材料力學(xué) 第10章 能量法.ppt

1、材料力學(xué),10.1 概述,10.2 彈性應(yīng)變能的計算,10.3 互等定理,10.4 卡氏第二定理,10.5 虛功原理,10.6 單位載荷法,10.7 圖乘法,10.9 超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法,第十章 能量法,能量原理,功能原理,用途：,計算結(jié)構(gòu)的變形,求解超靜定結(jié)構(gòu),數(shù)值計算計算力學(xué),固體力學(xué)中利用功與能之間的關(guān)系建立的一些定理,第十章 能量法,10.1 概述,能量法,利用能量原理求解可變形固體的位移、變形、內(nèi)力,或外力的計算方法。,對變形固體：,外力功,即：,彈性范圍內(nèi)應(yīng)變能可逆,10.1 概述,桿件應(yīng)變能,不計動能和其它能量,靜載：,能量原理,一、線彈性問題的應(yīng)變能,即：,10.2 彈性應(yīng)變

2、能的計算,第十章 能量法,變形能是外力或位移的二次函數(shù),線彈性體的應(yīng)變能等于每一外力,與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和,（一）、軸向拉伸或壓縮,1、應(yīng)變能,（1）軸力沿軸線不變,二、桿件應(yīng)變能的計算,10.2 彈性應(yīng)變能的計算,（2）軸力沿軸線變化,2、比能,10.2 彈性應(yīng)變能的計算,（二）、扭轉(zhuǎn),1、應(yīng)變能,（1）扭矩沿軸線不變,（2）扭矩沿軸線變化,10.2 彈性應(yīng)變能的計算,2、純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能,10.2 彈性應(yīng)變能的計算,（三）、彎曲,（1）純彎曲,10.2 彈性應(yīng)變能的計算,（2）橫力彎曲,微段dx,整個梁,10.2 彈性應(yīng)變能的計算,（四）、組合變形下的應(yīng)變能,10.2 彈

3、性應(yīng)變能的計算,因為是彈性體，所以應(yīng)變能在數(shù)值上仍等于外力功，即Ve=W ，但必須注意F-D以及s-e 的非線性關(guān)系，不能再用線彈性體的公式計算外力功。,(2) 非線性彈性體,1. 軸向拉伸與壓縮,應(yīng)變能密度,式中，Me為扭轉(zhuǎn)力偶矩，j為扭轉(zhuǎn)角，t為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，g 為切應(yīng)變。,2. 扭轉(zhuǎn),應(yīng)變能,式中， Me為外力偶矩，q為彎曲轉(zhuǎn)角，s為正應(yīng)力，e為線應(yīng)變。,應(yīng)變能密度,應(yīng)變能和應(yīng)變能密度之間的關(guān)系為,式中，V 為體積。,3. 梁,應(yīng)變能,原為水平位置的桿系如圖a所示，試計算在荷載F1作用下桿系的應(yīng)變能。兩桿的材料均線彈性彈性模量均為E,橫截面面積均為A。,例 題 3-1,(1),首先分析力F

4、 和位移D之間的關(guān)系，求出F = f (D)的表達(dá)式，然后利用 求Ve。設(shè)兩桿的軸力均為FN ，兩桿的伸長量和A點的位移分別為,例 題 3-1,解:,由結(jié)點A的平衡方程，得,由于a 為小角度，,(3),(5),將(4)式代入(3)式，得,例 題 3-1,F 和D的關(guān)系如圖b所示。,桿的應(yīng)變能為,例 題 3-1,(1) 由于力F 引起的變形l，對FN產(chǎn)生影響，形成F 和D的非線性關(guān)系，而應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)詾榫€性關(guān)系幾何非線性。當(dāng)材料為非線性彈性體時，即應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榉蔷€性時 物理非線性。,例 題 3-1,(2)幾何非線性時，不能用 求應(yīng)變能，而只能用 求應(yīng)變能。,. 余能,圖 a為非線性體彈性體的受拉桿

