專題一：求函數(shù)值域十六法

1、求函數(shù)值域方法 求函數(shù)的值域或最值是高中數(shù)學(xué)基本問題之一，也是考試的熱點和難點之一。遺憾的是教材中僅有少量求定義域的例題、習(xí)題，而求值域或最值的例題、習(xí)題則是少得屈指可數(shù)。原因可能是求函數(shù)的值域往往需要綜合用到眾多的知識內(nèi)容，技巧性強，有很高的難度，因此求函數(shù)的值域或最值的方法需要我們在后續(xù)的學(xué)習(xí)中逐步強化。本文談一些求函數(shù)值域的方法，僅作拋磚引玉吧。一、 基本知識1 定義：因變量y的取值范圍叫做函數(shù)的值域（或函數(shù)值的集合）。2 函數(shù)值域常見的求解思路： 劃歸為幾類常見函數(shù)，利用這些函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解。 反解函數(shù)，將自變量x用函數(shù)y的代數(shù)式形式表示出來，利用定義域建立函數(shù)y的不等式，解不等式

2、即可獲解。 可以從方程的角度理解函數(shù)的值域，如果我們將函數(shù)看作是關(guān)于自變量的方程，在值域中任取一個值，對應(yīng)的自變量一定為方程在定義域中的一個解，即方程在定義域內(nèi)有解；另一方面，若取某值，方程在定義域內(nèi)有解，則一定為對應(yīng)的函數(shù)值。從方程的角度講，函數(shù)的值域即為使關(guān)于的方程在定義域內(nèi)有解的得取值范圍。 特別地，若函數(shù)可看成關(guān)于的一元二次方程，則可通過一元二次方程在函數(shù)定義域內(nèi)有解的條件，利用判別式求出函數(shù)的值域。 可以用函數(shù)的單調(diào)性求值域。 其他。3 函數(shù)值域的求法（1）、直接法：從自變量的范圍出發(fā)，推出的取值范圍?；蛴珊瘮?shù)的定義域結(jié)合圖象，或直觀觀察，準確判斷函數(shù)值域的方法。 例1：求函數(shù)的值域

3、。 例2：求函數(shù)的值域。 例3：求函數(shù)的值域。解：，函數(shù)的值域為。（2）、配方法：配方法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例1：求函數(shù)（）的值域。解：， ，函數(shù)（）的值域為。（3）最值法：對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，利用函數(shù)的最大值、最小值求函數(shù)的值域的方法。 例1 求函數(shù)y=3-2x-x2 的值域。解：由3-2x-x20，解出定義域為-3，1。 函數(shù)y在-3，1內(nèi)是連續(xù)的，在定義域內(nèi)由3-2x-x2 的最大值為4，最小值為0。函數(shù)的值域是0,2例2：求函數(shù)，的值域。 例3：求函數(shù)的值域。 （4）、反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求

4、反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。例1：求函數(shù)的值域。解：由解得，函數(shù)的值域為。（5）、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對變量的要求）內(nèi)，值域為；如果是條件定義域（對自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法來求值域。例1：求函數(shù)的值域。解：，函數(shù)的值域為。（6）、換元法：運用代數(shù)代換，獎所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、均為常數(shù)，且）的函數(shù)常用此法求解。例1：求函數(shù)的值域。解：令（），則，當，即時，無最小值。函數(shù)的值域為。（7）、判別

5、式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程；通過方程有實數(shù)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、不同時為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。例1：求函數(shù)的值域。解：由變形得，當時，此方程無解；當時，解得，又，函數(shù)的值域為（8）、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例1：求函數(shù)的值域。解：當增大時，隨的增大而減少，隨的增大而增大，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)。，函數(shù)的值域為。例2求函數(shù)在區(qū)間上的值域。分析與解答：任取，且，則，因為，所以：，當時，則；當時，則；而當時，于是：函數(shù)在區(qū)間上的值域為。構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求值域。例3：求函數(shù)的值域。分析與解答：

