人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2《數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、2.3數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì) 一、【教材分析】本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-2（人教A版）第二章第三節(jié)2.3數(shù)學(xué)歸納法。在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)用不完全歸納法得出了許多結(jié)論，例如某些數(shù)列的通項(xiàng)公式，但它們的正確性還有待證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)是在合情推理的基礎(chǔ)上，對(duì)歸納出來(lái)的與正整數(shù)有關(guān)的命題進(jìn)行科學(xué)的證明，它將一個(gè)無(wú)窮的歸納過(guò)程轉(zhuǎn)化為有限步驟的演繹過(guò)程。通過(guò)把猜想和證明結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)的思維。本節(jié)課是數(shù)學(xué)歸納法的第一課時(shí)，主要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能夠用數(shù)學(xué)歸納法解決一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。二、【學(xué)情分析】我校的學(xué)生基礎(chǔ)較好，思維活躍。

2、學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課新知的過(guò)程中可能存在兩方面的困難：一是從“骨牌游戲原理”啟發(fā)得到“數(shù)學(xué)方法”的過(guò)程有困難；二是解題中如何正確使用數(shù)學(xué)歸納法，尤其是第二步中如何使用遞推關(guān)系，可能出現(xiàn)問(wèn)題。三、【策略分析】本節(jié)課中教師引導(dǎo)學(xué)生形成積極主動(dòng)，勇于探究的學(xué)習(xí)精神，以及合作探究的學(xué)習(xí)方式；注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；體驗(yàn)從“實(shí)際生活理論實(shí)際應(yīng)用”的過(guò)程；采用“教師引導(dǎo)學(xué)生探索”相結(jié)合的教學(xué)方法，在教與學(xué)的和諧統(tǒng)一中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的合理整合。四、【教學(xué)目標(biāo)】（1）知識(shí)與技能目標(biāo)： 理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明某些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的

3、命題。（2）過(guò)程與方法目標(biāo)：努力創(chuàng)設(shè)愉悅的課堂氣氛，使學(xué)生處于積極思考，大膽質(zhì)疑的氛圍中，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，體會(huì)歸納遞推的數(shù)學(xué)思想。（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)目標(biāo)： 通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)歸納法的思想，由生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證，以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力。五、【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，能熟練運(yùn)用它證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推關(guān)系的應(yīng)用。六、【教學(xué)方法與工具】 教法指導(dǎo)：本節(jié)課采用的教學(xué)方法是“

4、啟、思、演、練、結(jié)”五字教學(xué)法，即：以具體的例子引入課題，啟發(fā)學(xué)生想去了解歸納法；通過(guò)提出問(wèn)題、創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生積極思考；借助電腦的動(dòng)畫(huà)演示，提高直觀(guān)性與趣味性，延長(zhǎng)學(xué)生有意注意的時(shí)間；教學(xué)中，及時(shí)精選一些練習(xí)幫助學(xué)生鞏固與強(qiáng)化知識(shí)，而“結(jié)”則包含兩方面的內(nèi)容（1）授課中教師的及時(shí)小結(jié)與點(diǎn)撥（2）聽(tīng)課時(shí)學(xué)生的自我小結(jié)與鞏固。 學(xué)法指導(dǎo)：（1）學(xué)習(xí)要求：課前預(yù)習(xí)教材中有關(guān)內(nèi)容；聽(tīng)課時(shí)積極思考大膽質(zhì)疑；課后及時(shí)完成課外作業(yè)。（2）指導(dǎo)措施：通過(guò)設(shè)置問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生大膽思考；由具體的事例吸引學(xué)生注意，通過(guò)直觀(guān)模型演示，化抽象為具體，突破教學(xué)難點(diǎn)；借助電腦聲像效果，營(yíng)造愉悅課堂氛圍，提高學(xué)習(xí)興趣。

5、 教學(xué)手段：多媒體輔助課堂教學(xué)。七、【教學(xué)過(guò)程】一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維（說(shuō)明引入數(shù)學(xué)歸納法的必要性）（情景一）某人看到樹(shù)上友已值烏鴉，深有感觸“天下烏鴉一般黑?！边@個(gè)結(jié)論是否正確呢？（情境二）在數(shù)列中，已知,發(fā)現(xiàn)， ，由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為.這個(gè)結(jié)論可靠嗎？怎樣才能說(shuō)明其正確性？【設(shè)計(jì)意圖：】為了引入本節(jié)課的問(wèn)題，首先復(fù)習(xí)之前學(xué)過(guò)的知識(shí)，承上啟下。以上兩個(gè)情境都是不完全歸納法的體現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果不一定正確，而這里實(shí)際上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的歸納思想。歸納法分為“不完全歸納法（只驗(yàn)證幾個(gè)個(gè)體成立，得到一般性結(jié)論，但結(jié)論不一定正確）”和“全歸納法（驗(yàn)證每個(gè)個(gè)體都成立，得到一般性結(jié)論，其結(jié)論一定正確

