初中數(shù)學(xué)解直角三角形綜合講義

1、初中數(shù)學(xué)解直角三角形綜合講義一、理解概念1.產(chǎn)生的背景：直角三角形中三邊和三角的數(shù)量關(guān)系2 明確概念：解直角三角形闡述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和2個(gè)銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形定對(duì)象： 特殊的求解過(guò)程定角度： 已知元素新事物： 求出未知元素 舉例：在ABC中，C為直角，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c=287.4，B=426，解這個(gè)直角三角形。解：（1）A=90- 426=4754 （2） cosB= , a=c cosB=287.40.7420213.3 （3） sinB= , b=c sinB=28

2、7.40.6704192.7二、研究概念1.條件： 直角三角形2.構(gòu)成和本質(zhì) 邊 兩條直角邊 角 有一個(gè)直角 角 兩銳角互余3.特征： 角 兩銳角互余，A+B=90 邊 勾股定理，a2+b2=c2 等式的性質(zhì) a2 =c2 b2 b2=c2 a2 勾股定理逆定理 邊、角 銳角三角函數(shù) 重要線段 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 圓 直角三角形三頂點(diǎn)共圓，圓心是斜邊的中點(diǎn) 特殊角 30角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半 45角所對(duì)的直角邊是斜邊的倍4.下位B無(wú)5.應(yīng)用：三、例題講解1、在R tABC中，AD是斜邊BC上的高，如果BC= a，B=，那么AD等于 （ ） （A級(jí)） A、 asin2 B、

3、acos2 C、asincos D、asintan 對(duì)象：R tABC中，AD 角度： 三角函數(shù) 分析：R tABC cosB= cos= AB= acos R tABD sin= AD= sinABAD= asincos2、 正方形ABCD中，對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，BPPD=12，且P到邊的距離為2，則正方形的邊長(zhǎng)是 ，BD= 對(duì)象：正方形ABCD對(duì)角線BD上的點(diǎn)P 角度： 直角三角形分析：設(shè)P到邊的距離為PE。分四種情況：（1） P到邊BC的距離為PE=2，DBC=45 BE=PE=2 BP=2 BPPD=12 PD=4 BD=6 正方形的邊長(zhǎng)為6（2） P到邊AB的距離為PE=2、P到邊A

4、D的距離為PE=2 、P到邊CD的距離為PE=2方法照上。 CADB3、如圖，RtABC中，C=90，CDAB于D，BC=，AC=3，則BD= 對(duì)象：RtABC中BD 角度：相似三角形 分析：ABCCBD BC2 =BDAB BC=，AC=3 AB= BD=4、在中，、都是銳角，且，。求的面積。對(duì)象：的面積 角度：銳角函數(shù)值分析：， A=30，B=60 C=90 是以AB為斜邊的直角三角形 ，A=30，B=60 AC=5,BC=5 的面積為B5、河旁有一座小山，從山頂A處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)C的俯角為30，測(cè)得岸邊點(diǎn)D的俯角為45，又知河寬CD為50米?，F(xiàn)需從山頂A到河對(duì)岸點(diǎn)C拉一條筆直的纜繩AC，求

5、纜繩AC的長(zhǎng)。 (B級(jí)) 對(duì)象：R tABC和R tABD 角度：三角函數(shù) 分析：EAC=30，EAD=45 ACB=30,ADB=45 AB= x AC=2x，BC=x，BD=x CD=50BD=x 50 x=x 50 x=25(1) AC=50(1)6、如圖某船向正東航行。在A處望見燈塔C在東北方向，前進(jìn)到B處望見燈塔C在北偏西30，又航行了半小時(shí)到D處，望見燈塔C恰在西北方向，若船速為每小時(shí)20海里，求A、D兩點(diǎn)間的距離。（結(jié)果不取近似值） （B級(jí)） 對(duì)象：右圖 角度：銳角三角函數(shù) 分析：很顯然，AC=DC，設(shè)AE=DE=x，則CE=x,CD=xBD=10 BE= x10 tanECB=

6、 x= 5（3+） AD=10（3+）7、在海上有一燈塔P，在它周圍3海里內(nèi)有暗礁，一客輪以9海里/時(shí)的速度由西向東航行，行至A處測(cè)得燈塔P到它北偏東60，繼續(xù)行駛10分鐘后，到達(dá)B處，又測(cè)得燈塔P在它的北偏西45，問(wèn)客輪不改變航線繼續(xù)前進(jìn)有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？ （B級(jí)）（此題有現(xiàn)有條件不變的情況下，還可能問(wèn)：船離燈塔P的最近距離是多少？船再走多遠(yuǎn)，離燈塔最近？船再行駛多少時(shí)間，離燈塔P最近？） 對(duì)象： 右圖中RtPAC中PC 角度：銳角三角函數(shù) 分析：PAC=30 PBC=45 設(shè)PC=X BC=X，AC=X AB=9= +X=X X=3 所以不改變航線繼續(xù)前進(jìn)有觸礁危險(xiǎn)8、將兩塊三角板如圖放置，C