6、因為，而與在定義域內(nèi)的單調(diào)性不一致?，F(xiàn)構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，易知在定義域內(nèi)單調(diào)增。，又，所以：，。（9）、基本不等式法利用基本不等式和是求函數(shù)值域的常用技巧之一, 利用此法求函數(shù)的值域, 要合理地添項和拆項, 添項和拆項的原則是要使最終的乘積結(jié)果中不含自變量, 同時, 利用此法時應(yīng)注意取成立的條件. 例1 求函數(shù)的值域. 解答: , 當且僅當時成立. 故函數(shù)的值域為. 此法可以靈活運用, 對于分母為一次多項式的二次分式, 當然可以運用判別式法求得其值域, 但是若能變通地運用此法, 可以省去判別式法中介二次不等式的過程. 例2 求函數(shù)的值域. 解答: 此題可以利用判別式法求解, 這里考慮運用基本不等式法

7、求解此題, 此時關(guān)鍵是在分子中分解出項來, 可以一般的運用待定系數(shù)法完成這一工作, 辦法是設(shè): , (2)將上面等式的左邊展開, 有: ,故而, . 解得, .從而原函數(shù); )當時, , , 此時, 等號成立, 當且僅當. )當時, , , 此時有, 等號成立, 當且僅當. 綜上, 原函數(shù)的值域為: . 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。 例3. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當且僅當即當時，等號成立故原函數(shù)的值域為： 例4. 求函數(shù)的值域。解： 當且僅當，即當時，等號成立。由可得

8、：故原函數(shù)的值域為：（10）、有界性法：利用某些函數(shù)有界性求得原函數(shù)的值域。例1：求函數(shù)的值域。解：由函數(shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域為，對函數(shù)進行變形可得，（，），函數(shù)的值域為形如可解出Yr 范圍,從而求出其值域或最值。例2求函數(shù)的值域解析：函數(shù)的有界性由得例3：求函數(shù)的值域。 例4：求函數(shù)的值域。 （11）、數(shù)型結(jié)合法：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。當函數(shù)解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點間距離，直線的斜率、截距等）或當一個函數(shù)的圖象易于作出時，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域。例1：求函數(shù)的值域。解： ，的圖像如圖

9、所示，由圖像知：函數(shù)的值域為以上是我們學(xué)習(xí)函數(shù)之后，關(guān)于求函數(shù)值域的一些方法，隨著以后學(xué)習(xí)的進一步深入，我們還會學(xué)到其它的一些有關(guān)求函數(shù)值域的方法。根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例2：求函數(shù)的值域。點撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設(shè)HK=,則EK=2,KF=2,AK=,KC= 。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KCAC=5。當A、K、C三點共線時取等號。原函數(shù)的知域為y|y5。例3如例4求函數(shù)的值域。分析與解答：令，則，原問題轉(zhuǎn)化為 ：當直線與圓在直角坐標系的第一象限有公共點時

10、，求直線的截距的取值范圍。由圖1知：當經(jīng)過點時，；當直線與圓相切時，。所以：值域為例4. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。即：由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數(shù)的值域為：注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側(cè)。（12）、復(fù)合函數(shù)法：對函數(shù)，先求的值域充當?shù)亩x域，從而求出的值域的方法。例1、求函數(shù) 的

11、值域（復(fù)合函數(shù)法）設(shè) ，則 例2：求函數(shù)的值域。 （13）、非負數(shù)法根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合非負數(shù)的性質(zhì)，可求出相關(guān)函數(shù)的值域。例1、(1)求函數(shù)的值域。 (2)求函數(shù)的值域。解析：(1)， 故 所求函數(shù)的值域為 。(2)，原函數(shù)可化為 ，即 ， 當時， ，解得又 ， 所以 ，故 所求函數(shù)的值域為 。（不等式性質(zhì)法）例2：求下列函數(shù)的值域： （1）y=； （2）y=； （3）y= （4）y=10-； （2）y=； （3）y=（14）、導(dǎo)數(shù)法 若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo), 可以利用導(dǎo)數(shù)求得在內(nèi)的極值, 然后再計算在,點的極限值. 從而求得的值域.例1： 求函數(shù)在內(nèi)的值域.分析:顯然在可導(dǎo)，且. 由得的

