第2章數(shù)字邏輯與數(shù)字系統(tǒng)

1、第2章 數(shù)字邏輯與數(shù)字系統(tǒng),主要內(nèi)容 簡單介紹： 數(shù)字邏輯的發(fā)展歷史 常用的定律及化簡邏輯表達(dá)式的方法 基本的邏輯門電路,2.1 邏輯函數(shù)的表示方法,如果某人說，星期天去不去看電影要看情況而定：“兒子陪我一起去看電影，我就去看電影；兒子能自己去看電影，我就不去看電影；兒子不愿看電影，我自己去看電影；不讓帶著兒子去看電影，我就不去看電影”。他到底去不去看電影呢？,能不能用類似“1+2=3”這樣簡單的符號、公式，來描述、計算邏輯問題呢？ 經(jīng)過眾多科學(xué)家的努力，直到20世紀(jì)30年代才有了確切的答案。其中德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲、英國數(shù)學(xué)家布爾、美國科學(xué)家香農(nóng)等做出了極大貢獻(xiàn)。 20世紀(jì)50年代以后，陸續(xù)出

2、現(xiàn)了采用“真值表”、“卡諾圖“、“邏輯圖”、“波形圖”、“點陣圖”和計算機(jī)硬件設(shè)計語言“ABLE-HDL”、“VHDL等方法分析和設(shè)計數(shù)字電路。,萊布尼茲（Leibniz）首先提出用演算符號表示邏輯語言的思想，喬治.布爾（George Boole）于1938年發(fā)表“布爾代數(shù)”，香農(nóng)（Shannon）把它用于分析電話開關(guān)電路，1952年維奇（Veitch）和卡諾（Karnaugh）先后提出圖解法的概念和方法。邏輯代數(shù)成為電子數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計工具。 萊布尼茲 布爾 香農(nóng)（美）,2.1.1邏輯變量的表示方法及邏輯運(yùn)算規(guī)則,普通代數(shù)中若： F(x)=2x+1, - x+,在x的取值范圍內(nèi)，都可以計算出F(

3、x)的值。 在邏輯代數(shù)中，可變的量只有0和1，其演算規(guī)則與我們已熟悉的算術(shù)、代數(shù)運(yùn)算差異很大。 在邏輯代數(shù)中，代表變量或結(jié)果的符號可使用任意符號，習(xí)慣上用A、B、C等英文字母代表邏輯值。對運(yùn)算符號有特別規(guī)定。,1 邏輯運(yùn)算符、表達(dá)式,邏輯代數(shù)的表達(dá)式由變量符號及運(yùn)算符號組成，如果兩個表達(dá)式的運(yùn)算結(jié)果相同，就可以用等號“=”連起來。,（1）“與”運(yùn)算(Logic Multiplication),又叫“邏輯乘”或“邏輯與” 符號為 “” 或者 “” A=1, B=1 則 AB=1 A=0, B=0 則 AB=0 A=1, B=0 則 AB=0 A=0, B=1 則 AB=0,（2）“或”運(yùn)算(Lo

4、gic Addition),又叫“邏輯加”或“邏輯和” 符號為 “” 或者 “”,表示其兩邊相等（以下同） A=1, B=0 則 A+B=1 A=0, B=1 則 A+B=1 A=1, B=1 則 A+B=1 A=0, B=0 則 A+B=0,（3）非運(yùn)算（Inversion）,2 . 基本邏輯運(yùn)算定律,3. 三個邏輯運(yùn)算規(guī)則,邏輯代數(shù)還有一些運(yùn)算規(guī)律，包括如下。 (1) 代入規(guī)則 任何一個含有A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)F，則此等式仍然成立。 F=B+D A+C A = F + C F =( B+D)+ C (B+D),(2) 反演規(guī)則 它是反演律的推廣。設(shè)A為一個