7、EDB90，A45，E30，ABDE6。求重疊部分四邊形DBCF的面積。 （C級(jí)）對(duì)象：四邊形DBCF的面積 角度：直角三角形的面積分析：在EDB中， EDB90，E30，DE6， 又 A45， AFD45，得FDAD 在等腰直角三角形ABC中，斜邊AB6，所以 9、如圖，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周圍沒(méi)有開闊平整地帶該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測(cè)得，從A、D、C三點(diǎn)可看到塔頂端H可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)傾器（1）請(qǐng)你根據(jù)現(xiàn)有條件，充分利用矩形建筑物，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量塔頂端到地面高度HG的方案具體要求如下：測(cè)量數(shù)據(jù)盡可能少；在所給圖形上，畫出你設(shè)計(jì)的測(cè)量平

8、面圖，并將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上（如果測(cè)A、D間距離，用m表示；如果測(cè)D、C間距離，用n表示；如果測(cè)角，用、表示）AHGBDC第3題圖（2）根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算塔頂端到地面的高度HG（用字母表示，測(cè)傾器高度忽略不計(jì)） （C級(jí)）分析：方案1：（1）如圖a（測(cè)三個(gè)數(shù)據(jù)）（2）解：設(shè)HG=x，在RtCHG中CG=xcot 在RtDHM中DM=（xn）cotxcot=（xn）cot x= 方案2：（1）如圖b（測(cè)四個(gè)數(shù)據(jù)）（2）解：設(shè)HG=x ， 在RtAHM中AM=(xn) cot在RtDHM中DM=（xn）cot(xn) cot=（xn）cot+m HAGBDCnm方案3圖cMx=方案3：（1）如

9、圖c（測(cè)五個(gè)數(shù)據(jù)）HAGBDCnm方案2圖bMAHGBDCn方案1圖aM（2）參照方案1（2）或方案2（2）小結(jié)：某些斜三角形和其它圖形的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，在解題中應(yīng)有“化歸”意識(shí)；某圖形中有多個(gè)直角三角形時(shí)，應(yīng)先解元素齊備的直角三角形；某些實(shí)際問(wèn)題可歸結(jié)為解直角三角形；通過(guò)解直角三角形要進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、方程思想、分類思想等數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運(yùn)用。10、據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，一強(qiáng)臺(tái)風(fēng)的中心位于寧波(指城區(qū)，下同)東南方向()千米的海面上，目前臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度向北偏西60的方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心50千米的圓形區(qū)域均會(huì)受到強(qiáng)襲擊已知寧海位于寧波正南

10、方向72千米處，象山位于寧海北偏東60方向56千米處請(qǐng)問(wèn)：寧波、寧海、象山是否會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊？如果會(huì)，請(qǐng)求出受強(qiáng)襲擊的時(shí)間；如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由(為解決問(wèn)題，須畫出示意圖，現(xiàn)已畫出其中一部分，請(qǐng)根據(jù)需要，把圖形畫完整) （C級(jí)）_（臺(tái)風(fēng)中心）_（寧海）_（寧波）_P_B_A分析：過(guò)作東西方向(水平)直線與(南北)延長(zhǎng)線交于，延長(zhǎng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)射線與相交于 ，45， 30， 30=， 與重合， 臺(tái)風(fēng)中心必經(jīng)過(guò)寧海經(jīng)過(guò)寧海的時(shí)間為(時(shí)) 如圖為象山，由題意可得30+30=60，到的距離60=，象山會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)強(qiáng)襲擊求受襲擊時(shí)間可先求以為圓心，為半徑的圓與相交的弦長(zhǎng)等于，受襲擊時(shí)間(時(shí)) 到的

