計算材料學之蒙特卡洛方法論述(doc-7頁)優(yōu)質(zhì)版

1、 計算材料學之蒙特卡洛方法一、 計算材料學主要內(nèi)容計算材料學涉及材料的各個方面，如不同層次的結構、各種性能等等，因此，有很多相應的計算方法。在進行材料計算時，首先要根據(jù)所要計算的對象、條件、要求等因素選擇適當?shù)姆椒āＲ胱龊眠x擇，必須了解材料計算方法的分類。目前，主要有兩種分類方法：一是按理論模型和方法分類，二是按材料計算的特征空間尺寸(Characteristic space scale)分類。材料的性能在很大程度上取決于材料的微結構，材料的用途不同，決定其性能的微結構尺度會有很大的差別。例如，對結構材料來說，影響其力學性能的結構尺度在微米以上，而對于電、光、磁等功能材料來說可能要小到納米，

2、甚至是電子結構。因此，計算材料學的研究對象的特征空間尺度從埃到米。時間是計算材料學的另一個重要的參量。對于不同的研究對象或計算方法，材料計算的時間尺度可從10-15秒（如分子動力學方法等）到年（如對于腐蝕、蠕變、疲勞等的模擬）。對于具有不同特征空間、時間尺度的研究對象，均有相應的材料計算方法。 目前常用的計算方法包括第一原理從頭計算法，分子動力學方法，蒙特卡洛方法，有限元分析等。下面主要介紹蒙特卡羅方法：蒙特卡羅方法：一、方法的簡介蒙特卡羅方法（Monte Carlo method），也稱統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指

3、導的一類非常重要的數(shù)值計算方法。是指使用隨機數(shù)（或更常見的偽隨機數(shù)）來解決很多計算問題的方法。與它對應的是確定性算法這種方法作為一種獨立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗與研制中得到了應用。蒙特卡羅方法是一種計算方法，但與一般數(shù)值計算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計理論為基礎的一種方法。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點及物理實驗過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應用領域日趨廣泛。蒙特卡羅方法在金融工程學，宏觀經(jīng)濟學，計算物理學(如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算)等領域應用廣泛。二、方法的思想當所求解問題是某種隨機事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望

4、值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。三、方法的工作過程蒙特卡羅方法的解題過程可以歸結為三個主要步驟：構造或描述概率過程；實現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立各種估計量。 蒙特卡羅方法解題過程的三個主要步驟： （1）構造或描述概率過程 對于本身就具有隨機性質(zhì)的問題，如粒子輸運問題，主要是正確描述和模擬這個概率過 程，對于本來不是隨機性質(zhì)的確定性問題，比如計算定積分，就必須事先構造一個人為的概率過程，它的某些參量正好是所要求問題的解。即要將不具有隨機性質(zhì)的問題轉化為隨機性質(zhì)的問題。 （2）實現(xiàn)從已知概率分布抽樣

5、構造了概率模型以后，由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機變量（或隨機向量），就成為實現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實驗的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機抽樣的原因。最簡單、最基本、最重要的一個概率分布是（0，1）上的均勻分布（或稱矩形分布）。隨機數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機變量。隨機數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個簡單子樣，也就是一個具有這種分布的相互獨立的隨機變數(shù)序列。產(chǎn)生隨機數(shù)的問題，就是從這個分布的抽樣問題。在計算機上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機數(shù)，但價格昂貴，不能重復，使用不便。另一種方法是用數(shù)學遞推公式產(chǎn)生。這樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機數(shù)序列不同

6、，所以稱為偽隨機數(shù)，或偽隨機數(shù)序列。不過，經(jīng)過多種統(tǒng)計檢驗表明，它與真正的隨機數(shù)，或隨機數(shù)序列具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機數(shù)來使用。由已知分布隨機抽樣有各種方法，與從(0,1)上均勻分布抽樣不同，這些方法都是借助于隨機序列來實現(xiàn)的，也就是說，都是以產(chǎn)生隨機數(shù)為前提的。由此可見，隨機數(shù)是我們實現(xiàn)蒙特卡羅模擬的基本工具。 （3）建立各種估計量 一般說來，構造了概率模型并能從中抽樣后，即實現(xiàn)模擬實驗后，我們就要確定一個隨機變量，作為所要求的問題的解，我們稱它為無偏估計。建立各種估計量，相當于對模擬實驗的結果進行考察和登記，從中得到問題的解。四、減小方差的各種技巧 顯然，當給定置信度后，誤

7、差由和N決定。要減小，或者是增大N，或者是減小方差2。在固定的情況下，要把精度提高一個數(shù)量級，試驗次數(shù)N需增加兩個數(shù)量級。因此，單純增大N不是一個有效的辦法。另一方面，如能減小估計的均方差，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當于N增大四倍的效果。因此降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意。后面課程將會介紹一些降低方差的技巧。 五、方法的優(yōu)勢1、能夠比較逼真地描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程從這個意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實驗，甚至可以得到物理實驗難以得到的結果。用蒙特卡羅方法解決實際問題，可以直接從實際問題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學表達式出發(fā)。它有直觀、形象的特點。1