5、邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果把A中所有“”變成“+”，“+”變成“”，“1”變成“0”，“0”變成“1”，原變量變成反變量，反變量變成原變量，則得到新的函數(shù)表達(dá)式就是A非。,(3) 對偶規(guī)則 設(shè)A為一個邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果把A中所有“ ”變成“+”，“+”變成“ ”，“1”變成“0”，“0”變成“1”，而變量保持不變，則得到新的函數(shù)表達(dá)式是A ， A是A的對偶。,2.1.2 邏輯函數(shù)的相等,1 真值表方法:以表格的形式列出函數(shù)的所有可能取值，如果兩個函數(shù)真值表相同，則函數(shù)相等。 例如F1=A+B, F2=A+B ，F(xiàn)1=F2嗎？,2.1.3 邏輯函數(shù)的化簡方法,香農(nóng)1838年首先利用布爾代數(shù)分析了繼電

6、器開關(guān)線路，發(fā)現(xiàn)利用布爾代數(shù)可以在邏輯功能不變的情況下簡化電路結(jié)構(gòu)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。他的結(jié)論是，凡是能用邏輯函數(shù)表示的數(shù)字系統(tǒng)都可以通過邏輯代數(shù)化簡方法來設(shè)計、驗證該系統(tǒng)是否是最簡單系統(tǒng)。,1 邏輯代數(shù)化簡方法,利用各種定律、規(guī)則可以對邏輯表達(dá)式化簡，從而使表達(dá)式包括的項數(shù)和變量達(dá)到最少。例如： 但由于化簡方法不同，可能結(jié)果不同，不易確定那種結(jié)果是最理想的結(jié)果。,2 卡諾圖法,在變量較少，6個變量以內(nèi)，利用卡諾圖化簡函數(shù)比較方便，其結(jié)果一定是最簡單表達(dá)式。此法不需要什么技巧，只要按照規(guī)則，細(xì)心去做就可成功。 (1) 卡諾圖規(guī)則 “積之和”表達(dá)式 表達(dá)式由若干項之和組成，其中每項由n個變量（包

7、括它們的原變量或反變量）之積組成。積之和表達(dá)式也稱SP（Sum of Product）形式表達(dá)式。,如果積的各項中，所有變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，稱該項為最小項。本例中，前三個項是最小項，后兩個項不是最小項。SP形式表達(dá)式中最多有2的n次方個最小項(此例N=3)。,(2) 圖解法,1）用方格表示展開項 從上面的定理知道，具有n個變量中的任何一個邏輯函數(shù)，都可以展開成一組最小項的和，最大項數(shù)是2的n次方。因此可以把一個平面表格，分成2的n次方個小方格，用方格來表示可能展開的全部最小項。為了清楚，如果某最小項的邏輯值為0，方格中寫0或不寫任何符號，某最小項的邏輯值為1, 方格中

8、寫1。下圖表示卡諾圖與真值表的對應(yīng)關(guān)系。,同理，如果表達(dá)式中有3個變量，例如A、B、C，則用24（或42）個方格陣列存放函數(shù)值。,類推，有4個變量，例如A、B、C、D，則用44個方格陣列存放每個項。當(dāng)變量多余6時，由于結(jié)果方格陣列表示得過于復(fù)雜，不直觀，不適于使用卡諾圖。,注：變量積中的變量名稱的排列順序可以任意，但要在各項中保持一致，一般按英文字母順序，從左到右，便于操作。,2）卡諾圖的編號 為了圖解時直觀，任意一個小方格的編號用n位二進(jìn)制數(shù)表示，其與相鄰小方格的編號僅有1位不同（即采用循環(huán)碼編號）。注意：01與10是2位變化，不相鄰。00與10是1位變化，相鄰。,循環(huán)碼,循環(huán)碼是一種無權(quán)碼