12、極值點為. . . 所以, 函數(shù)的值域為. （15）、“平方開方法” 求函數(shù)值域的方法有很多種，如：“配方法”、“單調(diào)性法”、“換元法”、“判別式法”以及“平方開方法”等等.每一種方法都適用于求某一類具有共同特征的函數(shù)的值域.本文將指出適合采用“平方開方法”的函數(shù)有哪些共同的特征以及“平方開方法”的運算步驟，并給出四道典型的例題.1.適合采用“平方開方法”的函數(shù)特征設(shè)（）是待求值域的函數(shù)，若它能采用“平方開方法”，則它通常具有如下三個特征：（1）的值總是非負，即對于任意的，恒成立；（2）具有兩個函數(shù)加和的形式，即（）；（3）的平方可以寫成一個常數(shù)與一個新函數(shù)加和的形式，即（，為常數(shù)），其中，新

13、函數(shù)（）的值域比較容易求得.2.“平方開方法”的運算步驟 若函數(shù)（）具備了上述的三個特征，則可以將先平方、再開方，從而得到（，為常數(shù)）.然后，利用的值域便可輕易地求出的值域.例如，則顯然.3.應(yīng)用“平方開方法”四例能夠應(yīng)用“平方開方法”求值域的函數(shù)不勝枚舉,這里僅以其中四道典型的例題來演示此法在解決具體問題時的技巧. 例1 求函數(shù)（，）的值域.解：首先，當時，；其次，是函數(shù)與的和；最后， 可見，函數(shù)滿足了采用“平方開方法”的三個特征.于是，對平方、開方得（）.這里，（）.對根號下面的二次函數(shù)采用“配方法”，即可求得的值域為.于是，的值域為.例2 求函數(shù)（，）的值域.解：顯然，該題就是例1的推廣

14、，且此題的也滿足了采用“平方開方法”的三個特征.于是，對平方、開方得（）.這里，（）.對根號下面的二次函數(shù)采用“配方法”，即可求得的值域仍為.于是，的值域也仍為.例3 求函數(shù)（）的值域.解：參照例1的驗證步驟，顯然，此題的也滿足了采用“平方開方法”的三個特征.于是，對平方、開方得（）.這里，（）.易知，的值域為.于是，的值域為.例4 求函數(shù)（）的值域.解：參照例1的驗證步驟，顯然，此題的也滿足了采用“平方開方法”的三個特征.于是，對平方、開方得（）.這里，（）.易知，的值域為.于是，的值域為.例5 求函數(shù) 的值域解：（平方法）函數(shù)定義域為： 10xy平方法）函數(shù)定義域為： （16）. 一一映射

15、法原理：因為在定義域上x與y是一一對應(yīng)的。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍。 例1. 求函數(shù)的值域。解：定義域為由得故或解得故函數(shù)的值域為多種方法綜合運用 例1 求函數(shù)的值域。解：令，則（1）當時，當且僅當t=1，即時取等號，所以（2）當t=0時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域為：注：先換元，后用不等式法 例2. 求函數(shù)的值域。解：令，則當時，當時，此時都存在，故函數(shù)的值域為例3.求函數(shù) 的值域解：（圖象法）如圖，值域為例4.求函數(shù) 的值域解：（復(fù)合函數(shù)法）令，則 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域為例5.求函數(shù)的值域解：（三角代換法） 設(shè) 小結(jié)：（1）若題目中含有，則可設(shè) （2）若題目中含有則可設(shè)，其中（3）若題目中含有，則可設(shè)，其中01（4）若題目中含有，則可設(shè)，其中（5）若題目中含有，則可設(shè)其中例6、求函數(shù) 的值域解法一：（逆求法） 2解法二：（復(fù)合函數(shù)法）設(shè) ，則 解法三：（判別式法）原函數(shù)可化為 1） 時 不成立2） 時，綜合1）、2）值域解法四：（三角代換法