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1、初中數(shù)學(xué)解直角三角形綜合講義一、理解概念1.產(chǎn)生的背景:直角三角形中三邊和三角的數(shù)量關(guān)系2 明確概念:解直角三角形闡述概念:在直角三角形中,除直角外,一共有5個(gè)元素,即三條邊和2個(gè)銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的過程,叫做解直角三角形定對象: 特殊的求解過程定角度: 已知元素新事物: 求出未知元素 舉例:在ABC中,C為直角,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=287.4,B=426,解這個(gè)直角三角形。解:(1)A=90- 426=4754 (2) cosB= , a=c cosB=287.40.7420213.3 (3) sinB= , b=c sinB=28
2、7.40.6704192.7二、研究概念1.條件: 直角三角形2.構(gòu)成和本質(zhì) 邊 兩條直角邊 角 有一個(gè)直角 角 兩銳角互余3.特征: 角 兩銳角互余,A+B=90 邊 勾股定理,a2+b2=c2 等式的性質(zhì) a2 =c2 b2 b2=c2 a2 勾股定理逆定理 邊、角 銳角三角函數(shù) 重要線段 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 圓 直角三角形三頂點(diǎn)共圓,圓心是斜邊的中點(diǎn) 特殊角 30角所對的直角邊是斜邊的一半 45角所對的直角邊是斜邊的倍4.下位B無5.應(yīng)用:三、例題講解1、在R tABC中,AD是斜邊BC上的高,如果BC= a,B=,那么AD等于 ( ) (A級) A、 asin2 B、
3、acos2 C、asincos D、asintan 對象:R tABC中,AD 角度: 三角函數(shù) 分析:R tABC cosB= cos= AB= acos R tABD sin= AD= sinABAD= asincos2、 正方形ABCD中,對角線BD上一點(diǎn)P,BPPD=12,且P到邊的距離為2,則正方形的邊長是 ,BD= 對象:正方形ABCD對角線BD上的點(diǎn)P 角度: 直角三角形分析:設(shè)P到邊的距離為PE。分四種情況:(1) P到邊BC的距離為PE=2,DBC=45 BE=PE=2 BP=2 BPPD=12 PD=4 BD=6 正方形的邊長為6(2) P到邊AB的距離為PE=2、P到邊A
4、D的距離為PE=2 、P到邊CD的距離為PE=2方法照上。 CADB3、如圖,RtABC中,C=90,CDAB于D,BC=,AC=3,則BD= 對象:RtABC中BD 角度:相似三角形 分析:ABCCBD BC2 =BDAB BC=,AC=3 AB= BD=4、在中,、都是銳角,且,。求的面積。對象:的面積 角度:銳角函數(shù)值分析:, A=30,B=60 C=90 是以AB為斜邊的直角三角形 ,A=30,B=60 AC=5,BC=5 的面積為B5、河旁有一座小山,從山頂A處測得河對岸點(diǎn)C的俯角為30,測得岸邊點(diǎn)D的俯角為45,又知河寬CD為50米。現(xiàn)需從山頂A到河對岸點(diǎn)C拉一條筆直的纜繩AC,求
5、纜繩AC的長。 (B級) 對象:R tABC和R tABD 角度:三角函數(shù) 分析:EAC=30,EAD=45 ACB=30,ADB=45 AB= x AC=2x,BC=x,BD=x CD=50BD=x 50 x=x 50 x=25(1) AC=50(1)6、如圖某船向正東航行。在A處望見燈塔C在東北方向,前進(jìn)到B處望見燈塔C在北偏西30,又航行了半小時(shí)到D處,望見燈塔C恰在西北方向,若船速為每小時(shí)20海里,求A、D兩點(diǎn)間的距離。(結(jié)果不取近似值) (B級) 對象:右圖 角度:銳角三角函數(shù) 分析:很顯然,AC=DC,設(shè)AE=DE=x,則CE=x,CD=xBD=10 BE= x10 tanECB=
6、 x= 5(3+) AD=10(3+)7、在海上有一燈塔P,在它周圍3海里內(nèi)有暗礁,一客輪以9海里/時(shí)的速度由西向東航行,行至A處測得燈塔P到它北偏東60,繼續(xù)行駛10分鐘后,到達(dá)B處,又測得燈塔P在它的北偏西45,問客輪不改變航線繼續(xù)前進(jìn)有無觸礁危險(xiǎn)? (B級)(此題有現(xiàn)有條件不變的情況下,還可能問:船離燈塔P的最近距離是多少?船再走多遠(yuǎn),離燈塔最近?船再行駛多少時(shí)間,離燈塔P最近?) 對象: 右圖中RtPAC中PC 角度:銳角三角函數(shù) 分析:PAC=30 PBC=45 設(shè)PC=X BC=X,AC=X AB=9= +X=X X=3 所以不改變航線繼續(xù)前進(jìn)有觸礁危險(xiǎn)8、將兩塊三角板如圖放置,C
