七年級上冊《實數(shù)》教學(xué)案例

1、七年級上冊實數(shù)教學(xué)案例教學(xué)目標知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng);學(xué)會比較兩個實數(shù)的大小;了解在有理數(shù)范圍內(nèi)的運算及運算法則、運算性質(zhì)等在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，能熟練地進行實數(shù)運算;在實數(shù)運算時，根據(jù)問題的要求取其近似值，轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進行計算;通過學(xué)習(xí)“實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系”，滲透“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點與難點重點：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)關(guān)系。難點：對“實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)關(guān)系”的理解。教學(xué)準備教師：直徑為1cm的硬紙板的圓。教學(xué)設(shè)計教學(xué)過程設(shè)計意圖說明試一試我們知道有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但是數(shù)軸上的點是否都表示有理數(shù)?無理數(shù)可以用數(shù)軸

2、上的點來表示嗎?課件演示課本第175頁探究題;學(xué)生動手操作，利用課前準備好的硬紙板的圓片在自己畫好的數(shù)軸上實踐體會。你能在數(shù)軸上畫出坐標是2的點嗎?畫一畫，說說你的方法。教師啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論：每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示出來。練習(xí)：學(xué)生自己完成課本第178頁練習(xí)第1題。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進一步得出結(jié)論：在數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)后，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。即：每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示;數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)。類比在有理數(shù)范圍內(nèi)相反數(shù)、絕對值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸，在實數(shù)范圍內(nèi)理解相反數(shù)、絕對值的幾何意義。深入探討：平面直角坐標系中的點與有序?qū)崝?shù)對之間也存在著一

3、一對應(yīng)關(guān)系嗎?除了課件演示外再讓學(xué)生動手實踐操作的目的是讓學(xué)生直觀認識到可以用數(shù)軸上的點來表示無理數(shù)，而每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，即無理數(shù)與數(shù)軸上的點之間的對應(yīng)關(guān)系。通過練習(xí)，讓學(xué)生對于實數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，數(shù)軸上的一個點表示一個實數(shù)有了直觀的認識，體會實數(shù)與數(shù)軸上的點之間的一一對應(yīng)關(guān)系。將數(shù)與圖形聯(lián)系起來，體會數(shù)形結(jié)合的思想。教師在此環(huán)節(jié)中要留給學(xué)生充足的時間，讓學(xué)生自己歸納和總結(jié)。比一比問：利用數(shù)軸，我們怎樣比較兩個有理數(shù)的大小?在數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的大。這個結(jié)論在實數(shù)范圍內(nèi)也成立。我們還有什么方法可以比較兩個實數(shù)的大小嗎?兩個正實數(shù)的絕對值較大的值也較大

4、;兩個負實數(shù)的絕對值大的值反而小;正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于負數(shù)。例1比較下列各組數(shù)里兩個數(shù)的大?。?1)，1.4;(2)-，-;(3)-2，分析：像例1(1)，即可以將，1.4的大小比較轉(zhuǎn)化為，的大小比較;也可以先求出的近似值，再通過比較它們近似值(取近似值時，注意精確度要相同)的大小，從而比較它們的大小。讓學(xué)生回憶有理數(shù)范圍內(nèi)比較大小的方法，體會在實數(shù)范圍內(nèi)這些比較兩個數(shù)大小的方法依舊成立。通過例題，使學(xué)生掌握比較兩數(shù)大小的方法。算一算問：在數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)后，我們已經(jīng)學(xué)過哪些運算?答：加、減、乘、除、乘方和開方運算。接著問：有哪些規(guī)定嗎?除法運算中除數(shù)不為0，而且只有正數(shù)及0可

5、以進行開平方運算，任何一個實數(shù)都可以進行開立方運算。問：有理數(shù)滿足哪些運算律?加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)分配律：a(b+c)=ab+ac我們?nèi)绾沃肋\算律在實數(shù)范圍內(nèi)是否適用?例2計算下列各式的值：(1);(2)例3計算：(1)(精確到0.01)(2)(保留三個有效數(shù)字)(3)(保留三個有效數(shù)字)(在實數(shù)運算中，當遇到無理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似值時，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似的有限小數(shù)去代替無理數(shù)，再進行計算。)鼓勵學(xué)生多舉一些實際例子來驗證。其意義一是為了避免學(xué)生產(chǎn)生片面認識，以為從幾

6、個例子就可以得出普遍結(jié)論，二讓學(xué)生了解結(jié)論的重要性。例2與例3要求是不同的。例2在運算中遇到無理數(shù)但并不需要求出結(jié)果的近似值，例3卻不同，不僅在運算中遇到無理數(shù)且需要求出結(jié)果的近似值，在教學(xué)中應(yīng)該提醒學(xué)生注意按照問題的要求解決問題。課堂鞏固課本第178頁練習(xí)第2、3題。小結(jié)布置作業(yè)必做題：課本第179頁習(xí)題10.3的第4、5、6、8題。選做題：課本第179頁習(xí)題10.3的第9題。備選題：(1)若m表示一個實數(shù)，則-m表示一個()A.負數(shù)B.正數(shù)C.實數(shù)D.非正數(shù)(2)計算：求5的算術(shù)平方根與2的平方根之和(保留三個有效數(shù)字);(精確到0.01);已知，求ab的值。個鋼球的體積是200cm3，求