5、，其F -D和s-e關(guān)系如圖b、c 所示。,(1) 余功的定義為,(3-6),其大小為曲面OF1a的面積如圖d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量綱，且Wc 為矩形OF1aD1 的面積與曲面OaD1 的面積（W）之差（圖d）,故稱Wc 為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無物理概念，即沒有什么力作的功為Wc 。,(3) 線彈性體(圖e),Ve 和 Vc 數(shù)值相等,(2) 余能,圖a中兩桿的長度均為l，橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸時的 s e 關(guān)系如圖b 所示。求結(jié)構(gòu)的余能。,例 題 3-2,由結(jié)點C的平衡方程，得二桿的軸力為,應(yīng)力為,解:該題為物理非線性問題，需用 求 Vc。其中 。,例 題

6、 3-2,余能密度為,結(jié)構(gòu)的余能為,由b圖所示的單軸拉伸時的s e的關(guān)系可得,例 題 3-2,例 1 求圖示簡支梁的變形能，并求yC,解：,1.求支反力,2.列彎矩方程,AC段：,CB段：,例 1 求圖示簡支梁的變形能，并求fC,解：,1.求支反力,2.列彎矩方程,AC段：,CB段：,3.求梁的變形能,4.求fC,一、功的互等定理,10.3 互等定理,以圖示梁為例證明如下：,第十章 能量法,1.先在1點作用F1,再在2點作用F2,外力功：,外力功：,變形能：,10.3 互等定理,1.先在1點作用F1,10.3 互等定理,2.先在2點作用F2,再在1點作用F1,外力功：,外力功：,變形能：,1.

7、先在1點作用F1,10.3 互等定理,2.先在2點作用F2,變形能只決定于力與位移的最終值，,與加載次序無關(guān),即：,功的互等定理,二、位移互等定理,由功的互等定理,位移互等定理,注意：,1.上述互等定理對于所有的線性結(jié)構(gòu)都適用,2.力和位移應(yīng)理解為廣義力和廣義位移,10.3 互等定理,當(dāng)F1=F2=F時,（力與位移成線性關(guān)系的結(jié)構(gòu)）,例 3 試求圖示梁的跨中撓度fC,解：,1.當(dāng)Me作用時,設(shè)想在C點作用F,2. 由功的互等定理,3.查表,討論：若應(yīng)用位移互等定理任何求解？,第十章 能量法,10.4 卡氏第二定理,已知：彈性體受一組相互獨立的廣義力F1、F2、Fi、作用,求：任一廣義力Fi的作

8、用點沿Fi方向的廣義位移i ，,例如：,一、推導(dǎo),給：,總變形能：,10.4 卡氏第二定理,有：,一、推導(dǎo),10.4 卡氏第二定理,改變加載次序,總變形能：,先加dFi ：,再加F1,F2,Fi ,：,一、推導(dǎo),10.4 卡氏第二定理,由,卡氏定理：,說明：,1.卡氏定理適用于線彈性結(jié)構(gòu)；,2.Fi為廣義集中力，I為廣義位移。,得到,二、應(yīng)用,1.梁的彎曲,10.4 卡氏第二定理,2.桁架,10.4 卡氏第二定理,3.求沒有集中力作用的點的位移,在該點沿要求位移的方向，作用一個假想的力F0(附加力)，,計算出在載荷和附加力共同作用時的變形能，在求得U對F0的偏,10.4 卡氏第二定理,導(dǎo)數(shù)后，