7、EDB90,A45,E30,ABDE6。求重疊部分四邊形DBCF的面積。 (C級)對象:四邊形DBCF的面積 角度:直角三角形的面積分析:在EDB中, EDB90,E30,DE6, 又 A45, AFD45,得FDAD 在等腰直角三角形ABC中,斜邊AB6,所以 9、如圖,山上有一座鐵塔,山腳下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周圍沒有開闊平整地帶該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測得,從A、D、C三點(diǎn)可看到塔頂端H可供使用的測量工具有皮尺、測傾器(1)請你根據(jù)現(xiàn)有條件,充分利用矩形建筑物,設(shè)計(jì)一個(gè)測量塔頂端到地面高度HG的方案具體要求如下:測量數(shù)據(jù)盡可能少;在所給圖形上,畫出你設(shè)計(jì)的測量平
8、面圖,并將應(yīng)測數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上(如果測A、D間距離,用m表示;如果測D、C間距離,用n表示;如果測角,用、表示)AHGBDC第3題圖(2)根據(jù)你測量的數(shù)據(jù),計(jì)算塔頂端到地面的高度HG(用字母表示,測傾器高度忽略不計(jì)) (C級)分析:方案1:(1)如圖a(測三個(gè)數(shù)據(jù))(2)解:設(shè)HG=x,在RtCHG中CG=xcot 在RtDHM中DM=(xn)cotxcot=(xn)cot x= 方案2:(1)如圖b(測四個(gè)數(shù)據(jù))(2)解:設(shè)HG=x , 在RtAHM中AM=(xn) cot在RtDHM中DM=(xn)cot(xn) cot=(xn)cot+m HAGBDCnm方案3圖cMx=方案3:(1)如
9、圖c(測五個(gè)數(shù)據(jù))HAGBDCnm方案2圖bMAHGBDCn方案1圖aM(2)參照方案1(2)或方案2(2)小結(jié):某些斜三角形和其它圖形的問題可轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題,在解題中應(yīng)有“化歸”意識;某圖形中有多個(gè)直角三角形時(shí),應(yīng)先解元素齊備的直角三角形;某些實(shí)際問題可歸結(jié)為解直角三角形;通過解直角三角形要進(jìn)一步領(lǐng)會轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、方程思想、分類思想等數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運(yùn)用。10、據(jù)氣象臺預(yù)報(bào),一強(qiáng)臺風(fēng)的中心位于寧波(指城區(qū),下同)東南方向()千米的海面上,目前臺風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度向北偏西60的方向移動(dòng),距臺風(fēng)中心50千米的圓形區(qū)域均會受到強(qiáng)襲擊已知寧海位于寧波正南
10、方向72千米處,象山位于寧海北偏東60方向56千米處請問:寧波、寧海、象山是否會受這次臺風(fēng)的強(qiáng)襲擊?如果會,請求出受強(qiáng)襲擊的時(shí)間;如果不會,請說明理由(為解決問題,須畫出示意圖,現(xiàn)已畫出其中一部分,請根據(jù)需要,把圖形畫完整) (C級)_(臺風(fēng)中心)_(寧海)_(寧波)_P_B_A分析:過作東西方向(水平)直線與(南北)延長線交于,延長臺風(fēng)中心移動(dòng)射線與相交于 ,45, 30, 30=, 與重合, 臺風(fēng)中心必經(jīng)過寧海經(jīng)過寧海的時(shí)間為(時(shí)) 如圖為象山,由題意可得30+30=60,到的距離60=,象山會受到此次臺風(fēng)強(qiáng)襲擊求受襲擊時(shí)間可先求以為圓心,為半徑的圓與相交的弦長等于,受襲擊時(shí)間(時(shí)) 到的
11、距離60=,寧波不會遭受此次臺風(fēng)的強(qiáng)襲擊綜上所述:寧波不會遭受此次臺風(fēng)的強(qiáng)襲擊;寧海:會,受襲擊時(shí)間為5時(shí);象山:會,受襲擊時(shí)間時(shí)(約1時(shí)13分)11、5,求BC長 (B 級)解法一:過B做BEAC交AC延長線于E,在ABE中,DC為ABE中位線DCBBCE90,解法二:過D做DEAC,則BE為AC中位線,DEDC,在解法三:做EBDC交CD延長線于E,在DEB和DCA中,BDECDA,ADDB,BEDACDRtDEBDCAEBAC512、測量人員在山腳A處測得山頂B的仰角45,沿著傾斜30的山腳前進(jìn)1000米來到R處,再測得山頂仰角60,求山高BC解:過R做RFAC,REBC分別交AC、BC
