圓錐曲線題型歸納(經(jīng)典)

1、 橢圓題型總結(jié) (簡(jiǎn)單) 一、 橢圓的定義和方程問題(一) 定義:1. 命題甲:動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和命題乙: 的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，則命題甲是命題乙的 ( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2. 已知、是兩個(gè)定點(diǎn)，且,若動(dòng)點(diǎn)滿足則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.圓 C.直線 D.線段3. 已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn), 是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果延長(zhǎng)到,使得,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是( )A.橢圓 B.圓 C.直線 D.點(diǎn)4. 橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，是橢圓的中心，則的值是 。5. 選做：F1是橢圓的左焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)A（1，1），求

2、的最小值。7. (1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為_(2)拋物線C: y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。8、F是橢圓的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。（1）的最小值為 （2）的最小值為 (二) 標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍1. 試討論k的取值范圍，使方程表示圓，橢圓，雙曲線。（）2. ( )A.充分而不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3. 若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所在的象限是（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.

3、方程所表示的曲線是 .5. 已知方程表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的范圍是 (三) 待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，5）和（0，5），橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為26；（2）長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且過點(diǎn)（2，6）；（3）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn),求橢圓方程.2. 簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1 求下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）； （2）過（3，0）點(diǎn)，離心率為。 （3）橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓的最近距離是。（4）橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為3

4、，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（5）已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過P作長(zhǎng)軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。3過橢圓的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為_（四）橢圓系共焦點(diǎn)，相同離心率1 橢圓與的關(guān)系為（） A相同的焦點(diǎn) B。有相同的準(zhǔn)線 C。有相等的長(zhǎng)、短軸 D。有相等的焦距2、求與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。 （五）焦點(diǎn)三角形4a1. 已知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)。若，則 。2. 已知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且斜率不為0的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是 。3. 已知的頂點(diǎn)、在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的

5、另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長(zhǎng)為 。（六）焦點(diǎn)三角形的面積： 1. 已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，、為焦點(diǎn)，求點(diǎn)到軸的距離。2. 設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，、為焦點(diǎn)，求的面積。3. 已知AB為經(jīng)過橢圓的中心的弦，F(xiàn)(c,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則AFB的面積的最大值為 。（七）焦點(diǎn)三角形PF1PF21. 設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為和，為橢圓上一點(diǎn)，求的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。2. 橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則 ； 。3. 橢圓的焦點(diǎn)為、，為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為 。4. P為橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。（1）若的中點(diǎn)是，求證：；（2）若，求的值。（八）與橢圓相關(guān)的軌跡方程定義法：

6、1. 點(diǎn)M(x,y)滿足，求點(diǎn)M的軌跡方程。（）2. 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，并且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.3. 已知圓,圓，動(dòng)圓與外切，與內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.4. 已知，是圓（為圓心）上一動(dòng)點(diǎn),線段的垂直平分線交于,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 5. 已知A(0,-1),B(0,1),ABC的周長(zhǎng)為6，則ABC 的頂點(diǎn)C的軌跡方程是 。直接法6. 若的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是和，另兩邊、的斜率的乘積是，頂點(diǎn)的軌跡方程為 。相關(guān)點(diǎn)法7. 已知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸引垂線段，垂足為，點(diǎn)在上，并且，求點(diǎn)M的軌跡。8. 已知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向X軸引垂線段PP，則線段PP的中點(diǎn)M的軌跡

7、方程是 9. 已知橢圓，A、B分別是長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)，P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP中點(diǎn)的軌跡方程。10. 一條線段的長(zhǎng)為，兩端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動(dòng) ，點(diǎn)在線段上，且,求點(diǎn)的軌跡方程.二、 直線和橢圓的位置關(guān)系 (一)判斷位置關(guān)系1 當(dāng)為何值時(shí),直線和橢圓 (1)相交；(2)相切；(3)相離。2 若直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 。 (二)弦長(zhǎng)問題1. 設(shè)橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為。（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），直線交橢圓C于另一點(diǎn)N，求的面積。 (三)點(diǎn)差法1. 已知一直線與橢圓 相交于、兩點(diǎn)

8、,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線AB的方程. 2. 橢圓C以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并與直線l:x+2y=7相交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2，5），若為等腰三角形，求橢圓C的方程。(四) 定值、定點(diǎn)問題1、已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn),已知點(diǎn) ， 求證：為定值. (五) 取值范圍問題已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上.若右焦點(diǎn)到直線的距 離為3.（1）求橢圓的方程.（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求的 取值范圍橢圓題型總結(jié)一、焦點(diǎn)三角形1. 設(shè)F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，弦AB過F2，求的面積的最大值。2. 如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；(

9、2) 若，求點(diǎn)P的坐標(biāo).二、點(diǎn)差法定理 在橢圓（0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則.3. 直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，交橢圓于兩點(diǎn)P1、P2，（1）若A是線段P1P2的中點(diǎn)，求l的方程；（2）求P1P2的中點(diǎn)的軌跡4. 在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由.三、最值問題5. 已知P為橢圓上任意一點(diǎn)，M（m，0）（mR），求PM的最小值。6. 在橢圓求一點(diǎn)P，是它到直線l：