9、再令F0=0，即,0廣義位移,F0廣義力,例4 圖示剛架的EI為常量，不計軸力和剪力影響，,解：,1.求B,(1)列彎矩方程，并求導(dǎo),DC段：,求B、D 。,CB段：,BA段：,(2)求B,例4 圖示剛架的EI為常量，不計軸力和剪力影響，,解：,2.求D,(1)加附加力,DC：,求B、D。,CB：,BA：,(3)求D,(2)列彎矩方程,第十章 能量法,10.6 單位載荷法,已知：彈性體受一組相互獨立的廣義力F1、F2、Fi、作用,求：任一點C的廣義位移，,一、定理推導(dǎo),圖(a)：,圖(b)：,10.6 單位載荷法,圖(c)：,圖(d)：,廣義位移,實際載荷引起的彎矩,單位廣義力引起的彎矩,莫爾

10、定理：,這種計算位移的方法稱為單位載荷法,10.6 單位載荷法,式中,莫爾積分,1.扭轉(zhuǎn),2.桁架,10.6 單位載荷法,二、莫爾定理的其它情形,4.組合變形情況,10.6 單位載荷法,3.求相對位移,卡氏定理：,莫爾定理：,10.6 單位載荷法,三、莫爾定理與卡氏第二定理的關(guān)系,以彎曲為例說明兩者之間的關(guān)系,若i=，則有：,解：,1. 求yC,(1).列彎矩方程,(2).求yC,由對稱性,例5 求圖示梁的yC和B。,例5 求圖示梁的yC和B。,解：,1. 求yC,(1).列彎矩方程,(2).求B,2. 求B,上述積分可以簡化,第十章 能量法,10.7 圖乘法（維利沙金法）,必為直線或折線,對

11、于等直桿,在單位力或單位力偶的作用下，,10.7 圖乘法,一、 為直線情況,10.7 圖乘法,一、 為直線情況, M圖的面積, M圖的形心坐標(biāo), 圖中與M圖形心所對應(yīng)的值,式中,圖乘法上述計算莫爾積分的方法,1.以折線的轉(zhuǎn)折點為界，將積分分成若干段,2.逐段使用圖乘法,3.求和,10.7 圖乘法,二、 為折線情況,10.7 圖乘法,三、積分值的符號,M圖的形心C與 在同側(cè)，積分值為 +,異側(cè)，積分值為 -,四、幾種常用圖形的面積及其形心位置,1.三角形,10.7 圖乘法,10.7 圖乘法,四、幾種常用圖形的面積及其形心位置,2.二次拋物線,10.7 圖乘法,3.n次拋物線,四、幾種常用圖形的面

12、積及其形心位置,五、M圖由幾種常用圖形組合情況,1.將M圖分解為幾種常用圖形的組合,2.分別應(yīng)用圖乘法,3.疊加,10.7 圖乘法,六、一般情況,若一個為直線或折線，,可使用圖乘法。,10.7 圖乘法,例6 用圖乘法求圖示梁的yC,分為AC和CB兩段使用圖乘法,解：,1.作M圖,2.作 圖,3.求解,例7 圖乘法求圖示外伸梁A端轉(zhuǎn)角A,解：,1.疊加法作M圖,2.作 圖,3.求解A,1.確定超靜定次數(shù)，選定靜定基,2.作出相當(dāng)系統(tǒng),3.寫出相當(dāng)系統(tǒng)的應(yīng)變能,4.根據(jù)多余約束處的位移條件，,5.聯(lián)立求解補(bǔ)充方程，得到全部多余約束力,6.按靜定結(jié)構(gòu)求其余約束力、內(nèi)力、應(yīng)力和位移,應(yīng)用卡氏定理列出補(bǔ)充方程,10.9 超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法,例 8 圖示超靜定梁的EI為常量，試求多余約束力。,解：,一次超靜定,1.取靜定基,2.作相當(dāng)系統(tǒng),4. 求解變形協(xié)調(diào)方程,3.列變形協(xié)調(diào)方程,例 8 圖示超靜定梁的EI為常量，試求多余約束力。,解：,一次超靜定,5.討論,利用,求得,力法,以力作為基本未知量求解超靜定問題的方法,11靜定基的B點在多余約束力FB方,力法正則方程,10.10 力法 正則方程,向作用單位力時所引