12、于F、E,在RtARF中,在RtBRE中,設(shè)BRx米,在RtABC中,BAC=45,AC=BC解得x1000四、課后練習(xí)根,則此三角形為 C A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等邊三角形2、在與樓水平距離為h的A處(A的高度略去不計(jì)),測得樓頂?shù)难鼋菫?60,則樓高 B 3、河的對岸有一電線桿CD,從A點(diǎn)測得電線桿頂端D的仰角為30,前進(jìn)30米到達(dá)B處,測得D的仰角為45,求電線桿的高? 對象:CD的長 角度:銳角三角函數(shù) 分析:(設(shè)BC=x) CD=x, AC=30+x RtADC中A=30 X= x=15+15 電線桿的高為15+154、如圖,ABC中,C=90,A=45,EBC=
13、DEC=30,若AE=6cm,求DC的長。 (3)對象:DC的長 角度:銳角三角函數(shù) 分析:(設(shè)EC=x)A=45 BC=AC=6+xBAECD RtBEC中EBC =30 EC= x= X= RtDEC中DEC =30 DC=5、如圖:在等腰直角三角形ABC中,C900,AC6,D是AC上一點(diǎn),若tanDBA,則AD的長為( ) ( A ) A、 B、2 C、1 D、26、從塔頂A測得一樓頂C的俯角為,樓底D的俯角為,已知B、D兩點(diǎn)間的距離為akm,求樓高CD。7、太陽光線與地面成60角,一棵傾斜的大樹與地面成 30角,這時(shí)測得大樹在地面上的影長約為10m,求大樹的長?(保留兩個(gè)有效1.73
14、2數(shù)字,下列數(shù)據(jù)供用:1.414,1.732) 8、如圖在小山的東側(cè)A 莊測得山頂P的仰角為在有一熱氣球,由于受西風(fēng)的影響,從A莊以每分鐘30米的速度沿著與水平方向成的方向飛行,20分鐘后到達(dá)點(diǎn)C處,此時(shí)氣球上的人發(fā)現(xiàn)氣球與山頂P點(diǎn)及小山西側(cè)的B莊恰在一條直線上,同時(shí)測得B莊的俯角為,求小山的高。9、A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向300千米處,以每小時(shí)10千米的速度向北偏東60的BF方向移動(dòng),距臺風(fēng)中心200千米的范圍是否受臺風(fēng)影響的區(qū)域(1).問城是否受臺風(fēng)的影響?(2).若A城受臺風(fēng)的影響,那么受臺風(fēng)影響的時(shí)間。10、如圖,MN表示某隧道挖掘工程的一段設(shè)計(jì)路線,MN的方向?yàn)殡y偏東30
15、度,在M的南偏東60度方向上有一個(gè)點(diǎn)A,一點(diǎn)A為圓心、600米為半徑的圓形區(qū)域?yàn)橥临|(zhì)疏松地帶(危險(xiǎn)區(qū))。取MN上一點(diǎn)B,測得BA的方向?yàn)槟掀珫|75度,已知MB=400米,請通過計(jì)算回答,如果不改變方向,挖掘路線是否會通過這一危險(xiǎn)區(qū)?(1.414,1.732)11、如圖,沿AC 的方向修建高速公路,為了加快工程進(jìn)度,要在小山的兩旁同時(shí)施工,在AC上取一點(diǎn) ,在 AC外另取一點(diǎn) D,使ABD=130,BD=480米,BDE=40,問開挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn),才能使A、C、E在一條直線上?(精確到0.1米) 12、如圖,某貨船以20海里/小時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處,經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá),到達(dá)后必須立即卸貨。此時(shí),接到氣象部門通知,一臺風(fēng)中心正以40海里/時(shí)的速度由A向北偏西方向移動(dòng)。距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均會受到影響。(1)、B處是否受到臺風(fēng)的影響?(請說明理由)(2)為避免受到臺風(fēng)的影響,該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物?C13、 如圖,在一個(gè)房間內(nèi),有一個(gè)梯子斜靠在墻上,梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米,此時(shí)梯子的傾斜角為75.若梯子底端不動(dòng),頂端靠在對面墻上,此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為b米,梯子的傾斜
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