10、x+2y+10=0的距離最小，并求最大最小值。7. 設(shè)AB是過橢圓中心的弦，F(xiàn)1是橢圓的上焦點(diǎn)，（1）若ABF1面積為4，求直線AB的方程；（2）求ABF1面積的最大值。8. （2014金山區(qū)一模23題）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為. 記曲線是以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓. 設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線，是上異于橢圓中心的點(diǎn). （1） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（3） 若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小值. 9. 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)，與橢圓相交于、兩點(diǎn)（1）若，求

11、的值；（2）求四邊形面積的最大值四、垂直關(guān)系10.（上海春季）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、。(1) 若為等邊三角形，求橢圓的方程；(2) 若橢圓的短軸長(zhǎng)為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。11. 如圖，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，問是否存在直線l使得F為的垂心。若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。12. （2012年高考（湖北理）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足。當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線。（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（）過原點(diǎn)

12、且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn)。是否存在，使得對(duì)任意的，都有?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。圖2 圖3 圖1O D xyAM13. （10浙江/21）已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn). (1) 當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(2) 設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，的重心分別為.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 14. （09山東/22）設(shè)橢圓E：（a，b0）過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1) 求橢圓E的方程；(2) 是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A

13、，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由. 五、存在性問題15. 以橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，問這樣的直角三角形是否存在？如果存在，請(qǐng)說明理由，并判斷最多能作出幾個(gè)這樣的三角形；如果不存在，請(qǐng)說明理由. 16. （2015虹口二模）已知圓：，點(diǎn)(1,0)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)分別是曲線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第三象限，若,為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率；(3)過點(diǎn)的動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

14、17. （2015嘉定二模）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且。（1）求證：是等邊三角形；（2）若過、三點(diǎn)的圓恰好與直線：相切，求橢圓的方程；（3）設(shè)過（2）中橢圓的右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與交于、兩點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)。在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。六、定點(diǎn)或定直線問題18. 已知橢圓方程為，當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上19. 已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，短軸長(zhǎng)為(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（

15、不是橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)20. 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到F1、F2的距離之和是4，點(diǎn)的軌跡與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過點(diǎn)的直線：與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和雙曲線題型總結(jié)一. 定義的應(yīng)用1動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_2已知點(diǎn)和，曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到、的距離之差為6，則曲線方程為（）A B C或 D 3.已知平面上兩定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)M，命題甲：（為常數(shù)），命題乙：“點(diǎn)M軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線”，則命題甲是命題乙的 （ ）充分不必要條件 必要不充分條件 充要條件 既不充分也不必要條件4雙曲線上一點(diǎn)到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于

16、.5設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則的值為6已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在雙曲線上且，且的面積為1，則雙曲線的方程為_7.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則該雙曲線的方程是 （ ） 8. 已知為雙曲線的焦點(diǎn)，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且；則9雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到 軸的距離為 10.雙曲線16x2-9y2=144上一點(diǎn)P(x0,y0)(x00)到左焦點(diǎn)距離為4，則x0= .11若橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的值為12動(dòng)圓與兩圓和都相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為（）A拋物線

17、來源:學(xué).科.網(wǎng)B圓 C雙曲線的一支 D橢圓13是雙曲線左支上的一點(diǎn)，為其左、右焦點(diǎn)，且焦距為，則的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為二. 雙曲線的幾何性質(zhì)1“ab0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p、q，則等于（ ）A2aB C4a D 6在拋物線 內(nèi)，通過點(diǎn)（2，1）且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_7過拋物線y2=x的焦點(diǎn)F的直線l的傾斜角,直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上方，則|FA|的取值范圍是（ ）A（,1+ B. （,1 C . ,+) D.,+)8.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2,y10,y20)在拋物線

18、上，且存在實(shí)數(shù)，使+=，|=求直線AB的方程；解答題1如圖，、是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn), 過點(diǎn)、引拋物線的兩條弦.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線與的斜率是互為相反數(shù), 且兩點(diǎn)在直線的兩側(cè).直線的斜率是否為定值？若是求出該定值，若不是, 說明理由；求四邊形面積的取值范圍.3 已知拋物線，直線與交于兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，記直線的斜率分別為，證明為定值4已知拋物線：（）與橢圓：相交所得的弦長(zhǎng)為（）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)，是上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且為定值（）時(shí)，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)5已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于5.（）求拋物線的方程；（）如圖，過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，若，求三角形的面積.6如圖，已知拋物線：，過焦點(diǎn)斜率大于零的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)（）若線段的長(zhǎng)為，求直線的方程；（）在上是否存在點(diǎn)，使得對(duì)任意直線，直線，的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.7已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且到原點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，