8、、 受幾何條件限制小 在計算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分時，無論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個點 得到積分的近似值。其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。另外，在具有隨機性質(zhì)的問題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會有原則上的困難。 3、收斂速度與問題的維數(shù)無關由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，蒙特卡羅方法的收斂速度為 ，與問題本身的維數(shù)無關。維數(shù)的變化，只引起抽樣時間及估計量計算時間的變化，不影響誤差。也就是說，使用蒙特卡羅方法時，抽取的子樣總數(shù)N與維數(shù)s無關。維數(shù)的增加，除了

9、增加相應的計算量外，不影響問題的誤差。這一特點，決定了蒙特卡羅方法對多維問題的適應性。而一般數(shù)值方法，比如計算定積分時，計算時間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且，由于分點數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當數(shù)量的計算機內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計算高維積分時難以克服的問題。 4、具有同時計算多個方案與多個未知量的能力對于那些需要計算多個方案的問題，使用蒙特卡羅方法有時不需要像常規(guī)方法那樣逐個計算，而可以同時計算所有的方案，其全部計算量幾乎與計算一個方案的計算量相當。例如，對于屏蔽層為均勻介質(zhì)的平板幾何，要計算若干種厚度的穿透概率時，只需計算最厚的一種情況，其他厚度的穿透概率在計算最厚一種情況時稍加處理

10、便可同時得到。 另外，使用蒙特卡羅方法還可以同時得到若干個所求量。例如，在模擬粒子過程中，可以同時得到不同區(qū)域的通量、能譜、角分布等，而不像常規(guī)方法那樣，需要逐一計算所求量。5、 誤差容易確定對于一般計算方法，要給出計算結果與真值的誤差并不是一件容易的事情，而蒙特卡方法則不然。根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計算所求量的同時計算出誤差。對干很復雜的蒙特卡羅方法計算問題，也是容易確定的。一般計算方法常存在著有效位數(shù)損失問題，而要解決這一問題有時相當困難，蒙特卡羅方法則不存在這一問題。 6、程序結構簡單，易于實現(xiàn)在計算機上進行蒙特卡羅方法計算時，程序結構簡單，分塊性強，易于實現(xiàn)。 7、缺點收斂速

11、度慢。如前所述，蒙特卡羅方法的收斂速度為 ，一般不容得到精確度較高的近似結果。對于維數(shù)少（三維以下）的問題，不如其他方法好。 誤差具有概率性。由于蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下估計的，所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差。 在粒子輸運問題中，計算結果與系統(tǒng)大小有關經(jīng)驗表明，只有當系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時（一般在十個平均自由程左右），蒙特卡羅方法計算的結果較為滿意。但對于大系統(tǒng)或小概率事件的計算問題，計算結果往往比真值偏低。而對于大系統(tǒng)，數(shù)值方法則是適用的。 因此，在使用蒙特卡羅方法時，可以考慮把蒙特卡羅方法與解析（或數(shù)值）方法相結合，取長補短，既能解決解析（或數(shù)

12、值）方法難以解決的問題，也可以解決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問題。這樣，可以發(fā)揮蒙特卡羅方法的特長，使其應用范圍更加廣泛。六、方法的實際應用例1. 蒲豐氏問題為了求得圓周率值，在十九世紀后期，有很多人作了這樣的試驗：將長為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（ la）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準確的關系式求出值其中為投計次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問題。解：設針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,）來描述，x為針中心的坐標，為針與平行線的夾角，如圖所示。針在平行線間的位置 任意投針，就是意味著x與都是任意取的，但x的范圍限于0，a，

13、夾角的范圍限于0，。在此情況下，針與平行線相交的數(shù)學條件是如何產(chǎn)生任意的（x,）？x在0，a上任意取值，表示x在0，a上是均勻分布的，其分布密度函數(shù)為： 類似地，的分布密度函數(shù)為： 因此，產(chǎn)生任意的（x,）的過程就變成了由f1(x)抽樣x及由f2()抽樣的過程了。由此得到： 其中1，2均為（0,1）上均勻分布的隨機變量。 每次投針試驗，實際上變成在計算機上從兩個均勻分布的隨機變量中抽樣得到（x,），然后定義描述針與平行線相交狀況的隨機變量s(x,)，為如果投針次，則是針與平行線相交概率的估計值。事實上， 于是有 七、方法的收斂性，誤差 蒙特卡羅方法作為一種計算方法，其收斂性與誤差是普遍關心的一