9、，循環(huán)碼編排的特點是相鄰兩個數(shù)碼之間符合卡諾圖中的鄰接條件，即相鄰兩個數(shù)碼之間只有一位碼元不同。符合這個特點的有多種方案，但循環(huán)碼只能是下面表中的那種。它的優(yōu)點是沒有瞬時錯誤。因為在多個數(shù)碼同時變換過程中，在速度上會有快有慢，造成瞬時輸出結(jié)果錯誤。,4位循環(huán)碼,2）卡諾圖的編號 00與10是1位變化，根據(jù)這個規(guī)定下圖0號（000）與4號（100），1號（001）與5號（101）相鄰的位置。,3）方格中的內(nèi)容,方格內(nèi)容只能是0或1,它是函數(shù)項的各變量的積值。方格中各變量取值對應(yīng)它的編號各位的值。,4）小方格相鄰,由于規(guī)定相鄰的小方格的二進(jìn)制編號只能有一位有變化。因此從卡諾圖上看，有下列情況表示方

10、格在邏輯上是相鄰的： 行、列緊挨著的方格為相鄰； 每行/列的兩端的方格為相鄰； 用兩個4x4的表格表示5個變量的卡諾圖，則兩個表格之間對應(yīng)位置的小方格也相鄰。,判斷兩個方格是否在邏輯上相鄰的標(biāo)準(zhǔn)：兩方格的二進(jìn)制編號只有1位不同。 編號采用循環(huán)編碼可以如上所示，直觀判斷相鄰。,（3）卡諾圖化簡規(guī)則,在卡諾圖上，當(dāng)內(nèi)容相同（都為1或0）的方格有相鄰情況時 ，表示可合并表達(dá)式項。合并規(guī)則是： 1)若有取值相同的兩個方格相鄰,可以合并成一項，合并后可消去一個相異的變量，保留相同的因子。,（3）卡諾圖化簡規(guī)則,2)若有取值相同的四個方格相鄰,可以合并成一項，合并后可消去兩個相異的變量，保留相同的因子。

11、3)若有取值相同的八個方格相鄰,可以合并成一項，合并后可消去三個相異的變量，保留相同的因子。,(4)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)方法,化簡目標(biāo)： 表達(dá)式中乘積項的個數(shù)最少； 每個乘積項中變量個數(shù)最少。 方法： 1)在卡諾圖中，依次查找方格內(nèi)容相同（為1或0)的，2相鄰、4相鄰、8相鄰的方格（方格可重復(fù)使用）；,2) 消去相異變量，沒有相鄰的方格保留其因子； 3)用+號把各乘積項連起來，就是化簡結(jié)果。 例如：化簡F函數(shù),1)畫出F的卡諾圖 2)合并1,9方格。即1和9方格中包括A和A非，去掉此因子，剩下 ; 3)合并4,6方格。即4和6方格中包括C和C非，去掉此因子，剩下 ;,(4)合并2,6方格。即2

12、和6方格中包括B和B非，去掉此因子，剩下 ; (5)簡化的結(jié)果是：把三個乘積用加號連起來的表達(dá)式。 比原來的函數(shù)少了2項，每項中少了1個因子。,結(jié)論,如果某積之和函數(shù)有n個變量(n=6)，用卡諾圖化簡后，最多包括2的n次方個乘積項相加，每個子項最多包括n個因子（原或反變量）。 多余6個變量的函數(shù)不適合使用卡諾圖化簡。,2.2 數(shù)字電路,1840年，香農(nóng)在AT&T貝爾實驗室用實驗證實，完全可以采用繼電器元件制造出能夠?qū)崿F(xiàn)布爾代數(shù)運(yùn)算功能的計算機(jī)?？上У氖牵赂＠姿固?906年才發(fā)明真空三極管，否則現(xiàn)代電子計算機(jī)第一發(fā)明人非香農(nóng)莫屬。 如今，計算機(jī)使用的開關(guān)早已由電子管、晶體管發(fā)展成各種集成電路了

