矩陣代數(shù)基本知識

1、附錄I 矩陣代數(shù)基本知識矩陣和行列式是研究多元統(tǒng)計分析的重要工具，這里針對本書的需要，對有關矩陣代數(shù)的基本知識作回顧性的介紹，其中有些內容是過去教學計劃中沒有涉及到的。 一、 向量矩陣的定義 將個實數(shù)排成如下形式的矩形數(shù)表，記為 則稱為階矩陣，一般記為，稱為矩陣的元素。當時，稱為階方陣；若，只有一列，稱其為維列向量，記為 若，只有一行，稱其為維行向量，記為 當為階方陣，稱為的對角線元素，其它元素稱為非對角元素。若方陣的非對角元素全為，稱為對角陣，記為進一步，若，稱為階單位陣，記為或。 如果將階矩陣的行與列彼此交換，得到的新矩陣是的矩陣，記為稱其為矩陣的轉置矩陣。 若是方陣，且，則稱為對稱陣；

2、若方陣，當對一切元素，則稱為下三角陣；若為下三角陣，則稱為上三角陣。二、 矩陣的運算 1對與的和定義為： 2若為一常數(shù)，它與矩陣階矩陣的積定義為： 3若，則與的積定義為： 根據(jù)上述矩陣加法、數(shù)乘與乘的運算，容易驗證下面運算規(guī)律：1加法滿足結合律和交換律 2乘法滿足結合律， 3乘法和加法滿足分配律， ， 4對轉置運算規(guī)律 ， ， 另外，若滿足，則稱為正交陣。 三、 矩陣分塊對于任意一個階矩陣，可以用縱線和橫線按某種需要將它們劃分成若干塊低階的矩陣，也可以看作是以所分成的子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣，即：寫成 其中， ，且，。分塊矩陣也滿足平常矩陣的加法、乘法等運算規(guī)律。不難證明：。 四、 方陣

3、行列式的性質一個階方陣中的元素組成的行列式，稱為方陣的行列式記為或。它有以下我們熟知的性質：1若的某行（或列）為零，則；2； 3將的某行（或列）乘以數(shù)所得的矩陣的行列式等于； 4若是一個階方陣，為一常數(shù)，則5若的兩行（或列）相同，則； 6若將的兩行（兩列）互換所得矩陣的行列式等于； 7若將的某一行（或列）乘上一個常數(shù)后加到另一行相應的元素上，所得的矩陣的行列式不變，仍等于； 8若和均為階方陣，則； 9若為上三角矩陣或下三角矩陣或對角矩陣，則 1011若和都是方陣，則12若和分別是和的矩陣，則 五、 逆矩陣 設為階方陣，若，則稱是非退化陣或稱非奇異陣，若，則稱是退化陣或稱奇異陣。 若是階非退化陣

4、，則存在唯一的矩陣，使得，稱為的逆矩陣，記為。 逆矩陣的基本性質如下： 1 2 3若和均為階非退化陣，則 4 設為階非退化陣，和為維列向量，則方程： 的解為 5 6若是正交陣，則 7若是對角陣，且，則。8若和非退化陣，則 9設方陣的行列式分塊為：若，是方陣且是非退化，則 六、 矩陣的秩 設為階矩陣，若存在它的一個階子方陣的行列式不為零，而的一切階子方陣的行列式均為零，則稱的秩為，記作。它有如下基本性質：1，當且僅當；2若為階矩陣，則； 3； 4； 5； 6若和為非退化陣，則。七、 特征根和特征向量設為階方陣，則方程是的次多項式，由多項式理論知道必有個根（可以有重根），記為，稱為的特征根或稱特征

5、值。若存在一個維向量，使得，則稱為對應于的的特征向量。特征根有如下性質：1若為實數(shù)陣，則的特征根全為實數(shù)，故可按大小次序排列成，若，則相應的特征向量與必正交。2和有相同的特征根。3若與分別是與階陣，則與有相同的非零特征根。實際上，因為所以那么，兩個關于的方程和有著完全相同的非零特征根（若有重根，則它們的重數(shù)也相同），從而和有相同的非零特征根。4若為三角陣（上三角或下三角），則的特征根為其對角元素。5若，是的特征根，可逆，則的特征根為，。6若為階的對稱陣，則存在正交矩陣及對角矩陣 ，使得實際上，將上式兩邊右乘，得將按列向量分塊，并記為，于是有那么， 這表明是的個特征根，而為相應的特征向量。這樣矩

6、陣可以作如下分解：稱之為的譜分解。八、 矩陣的跡若是階方陣，它的對角元素之和稱為的跡，記為。方陣的跡具有下述基本性質：1若是階方陣，它的特征根為，則；2；345九、 二次型與正定陣稱表達式為二次型，其中是實常數(shù)；，是個實變量。若為對稱陣，則若方陣對一切，都有，則稱與其相應的二次型是正定的，記為；若對一切，都有，則稱與二次型是非負定的，記為。記，表示；記，表示。正定陣和非負定陣有如下性質：1一個對稱陣是正（非負）定的當且僅當它的特征根為正（非負）；2若，則；3若，則，其中為正數(shù)；4若，因它是對稱陣，則必存在一個正交陣，使其中，為的特征根，的列向量為相應的特征向量，于是5若（），則存在（），使得。稱為的平方根。實際上，因為是對稱陣，所以存在正交矩陣和對角矩陣使得。有（）可知（），。令，則有由于的特征