14、個重要問題。1、收斂性由前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機變量X的簡單子樣X1，X2，XN的算術平均值： 作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知， 如X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限期望值（E(X)），則 即隨機變量X的簡單子樣的算術平均值 ，當子樣數(shù)充分大時，以概率1收斂于它的期望值E(X)。2、誤差蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機變量序列X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限非零的方差2 ，即f(X)是X的分布密度函數(shù)。則當N充分大時，有如下的近似式其中稱為置信度，1稱為置信水平。這表明，不等式 近似地以概率 1成立，且誤差收斂速

15、度的階為 。 通常，蒙特卡羅方法的誤差定義為上式中 與置信度是一一對應的，根據(jù)問題的要求確定出置信水平后，查標準正態(tài)分布表，就可以確定出 。關于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點：第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。第二，誤差中的均方差是未知的，必須使用其估計值來代替，在計算所求量的同時，可計算出 。八、蒙特卡羅方法的主要應用范圍 通常蒙特卡羅方法通過構造符合一定規(guī)則的隨機數(shù)來解決數(shù)學上的各種問題。對于那些由于計算過于復雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題，蒙特卡羅方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特卡羅方法在數(shù)學中最常見的應用就是蒙特卡羅積分。蒙特卡羅方

16、法所特有的優(yōu)點，使得它的應用范圍越來越廣。它的主要應用范圍包括：粒子輸運問題，統(tǒng)計物理，典型數(shù)學問題，真空技術，激光技術以及醫(yī)學，生物，探礦等方面。隨著科學技術的發(fā)展，其應用范圍將更加廣泛。蒙特卡羅方法在金融工程學，宏觀經(jīng)濟學，生物醫(yī)學，計算物理學(如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算、核工程)等領域應用廣泛。 蒙特卡羅方法在粒子輸運問題中的應用范圍主要包括：實驗核物理，反應堆物理，高能物理等方面。蒙特卡羅方法在實驗核物理中的應用范圍主要包括：通量及反應率，中子探測效率，光子探測效率，光子能量沉積譜及響應函數(shù)，氣體正比計數(shù)管反沖質(zhì)子譜，多次散射與通量衰減修正等方面。 九、蒙特卡羅模型

17、的發(fā)展運用從理論上來說，蒙特卡羅方法需要大量的實驗。實驗次數(shù)越多，所得到的結果才越精確。以上Buffon的投針實驗為例、歷史上的記錄如下表1。 從表中數(shù)據(jù)可以看到，一直到公元20世紀初期，盡管實驗次數(shù)數(shù)以千計，利用蒙特卡羅方法所得到的圓周率值，還是達不到公元5世紀祖沖之的推算精度。這可能是傳統(tǒng)蒙特卡羅方法長期得不到推廣的主要原因。 計算機技術的發(fā)展，使得蒙特卡羅方法在最近10年得到快速的普及?，F(xiàn)代的蒙特卡羅方法，已經(jīng)不必親自動手做實驗，而是借助計算機的高速運轉能力，使得原本費時費力的實驗過程，變成了快速和輕而易舉的事情。它不但用于解決許多復雜的科學方面的問題，也被項目管理人員經(jīng)常使用。 借助計

18、算機技術，蒙特卡羅方法實現(xiàn)了兩大優(yōu)點： 一是簡單，省卻了繁復的數(shù)學推導和演算過程，使得一般人也能夠理解和掌握 二是快速。簡單和快速，是蒙特卡羅方法在現(xiàn)代項目管理中獲得應用的技術基礎。 蒙特卡羅方法有很強的適應性，問題的幾何形狀的復雜性對它的影響不大。該方法的收斂性是指概率意義下的收斂，因此問題維數(shù)的增加不會影響它的收斂速度，而且存貯單元也很省，這些是用該方法處理大型復雜問題時的優(yōu)勢。因此，隨著電子計算機的發(fā)展和科學技術問題的日趨復雜，蒙特卡羅方法的應用也越來越廣泛。它不僅較好地解決了多重積分計算、微分方程求解、積分方程求解、特征值計算和非線性方程組求解等高難度和復雜的數(shù)學計算問題，而且在統(tǒng)計物理、核物理、真空技術、系統(tǒng)科學 、信息科學、公用事業(yè)、地質(zhì)、醫(yī)學，可靠性及計算機科學等廣泛的領域都得到成功的應用。生活不是等待風暴過去，而是學會在雨中翩翩起舞,不要去考慮自己能夠走多快，只要知道自己在不斷努力向前就行，路對了，成功就不遠了。放棄了，就不該后悔。失去了，就不該回憶。放下該放下，退出那沒結局的劇。我們需要一點點的眼淚去洗掉眼中的迷霧，一點點的擁抱去療愈受傷的心，一點點的休息去繼續(xù)前行,少壯不努力，老大徒傷悲,每個人的人生都是不