13、，但是其基本原理仍是數(shù)字邏輯。,2.2.1半導(dǎo)體與集成電路,常態(tài)下，銅、鐵等金屬很容易導(dǎo)電，稱為導(dǎo)體；玻璃、橡膠等非金屬不導(dǎo)電，稱為絕緣體。還有一些導(dǎo)電性能介于導(dǎo)體與絕緣體之間的物質(zhì)，例如單晶硅（純度很高的硅）稱為半導(dǎo)體。 如果在半導(dǎo)體中加入一些雜質(zhì)，例如在單晶硅中加入少量的硼，就會在單晶硅中增加許多可以導(dǎo)電的空穴，形成P型半導(dǎo)體；或者在單晶硅中加入少量的磷，就會在單晶硅中增加許多自由電子，形成N型半導(dǎo)體，這兩種形式都可以使單晶硅導(dǎo)的電特性得到很大改善。,如果采取某種措施，把一塊半導(dǎo)體分成P型半導(dǎo)體和N型半導(dǎo)體兩部分，就會在交界處形成PN結(jié)，在PN結(jié)的兩端加上不同方向的電壓，就可以控制PN結(jié)之

14、間是否可通過電流，根據(jù)這原理可以制成獨(dú)立的二極管、三極管。晶體管的導(dǎo)電原理與電子管的不同，它不需要加熱，因此工作時耗電少、發(fā)熱少，可以縮小產(chǎn)品體積。,集成電路是在同一塊硅片上，制成主要由二級管、三極管、導(dǎo)線等組成的電子線路。 美國德克薩斯儀器公司的研究人員基爾比（J. Kilby）1959年2月6日首創(chuàng)集成電路，在不超過4平方毫米的面積上，大約集成了20余個元件。1964年摩爾預(yù)言，集成電路上能被集成的晶體管數(shù)目，將會以每18個月翻一番的速度穩(wěn)定增長，并在今后數(shù)十年內(nèi)保持著這種勢頭。集成電路發(fā)展的歷史證明他的預(yù)言是正確的。,2.2.2 基本門電路,基本門電路可以用二極管或三極管加上一些輔助電阻

15、元件組成。,1 與門,二極管與門電路及邏輯符號,2 或門,二極管或門電路及邏輯符號,3 非門,三極管非門電路及邏輯符號,常用門電路,2.2.3 集成電路,把多個門電路、電阻、電容等集成在一個硅片上，過程電子線路，通過引腳，形成封裝的集成電路塊。,Intel 公司CPU,基本電路,基本電路包括組合邏輯電路: 編碼器、譯碼器、全加器 時序電路： 觸發(fā)器、寄存器、計數(shù)器 半導(dǎo)體存儲器： RAM、ROM,1 組合邏輯電路,（1） 編碼器 因為n位二進(jìn)制數(shù)碼有2n種狀態(tài)，所以它可代表2n組信息。我們在編碼過程中一般是采用編碼矩陣和編碼表，編碼矩陣就是在卡諾圖上指定每一方格代表某一自然數(shù)，把這些自然數(shù)填入

16、相應(yīng)的方格。,四位編碼器,真值表 卡諾圖,（2） 譯碼器 與編碼器功能相反。,(3) 加法器,用基本邏輯電路也可以組成具有算術(shù)計算功能的電路，例如圖所示的是由非門、與門和或門構(gòu)成的一位加法器邏輯圖。圖中A 、B端表示加數(shù)和被加數(shù)，S表示和、C表示進(jìn)位。,2 時序邏輯電路,時序邏輯電路有兩種形式： 同步時序電路 電路狀態(tài)只在統(tǒng)一的信號脈沖控制下才同時變化一次，如果信號脈沖沒有到來，即使輸入信號發(fā)生變化，電路的狀態(tài)仍不改變。異步時序電路 電路狀態(tài)變化不是同時發(fā)生的，它沒有統(tǒng)一的信號脈沖（時鐘脈沖用CP表示），輸入信號的變化就能引起狀態(tài)的變化。,（1）R-S觸發(fā)器 Qn+1=Sd+RdQn,（2）D

