高三數(shù)學(xué)教案：平面向量的坐標(biāo)運算

1、 說課稿 平 面 向 量 的 坐 標(biāo) 運 算北師大附中榮紅莉一、【教材的地位和作用】本節(jié)內(nèi)容在教材中有著承上啟下的作用，它是在學(xué)生對平面向量的基本定理有了充分的認(rèn)識和正確的應(yīng)用后產(chǎn)生的，同時也為下一節(jié)定比分點坐標(biāo)公式和中點坐標(biāo)公式的推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ)； 向量用坐標(biāo)表示后，對立體幾何教材的改革也有著深遠(yuǎn)的意義，可使空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地代數(shù)化，把空間形式的研究從“定性”推到“定量”的深度。引入坐標(biāo)運算之后使學(xué)生形成了完整的知識體系（向量的幾何表示和向量的坐標(biāo)表示），為用“數(shù)”的運算解決“形”的問題搭起了橋梁。二、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】根據(jù)教學(xué)大綱的要求以及學(xué)生的實際知識水平，以期達(dá)到以下的目的：1.知識方面：理解平面

2、向量的坐標(biāo)表示的意義；能熟練地運用坐標(biāo)形式進(jìn)行運算。2.能力方面：數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想三、【教學(xué)重點和難點】理解平面向量坐標(biāo)化的意義是教學(xué)的難點； 平面向量的坐標(biāo)運算則是重點。 我主要是采用啟發(fā)引導(dǎo)式，并輔助適量的題組練習(xí)來幫助學(xué)生突破難點，強(qiáng)化重點。四、【教法和學(xué)法】本節(jié)課嘗試一種全新的教學(xué)模式，以建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，教師在本節(jié)課中起的根本作用就是“為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造一種良好的學(xué)習(xí)環(huán)境” ，結(jié)合本節(jié)課是新授課的特點，我主要從以下幾個方面做準(zhǔn)備： （ 1）提供新知識產(chǎn)生的鋪墊知識（ 2）模擬新知識產(chǎn)生過程中的細(xì)節(jié)和狀態(tài)， 啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu) （3）創(chuàng)設(shè)新知識思維發(fā)展的前景 （ 4）通過“

3、學(xué)習(xí)論壇時間”組織學(xué)生的合作學(xué)習(xí)、討論學(xué)習(xí)、交流學(xué)習(xí)（5）通過“老師信箱時間”指導(dǎo)解答學(xué)生的疑難問題（ 6）通過“深化拓展區(qū)”培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和發(fā)現(xiàn)能力。整個過程學(xué)生始終處于交互式的學(xué)習(xí)環(huán)境中，讓學(xué)生用自己的活動對已有的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)起自己的理解； 讓學(xué)生有了親身參與的可能并且這種主動參與就為學(xué)生的主動性、積極性的發(fā)揮創(chuàng)造了很好的條件，真正實現(xiàn)了“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”這一理念。五、【學(xué)習(xí)過程】1. 提供新知識產(chǎn)生的理論基礎(chǔ)課堂教學(xué)論認(rèn)為：要使教學(xué)過程最優(yōu)化，首先要把已學(xué)的材料與學(xué)生已有的信息聯(lián)系起來，使學(xué)生在學(xué)習(xí)新的材料時有適當(dāng)?shù)闹R冗余。在本節(jié)之前， 學(xué)生接觸到的是向量的幾何表示；向量共線的充

4、要條件和平面向量的基本定理為引入向量的坐標(biāo)運算奠定了理論基礎(chǔ)。尤其是平面向量的基本定理，在新授課之前，我以為應(yīng)再次跟學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，揭示其本質(zhì)：即平面內(nèi)的任一向量都可以表示為不共線的向量的線形組合。對于基底的理解，指出 “基底不唯一，關(guān)鍵是不共線”。這樣就使得新課的導(dǎo)入顯得自然而不突兀，學(xué)生也很容易聯(lián)想到第 1頁共 4頁基底選擇的特殊性，從而引出坐標(biāo)表示。2. 新課引入哲學(xué)家卡爾 .波普爾曾指出“科學(xué)與知識的增長永遠(yuǎn)始于問題，終于問題愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發(fā)新問題的問題” ，這對數(shù)學(xué)亦不例外。因此，在新課的引入中首先提出問題 “在直角坐標(biāo)系內(nèi)， 平面內(nèi)的每一個點都可以用一對實數(shù)（即它的坐標(biāo)

