必修2-第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-2.3.2平面與平面垂直的判定

1、2.3.1平面與平面垂直的判定,20102011學(xué)年度高一數(shù)學(xué)必修1（人教A版）,濟(jì)寧育才中學(xué)高一數(shù)學(xué)組朱繼哲,1.理解二面角及其平面角的概念,能確認(rèn)圖形中的已知角是否為二面角的平面角. 2.掌握二面角的平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角: 3.掌握兩個平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直。,教學(xué)目標(biāo),創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題,問題1:平面幾何中“角”是怎樣定義的？,問題2:在立體幾何中，“異面直線所成的角”、“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？,問題:在生產(chǎn)實(shí)踐中，有許多問題要涉及到兩個平面相交所成的角的情形，你能舉出這個問題的一些例子嗎？,這樣的角有何特

2、點(diǎn)，該如何表示呢？,研探新知,1、二面角的有關(guān)概念及其記法與表示,觀察思考:展示一張紙面，并對折讓學(xué)生觀察其形狀，然后引導(dǎo)學(xué)生將它與角進(jìn)行類比，歸納出二面角的概念及記法與表示.,從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。,這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。,棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角AB。有時為了方便，也可在，內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P，Q，將這個二面角記作二面角PABQ。如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角l或PlQ。,1、二面角的有關(guān)概念及其記法與表示,研探新知,2、二面角的度量,提出問題:二面角的大小反映了兩個平面相交的位置關(guān)系，如我們常說

3、“把門開大一些”，是指二面角大一些，那我們應(yīng)如何度量二面角的大小呢?,在二面角l的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角。,在表示二面角的平面角時，要求“OAl”，“OBl”； AOB的大小與點(diǎn)O在l上位置無關(guān)； 二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度，平面角是直角時叫直二面角。 二面角的平面角的范圍是:,注意:,想一想:怎樣求二面角?,方法1:如圖，過二面角-l-一個面內(nèi)一點(diǎn)A，作另一個面的垂線，垂足為B，過點(diǎn)B作棱的垂線，垂足為O，連結(jié)AO，則AOB是二面角的平面角.,垂線法,方法2:如圖，平面垂

4、直于二面角的棱l，分別與面、相交于OA、OB，則AOB是二面角的平面角.,垂面法,3、兩個平面互相垂直,兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。,兩個平面互相垂直通過畫成：直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直。平面與垂直，記作：。,兩個平面互相垂直的畫法及其表示:,4、兩個平面垂直的判定,兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直,注：這個定理簡稱“線面垂直，則面面垂直”,下面我們來證明這個定理,求證：,分析：要證明兩個平面互相垂直，只有根據(jù)兩個平面互相垂直的定義，證明由它們組成的二面角是直二面角，因此必須作出它的一個平

5、面角，并證明這個平面角是直角如何作平面角呢？根據(jù)平面角的定義，可以作BECD，使ABE為二面角-CD-的平面角,求證：,證明：設(shè)a=CD，則BCD,ABCD,在平面內(nèi)過點(diǎn)B作直線BECD，則ABE是二面角-CD-的平面角，又ABBE，即二面角-CD-是直二面角,C,D,A,B,特別注意：兩個平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據(jù)如：建筑工人在砌墻時，常用一端系有鉛錘的線來檢查所砌的墻面是否和水平面垂直，實(shí)際上，就是依據(jù)這個原理另外，這個定理說明要證明面面垂直，實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為線面垂直來證明,課堂診斷:,1.如果平面內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi)

6、的一條直線，則.（ ）,2.如果平面內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi) 的兩條直線，則.（ ）,3. 如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條 相交直線, 則.（ ）,4.若m，m/，則.（ ）,5.二面角指的是（ ） A、從一條直線出發(fā)的兩個半平面所夾的角度。 B、從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形。 C、兩個平面相交時，兩個平面所夾的銳角。 D、過棱上一點(diǎn)和棱垂直的二射線所成的角。,B,證明：設(shè)O所在平面為， 由已知條件，有 PA，BC在內(nèi)， 所以，PABC， 因?yàn)?，點(diǎn)C是不同于A，B的任意 一點(diǎn)，AB為O的直徑， 所以，BCA90，即BCCA 又因?yàn)镻A與AC是PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，

7、所以，BC平面PAC， 又因?yàn)锽C在平面PBC內(nèi)， 所以，平面PAC平面PBC。,例1、如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周一不同于A，B的任意一點(diǎn). 求證：平面PAC平面PBC。,探究：你還能發(fā)現(xiàn)哪些面互相垂直？,例2、已知直線PA垂直正方形ABCD所在的平面，A為垂足。,求證：平面PAC平面PBD。,證明：,例3、如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA底面ABCD，PA=AD，M為AB的中點(diǎn)，求證：平面PMC平面PCD.,例4、在四面體ABCD中，已知ACBD，BAC=CAD=45，BAD=60， 求證：平面ABC平面ACD.,小結(jié),1.比較角與二面角之間的關(guān)系,2.二面角的度量； 3.兩個平面垂直的判定定理的內(nèi)容，它與直線與平面垂直的判定定理有何關(guān)系？,作業(yè)： P73習(xí)題2.3B組3,4.,附:角與二面角之間的關(guān)系,角,圖形,構(gòu)成