11、距離60=，寧波不會(huì)遭受此次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊綜上所述:寧波不會(huì)遭受此次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊；寧海:會(huì)，受襲擊時(shí)間為5時(shí)；象山:會(huì)，受襲擊時(shí)間時(shí)(約1時(shí)13分)11、5，求BC長(zhǎng) （B 級(jí)）解法一：過(guò)B做BEAC交AC延長(zhǎng)線于E，在ABE中，DC為ABE中位線DCBBCE90，解法二：過(guò)D做DEAC，則BE為AC中位線，DEDC，在解法三：做EBDC交CD延長(zhǎng)線于E，在DEB和DCA中，BDECDA，ADDB，BEDACDRtDEBDCAEBAC512、測(cè)量人員在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角45，沿著傾斜30的山腳前進(jìn)1000米來(lái)到R處，再測(cè)得山頂仰角60，求山高BC解：過(guò)R做RFAC，REBC分別交AC、BC

12、于F、E，在RtARF中，在RtBRE中，設(shè)BRx米，在RtABC中，BAC=45，AC=BC解得x1000四、課后練習(xí)根，則此三角形為 C A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等邊三角形2、在與樓水平距離為h的A處（A的高度略去不計(jì)），測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?60，則樓高 B 3、河的對(duì)岸有一電線桿CD，從A點(diǎn)測(cè)得電線桿頂端D的仰角為30，前進(jìn)30米到達(dá)B處，測(cè)得D的仰角為45，求電線桿的高？ 對(duì)象：CD的長(zhǎng) 角度：銳角三角函數(shù) 分析：（設(shè)BC=x） CD=x, AC=30+x RtADC中A=30 X= x=15+15 電線桿的高為15+154、如圖，ABC中，C=90，A=45，EBC=

13、DEC=30，若AE=6cm，求DC的長(zhǎng)。 （3）對(duì)象：DC的長(zhǎng) 角度：銳角三角函數(shù) 分析：（設(shè)EC=x）A=45 BC=AC=6+xBAECD RtBEC中EBC =30 EC= x= X= RtDEC中DEC =30 DC=5、如圖：在等腰直角三角形ABC中，C900，AC6，D是AC上一點(diǎn)，若tanDBA，則AD的長(zhǎng)為（ ） ( A ) A、 B、2 C、1 D、26、從塔頂A測(cè)得一樓頂C的俯角為，樓底D的俯角為，已知B、D兩點(diǎn)間的距離為akm，求樓高CD。7、太陽(yáng)光線與地面成60角，一棵傾斜的大樹與地面成 30角，這時(shí)測(cè)得大樹在地面上的影長(zhǎng)約為10m，求大樹的長(zhǎng)？（保留兩個(gè)有效1.73

14、2數(shù)字，下列數(shù)據(jù)供用：1.414，1.732） 8、如圖在小山的東側(cè)A 莊測(cè)得山頂P的仰角為在有一熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，從A莊以每分鐘30米的速度沿著與水平方向成的方向飛行，20分鐘后到達(dá)點(diǎn)C處，此時(shí)氣球上的人發(fā)現(xiàn)氣球與山頂P點(diǎn)及小山西側(cè)的B莊恰在一條直線上，同時(shí)測(cè)得B莊的俯角為，求小山的高。9、A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向300千米處，以每小時(shí)10千米的速度向北偏東60的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200千米的范圍是否受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域（1）.問(wèn)城是否受臺(tái)風(fēng)的影響？（2）.若A城受臺(tái)風(fēng)的影響，那么受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間。10、如圖，MN表示某隧道挖掘工程的一段設(shè)計(jì)路線，MN的方向?yàn)殡y偏東30

15、度，在M的南偏東60度方向上有一個(gè)點(diǎn)A，一點(diǎn)A為圓心、600米為半徑的圓形區(qū)域?yàn)橥临|(zhì)疏松地帶（危險(xiǎn)區(qū)）。取MN上一點(diǎn)B，測(cè)得BA的方向?yàn)槟掀珫|75度，已知MB=400米，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算回答，如果不改變方向，挖掘路線是否會(huì)通過(guò)這一危險(xiǎn)區(qū)？（1.414，1.732）11、如圖，沿AC 的方向修建高速公路，為了加快工程進(jìn)度，要在小山的兩旁同時(shí)施工，在AC上取一點(diǎn) ，在 AC外另取一點(diǎn) D，使ABD=130,BD=480米，BDE=40,問(wèn)開挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)，才能使A、C、E在一條直線上？（精確到0.1米） 12、如圖，某貨船以20海里/小時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨。此時(shí)，接到氣象部門通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里/時(shí)的速度由A向北偏西方向移動(dòng)。距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會(huì)受到影響。（1）、B處是否受到臺(tái)風(fēng)的影響？（請(qǐng)說(shuō)明理由）（2）為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物？C13、 如圖，在一個(gè)房間內(nèi)，有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時(shí)梯子的傾斜角為75.若梯子底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為b米，梯子的傾斜