5、）來表示。同樣，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量是否也可以用一對實數(shù)來表示 ?”，問題的給出旨在啟發(fā)學(xué)生的思維。 而學(xué)生思維是否到位， 是否可以達(dá)到自己建構(gòu)新知識的目的，取決于老師的引導(dǎo)是否得當(dāng)。3. 創(chuàng)建新知識以學(xué)生為主體絕不意味著老師可以袖手旁觀，在創(chuàng)設(shè)問題情景后學(xué)生已進(jìn)入激活狀態(tài)，即想說但又不知道怎么說的狀態(tài)，這時需老師適當(dāng)加以點撥。指出：選擇在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與坐標(biāo)軸的正方向相同的兩個單位向量i 、 j 作為基底，任做一個向量a 。由平面向量基本定理知，有并且只有一對實數(shù)x , y ，使 axiy j我們把( x , y ) 叫做向量 a 的（直角）坐標(biāo)，記作a(x, y)其中 x

6、叫做 a 在 x 軸上的坐標(biāo)，也叫做a 的第一分量； y 叫做 a 在 y 軸上的坐標(biāo)，也叫做a 第二分量。指導(dǎo)學(xué)生回答i ,j以及 0 的坐標(biāo)。至此，完成向量的坐標(biāo)表示的新知識的建構(gòu)過程。整個過程決非把老師的認(rèn)識強(qiáng)加給學(xué)生，而是把學(xué)生放在認(rèn)知的主體地位，學(xué)生通過觀察幻燈片的演示和老師的提示，思維得到了發(fā)展，觀察、歸納能力得到了提高，對新授知識的理解更加清晰和深刻。4. 突破難點、突出重點本節(jié)的學(xué)習(xí)中最難理解的就是向量與實數(shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系。為了突破該難點，我認(rèn)為可以如此操作。通過動畫設(shè)計， 并結(jié)合向量相等的概念，指出任一向量總可以通過平移，使起點與原點重合。則向量a 的坐標(biāo)就是點a 的坐

7、標(biāo)；反過來，點a 的坐標(biāo)也就是向量 a 的坐標(biāo)。 揭示向量坐標(biāo)表示的實質(zhì)： 相等的向量其坐標(biāo)相同， 坐標(biāo)相同的向量是相等的向量。由此，向量與實數(shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系就不難理解了。一一對應(yīng)一一對應(yīng)點 a ( x , y )向量 (x , y )向量 oa重點為向量的坐標(biāo)運算。 在理解了向量的坐標(biāo)表示的實質(zhì)后，學(xué)生很容易想到， 向量的坐標(biāo)運算其實也就是數(shù)量的代數(shù)運算。其運算法則，可以在“學(xué)習(xí)論壇時間”引導(dǎo)學(xué)生分組討論自己推得。 老師在學(xué)生推導(dǎo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行指導(dǎo)和嚴(yán)格的歸納。如此一來， 訓(xùn)練了學(xué)生獨立思維、自主學(xué)習(xí)、交流互助的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。（ 1）兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與

8、差：a b ( x1 x2 , y1 y2 ) （其中 a( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ）（ 2）一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)：第 2頁共 4頁如果 a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 ) ，則 ab( x2x1 , y2y1 ) ；（ 3）實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)：若 a( x, y) ，則a( x, y) ；5. 簡單應(yīng)用在理解了向量坐標(biāo)表示的實質(zhì)意義后，通過學(xué)生的談?wù)摵屠蠋煹闹笇?dǎo)，學(xué)生對本節(jié)的新知識有了系統(tǒng)的認(rèn)識， 都有躍躍欲試的心理， 迫切希望在例題的應(yīng)用中一顯身手；另一方面，新的知