17、觸發(fā)器Qn+1=D,（3）J-K觸發(fā)器 當(dāng)CP的下降沿觸發(fā)電路工作。 當(dāng)CP=1時，Q端狀態(tài)：當(dāng)JK為00=Q保持， 01=Q置0，10=Q置1當(dāng)JK為11時； Q取反。,（4）寄存器 寄存器中用的記憶部件是觸發(fā)器，每個觸發(fā)器只能存一位二進(jìn)制碼。 按接收數(shù)碼的方式它可分為：單拍式和雙拍式。 單拍式：接收數(shù)據(jù)后直接把觸發(fā)器置為相應(yīng)的數(shù)據(jù)，不考慮初態(tài)。 雙拍式：接收數(shù)據(jù)之前，先用清0脈沖把所有的觸發(fā)器恢復(fù)為0,第二拍把觸發(fā)器置為接收的數(shù)據(jù)。,用R-S觸發(fā)器構(gòu)成的雙拍寄存器,(5) 用J-K觸發(fā)器構(gòu)成的計數(shù)器 同步計數(shù)器是各相應(yīng)的觸發(fā)器的計數(shù)脈沖相同，使相應(yīng)的觸發(fā)器同時翻轉(zhuǎn)。異步計數(shù)器是各相應(yīng)的觸發(fā)

18、器的計數(shù)脈沖不相同，并且不同時翻轉(zhuǎn)。 下圖為同步計數(shù)器，QA、QB、QC為并行輸出，C為串行輸出。,3 半導(dǎo)體存儲器,(1)只讀存儲器 (Read Only Memory，ROM) 存儲單元可以由二極管、三極管或場效應(yīng)管構(gòu)成。存儲器中的信息一旦寫入后不可改變，但可以讀出（輸出），既便斷電信息也不會丟失。為了方便，存儲器常以矩陣方式布置線路，下圖所示的是用二極管作為存儲器件，配以地址譯碼電路和輸出電路，形成4個地址，每單元4位的只讀存儲器。,只讀存儲器通常有：掩膜式ROM、一次可編程ROM(PROM)、紫外光可擦除ROM(U-EPROM)、電可擦除ROM(EEPROM)等幾種類型。 U-EPRO

19、M是目前計算機(jī)中常用的紫外光可改寫只讀存儲器，這種存儲中的信息可以保存20年以上。存儲器芯片上有一個玻璃窗口，平時窗口上帖上黑紙。重新改寫數(shù)據(jù)時，須將存儲器芯片拆下，把窗口上的黑紙揭開，在紫外光的照射下1020分鐘使其內(nèi)部的數(shù)據(jù)全部擦除，然后用專門的編程器進(jìn)行改寫。微機(jī)的許多專用程序都放在這種存儲器中。,（2）隨機(jī)存儲器 隨機(jī)存儲器(Random Access Memory，RAM)中的信息可以改變，既可以寫入（輸入）又可以讀出。它的存儲元件是如圖所示的一種場效應(yīng)晶體管。,動態(tài)存儲單元需要定時為電容C充電，即刷新，以保持電路狀態(tài)。因此，比ROM存儲陣列除地址譯碼、讀寫電路外，增加刷新電路 。,4 模擬電路,模擬電路不是數(shù)字電路，由于計算機(jī)要處理聲音、圖像等模擬信號，因此處理連續(xù)變化的模擬量的模擬電路越來越多地在計算機(jī)輸入/輸出設(shè)備中得到廣泛應(yīng)用。許多半導(dǎo)體廠家專門設(shè)計通用的AD/DA集成電路。,例如，AD7892是美國ANALOG DEVICE公司生產(chǎn)的具有采樣保護(hù)功能的逐次逼近式12位高速ADC產(chǎn)品。AD7892的內(nèi)部框圖如圖2-31 所示，它內(nèi)含模擬信號換算電路、采樣保持電路、A/D轉(zhuǎn)換基準(zhǔn)電源（+2