6、）”。二、搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)生興趣【實(shí)例：】播放多米諾骨牌的游戲視頻【探究：】多米諾骨牌全部倒下的條件【分析：】（實(shí)驗(yàn)一：）在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距合適。用手推第一塊骨牌，但沒(méi)有推倒，第二塊骨牌，第三塊骨牌、自然也沒(méi)有倒下，游戲失敗； （實(shí)驗(yàn)二：）在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌間距出現(xiàn)分化，使第一塊骨牌和第二塊骨牌間距足夠大，其他間距不變。這時(shí)用手推倒第一塊骨牌，但第二塊沒(méi)倒下，第三塊、第四塊也沒(méi)有倒下，游戲失敗。此時(shí)讓學(xué)生對(duì)比實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)，分析原因；（實(shí)驗(yàn)三：）在該實(shí)驗(yàn)中用手推倒第一塊骨牌，然后第二塊骨牌、全部骨牌依次倒下；【設(shè)計(jì)意圖：】通過(guò)三個(gè)不盡相同而又密切相關(guān)的實(shí)驗(yàn)，旨在引導(dǎo)學(xué)生從不同角度，對(duì)比感悟數(shù)

7、學(xué)原理，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維由隱形到顯性，由模糊到清晰，由片面到完整的過(guò)渡。 三、立足生活，點(diǎn)燃思維的火花（由多米諾骨牌游戲的原理啟發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)方法，解決情境二的問(wèn)題。） 第一塊骨牌必須要倒下 任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊 倒下，則后一塊也倒下 當(dāng) 時(shí)，猜想成立 任意相鄰的兩項(xiàng)，假設(shè) 時(shí)，猜想成立，即， 即當(dāng)時(shí)猜想成立發(fā)現(xiàn)，對(duì)任意的正整數(shù)n猜想都成立，即該數(shù)列的通項(xiàng)公式是四、師生合作，形成概念。 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可以按照以下步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值（）時(shí)命題成立； （2）（歸納遞推）假設(shè)時(shí)命題成立，證明當(dāng) 時(shí) 命題也成立。完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題

8、對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立。上述這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。【問(wèn)題一：】在上面第一步中，n是否必須從1開(kāi)始取值？若不是，用反例說(shuō)明。五、講練結(jié)合，鞏固概念【例：】用數(shù)學(xué)歸納法證明 【問(wèn)題二：】在證明過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)是如下這樣證明的：他的做法對(duì)嗎？證明: (1)當(dāng)時(shí)，左邊=1，右邊=1，則等式成立； (2)假設(shè)時(shí)，等式成立，即， 則當(dāng)時(shí)，有即當(dāng)時(shí)，等式也成立， ,等式成立。 錯(cuò)因：第k+1步的結(jié)論不是以第k步為條件得出的，證明過(guò)程中沒(méi)有用到第二步的歸納遞推，因此得到的結(jié)果未必正確。 改正： 時(shí)，有 即當(dāng)時(shí)，等式也成立?！驹O(shè)計(jì)意圖：】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程。首先，教師將一道題目用數(shù)學(xué)歸納

9、法完整的證明出來(lái)；然后再讓學(xué)生當(dāng)“小老師”，尋找另外一種證明過(guò)程中的錯(cuò)誤，通過(guò)糾錯(cuò)這一思維過(guò)程，澄清了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的模糊認(rèn)識(shí)，“先正后反”有助于學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法?！揪毩?xí)】用數(shù)學(xué)歸納法證明： 證明：(1)當(dāng)時(shí)，左邊：，右邊： 左邊=右邊，等式成立。 (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即 則當(dāng)時(shí)， =右邊即當(dāng)時(shí)，等式也成立 等式成立?！驹O(shè)計(jì)意圖：】讓學(xué)生自己嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明之前學(xué)習(xí)中給出的公式正整數(shù)的平方和公式，加深了學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)。六、回顧總結(jié)，反思提高(1) 數(shù)學(xué)知識(shí)：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論；(2) 數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)歸納法（證明某些與正整數(shù)有關(guān)的命題）；(3) 數(shù)學(xué)思想：歸納思想、遞推

10、思想。七、分層作業(yè)2.3 數(shù)學(xué)歸納法課后練習(xí)題一、選擇題用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，第一步驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（D）1 .1+2 .1+2+3 .1+2+3+4 【命題意圖：】考查數(shù)學(xué)歸納法的“歸納奠基”這一步，讓學(xué)生能正確判斷，n取初始值時(shí)等式左邊的項(xiàng)有哪些，而未必一項(xiàng)。本題是屬于基礎(chǔ)題，必做題。用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從k到k+1時(shí)，左端需增乘的代數(shù)式為（ B ）A B C D【命題意圖：】考查數(shù)學(xué)歸納法的“歸納遞推”這一步，訓(xùn)練學(xué)生尋找第k步與第k+1步之間的關(guān)系 ，必做題。二、填空題用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證 答案：n=3時(shí)，不等式是否成立【命題意圖：】考查數(shù)學(xué)歸納法的第一步，必做題。已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)， 答案：【命題意圖：】考查學(xué)生尋找數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程中第K步與第K+1步的關(guān)系并且使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由第k步到第k+1步之間未必只有一項(xiàng)，必做題。三、解答題用數(shù)學(xué)歸納法證明：【命題意圖：】考查數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程，必做題。由下列不等式：，你能猜想一個(gè)怎樣的結(jié)論？并加以證明。 【命題意圖：】本題首先考查了之