9、識是在問題解決中不斷發(fā)展的，而問題的解決又依賴于新知識作為理論基礎(chǔ)，這種過程循環(huán)往復(fù)，既完善了新的知識又提高了學(xué)生的能力。所以，教師應(yīng)抓住學(xué)生的心理，結(jié)合典型例題，充分展示新授知識所涉及到的各種題型。例一的設(shè)計體現(xiàn)了解法發(fā)散和問題變換 的思想。 由一個典型例題的解答促使知識的系統(tǒng)化。比如例一的三種解法既滲透了向量的幾何表示又展現(xiàn)了向量的坐標(biāo)表示，這樣結(jié)合一個例題就把各個知識點連成一個網(wǎng)絡(luò)，形成一個體系，使新舊知識系統(tǒng)化，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)；完成了例一的解答后，再由這個問題牽出一個問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生從不同的問題中領(lǐng)悟新舊知識的本質(zhì)屬性。 例一 如圖，用基底i 、 j 分別表示向量a 、 b 、 c 、

10、 d ，并求它們的坐標(biāo)；y方法一 ： a = aa1aa2 =2 i +3 j ，a =（ 2，3）同理 b =（ -2， 3）， c =（ -2， -3 ），5bd =（ 2， -3）2a 2baa1a方法二 ：a（2， 2）， b（ 4， 5）a =（ 4， 5） -（ 2， 2）=（ 4-2， 5-2） =0（2， 3）同理 b =（ -2， 3）， c =（-2， -3）， d =（ 2， -3）c方法三：oa =（ 2，2）， ob =（ 4，5） a = ob - oa =（ 4，5）-（ 2， 2）=（ 4-2，5-2） =（ 2，3 ）同理 b =（ -2， 3）， c =（-

11、2， -3）， d =（ 2， -3）（ 2， 2） =（ 2， 3）問題 （問題變換 ）：（ 1）若點 a、 b 的坐標(biāo)分別為 (x1,y1) 、( x2, y2 )，那么 ab 的坐標(biāo)是 (x2 , y2 ) 嗎 ?（ 2）求出 a 的坐標(biāo)后，可以根據(jù)圖形的什么特征，求出b 、c 、 d 的坐標(biāo)？ 說明 ：還可根據(jù)對稱性分別求出b 、 c 、 d 的坐標(biāo)；例二和例三的設(shè)計， 是對新知識鞏固和熟練的過程。 可以讓學(xué)生相互交流， 交換批改，在為對方糾錯的過程中也是對自己的一種反思，認(rèn)識到錯誤的癥結(jié)所在，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和批判性；老師則是對普遍存在的問題集中處理，集體指導(dǎo)。 例二 已知

12、 a =（ x+y+1， 2x-y）， b =（ x-y， x+2y-2），若 2 a =3 b ，求 x、 y 的值；分析：本題檢測向量相等的概念，利用條件2 a =3 b ，建立關(guān)于x、 y 的方程組，解方程組就可求 x、y 的值；解：2 a =2（ x+y+1，2x-y）=（ 2x+2y+2，4x-2y），3 b =3（ x-y，x+2y-2）=（3x-3y，3x+6y-6），24dx第 3頁共 4頁2x2 y23x 3yx4634x2 y3x6 y6y83 例三 已知平行四邊形abcd的三個頂點 a、b、c 的坐標(biāo)分別為（ -2，1）、（ -1，3）、（ 3，4），求頂點 d 的坐標(biāo)；分析：本題檢測如何用向量的終點和始點坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，并利用相等向量的坐標(biāo)相同，建立等量關(guān)系求 d 點的坐標(biāo)；解：設(shè) d 點坐標(biāo)為（ x，y） ab =（ -1 ，3）- （ -2 ， 1） =（ 1，2） dc =（ 3， 4）- （x，y） =（ 3-x ， 4-y ）由 ab = dc 得 1=3-x ， 2=4-y ，所以 x=2， y=2，即 d 點的坐標(biāo)為（ 2， 2）6. 深化拓展對于學(xué)有余力的同學(xué)，我提供了一個課外思考題。已知：點 a（ 2， 3）、 b（ 5，4）、 c（ 7， 10），若 ap abac (r) ，試求為