律（將全班學生按前后排四或五人一組分成若干研究小組） 1介紹數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法：楊輝三角中蘊涵了許多優(yōu)美的規(guī)律。古今中外，許多數(shù)學家如賈憲、楊輝、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過，并將研究結(jié)果應用于其他工作。 2學生嘗試探索活動。 按研究數(shù)字規(guī)律的方向開展研究工作，工作的重點是發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師巡視指導，必要時可參與某小組的討論活動。最后由小組代表陳

5、述研究結(jié)果及建立猜想的大致思路。 有關(guān)數(shù)字規(guī)律及性質(zhì)：（1）楊輝三角中第1行的所有數(shù)都是奇數(shù)（kN*）；第行的所有數(shù)（除兩端的1以外）都是偶數(shù)（kN*）；其他行的所有數(shù)中，一定既有偶數(shù)又有除1以外的奇數(shù)。 （2）第p（p為素數(shù)）行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除，其逆命題也成立。即如果p是素數(shù)，那么在楊輝三角的第p行中，除去兩端的數(shù)字1外，行數(shù)p整除其余的所有的數(shù)，即p| (r=1，2，p1). 我們從楊輝三角中一個確定的數(shù)開始(例如10)，根據(jù)楊輝三角的基本性質(zhì)，它是它左右肩上的兩數(shù)之和(10=4+6)；然后把左肩固定而考慮右肩，它又是它左右肩上的兩數(shù)的和(6=3+3).這樣進行下去

6、，總是把左肩固定而對右肩運用這一規(guī)則，我們便可以得出：楊輝三角中，從一個數(shù)的“左肩”出發(fā)，向右上方作一條和左斜邊平等的直線，位于這條直線上的各數(shù)的和等于這個數(shù).圖中所表示的就是10=4+6=4+(3+3)=4+3+(2+1)，即1+2+3+4=10。將上面的規(guī)律推廣，我們可以得到：在楊輝三角中，第r條斜線(從右上到左下)上前n個數(shù)字的和，等于第r+1條斜線上的第n個數(shù). 根據(jù)這一性質(zhì)，請猜想下列數(shù)列的前n項和：1+1+1+1= ，1+2+3+ = ， 1+3+6+= ， 1+4+10+= ，一般地，我們有：.根據(jù)楊輝三角的對稱性，類似可得：楊輝三角中，第r條斜(從左上到右下)上前n個數(shù)字的和，

7、等于第r+1條斜線上第n個數(shù)。介紹斐波那契“兔子繁殖問題”增強趣味性 中世紀意大利數(shù)學家斐波那契的傳世之作算術(shù)之法中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子設(shè)所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡問一對剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對兔子？ 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，從第三項開始，任何一個數(shù)都等于它前面的兩個數(shù)之和，即a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，(nN*)。這就是著名的斐波那契數(shù)列.它所具有的性質(zhì)都是楊輝三角中有蘊含的性質(zhì)， 楊輝三角與“彈子游戲”： 在

8、游藝場，可以看到如圖的彈子游戲，小球 (黑色 ) 向容器內(nèi)跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得獎品。試問：為什么兩邊區(qū)獎品高于中間區(qū)獎品？（通過“彈子游戲”了解現(xiàn)代數(shù)學家華羅庚，增強愛國情感。） 照這樣計算第n+1層有n+1個通道，彈子通過各通道的概率將是多少？通過類推，很容易得到彈子落到第n+1層各個框子里的概率分別為.這與楊輝三角有何關(guān)系？如果在漏斗里放顆彈子，它們落在第n+1層中各個框子中彈子的數(shù)目(按可能情形來計算)正好是楊輝三角的第n行的數(shù)字，即，楊輝三角與“縱橫路線圖” “縱橫路線

9、圖”是數(shù)學中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？ A BAB由此看來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯(lián)系。（三）課堂練習：利用幻燈片打出（四）課時小結(jié)： 通過“楊輝三角”了解古代數(shù)學家楊輝，通過“彈子游戲”了解現(xiàn)代數(shù)學家華羅庚，系統(tǒng)探究了楊輝三角的有關(guān)性質(zhì)以及楊輝三角蘊含的數(shù)字排列規(guī)律。（五）課后作業(yè)：將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù)，就得到一個只由單位分數(shù)(分子為1的分數(shù))組成的三角形.這個三角形最早是由德國數(shù)學家萊布尼茨(Leibniz)作出，所以叫做萊布尼茨單位分數(shù)三角形，或簡稱為萊布尼茨三角形.萊布尼茨三角形有許多跟楊輝三角類似的性質(zhì).例如，楊輝三角中，除1以外的每一個數(shù)，都等