7、它的半徑(取3.14，結(jié)果保留三個有效數(shù)字)。設(shè)計思想本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中注重從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，如學(xué)生在有理數(shù)章節(jié)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，所以在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識，讓學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)活動，除了讓學(xué)生看課件演示外，更通過讓學(xué)生動手實驗操作，感悟知識的生成、發(fā)展和變化，自己探索得到結(jié)論：實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)方法。在“比一比”教學(xué)環(huán)節(jié)中，先讓學(xué)生回憶有理數(shù)范圍內(nèi)數(shù)的大小的比較方法，體會在實數(shù)范圍內(nèi)這些比較兩個數(shù)大小的方法依舊成立，在比較的過程中讓學(xué)生體會一個很重要的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想。在“算一算”教學(xué)環(huán)節(jié)中，先復(fù)習(xí)七年級上已經(jīng)學(xué)習(xí)

8、過的有理數(shù)范圍內(nèi)的運算律，然后提出一個富有啟發(fā)性且具有探索意義的問題“我們?nèi)绾沃肋\算律在實數(shù)范圍內(nèi)是否適用?”然后鼓勵學(xué)生多舉一些例子來驗證，其意義一是為了避免學(xué)生產(chǎn)生片面認識，以為從幾個例子就可以得出普遍結(jié)論，二讓學(xué)生了解結(jié)論的重要性。背景資料中國古代科學(xué)家對的研究圓周率是一個極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始，這個數(shù)就引起了外行人和學(xué)者們的興趣。作為一個非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關(guān)圓的計算問題而提出的。幾千年來古今中外一代一代的數(shù)學(xué)家為了求出它的盡量準確的近似值獻出了自己的智慧和勞動。德國數(shù)學(xué)史家康托曾說過：“歷史上一個國家所算得的圓周率的準確程度，可以作為衡量這個國家當時

9、數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標?！敝钡?9世紀初，求圓周率的值仍然是數(shù)學(xué)中的頭號難題。在我國劉徽之前“圓徑一而周三”曾廣泛流傳。我國第一部周髀算經(jīng)中，就記載有圓“周三徑一”這一結(jié)論。在我國，木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣：叫做：“周三徑一，方五斜七”，意思是說，直徑為1的圓，周長大約是3，邊長為5的正方形，對角線之長約為7。這正反映了早期人們對圓周率和這兩個無理數(shù)的粗略估計。東漢時期官方還明文規(guī)定圓周率取3為計算面積的標準。后人稱之為“古率”。東、西漢之交，新朝王莽令劉歆制造量的容器律嘉量斛，劉歆在制造標準容器的過程中就需要用到圓周率的值。為此，大約也是通過做實驗，得到一些關(guān)于圓周率的并不劃一的近似值。

10、現(xiàn)在根據(jù)銘文推算，其計算值分別取為3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比“徑一周三”的古率已有所進步。人類的這種探索的結(jié)果，當主要用來估計圓田面積時，對生產(chǎn)沒有太大影響，但以此來制造器皿或其他計算就不合適了。憑直觀推測或?qū)嵨锒攘?，來計算值的實驗方法所得到的結(jié)果是相當粗略的。在我國，首先是由數(shù)學(xué)家劉徽得出較精確的圓周率。公元263年前后，劉徽提出著名的割圓術(shù)，得出=3.14，通常稱為“徽率”，他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術(shù)的時間比阿基米德晚一些，但其方法卻有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德用內(nèi)接同時又用外切正多邊形

11、簡捷得多。另外，有人認為在割圓術(shù)中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以至于他將割到192邊形的幾個粗糙的近似值通過簡單的加權(quán)平均，竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率=3927/1250=3.1416。而這一結(jié)果，正如劉徽本人指出的，如果通過割圓計算得出這個結(jié)果，需要割到3072邊形。這種精加工方法的效果是奇妙的。這一神奇的精加工技術(shù)是割圓術(shù)中最為精彩的部分，令人遺憾的是，由于人們對它缺乏理解而被長期埋沒了?？峙麓蠹腋邮煜さ氖亲鏇_之所做出的貢獻吧。對此，隋書律歷志有如下記載：“宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二?！边@一記錄指出，祖沖之關(guān)于圓周率的兩大貢獻。其一是求得圓周率3.14159263.1415927;其二是，得到的兩個近似分數(shù)即：約率為22/7;密率為355/113。他算出的的8位可靠數(shù)字，不但在當時是最精密的圓周率，而且保持世界紀錄九百多年。以至于有數(shù)學(xué)史家提議將這一結(jié)果命名為“祖率”。這一結(jié)果是如何獲得的呢?追根溯源，正是基于對劉徽割圓術(shù)的繼承與發(fā)展，祖沖之才能得到這