線性方程組的矩陣求法.doc

1、線性方程組的矩陣求法摘要：關(guān)鍵詞：第一章 引言矩陣及線性方程組理論是高等代數(shù)的重要內(nèi)容, 用矩陣方法解線性方程組又是人們學(xué)習(xí)高等代數(shù)必須掌握的基本技能,本文將給出用矩陣解線性方程組的幾種方法，通過(guò)對(duì)線性方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）進(jìn)行初等變換得到其解，并列舉出幾種用矩陣解線性方程組的簡(jiǎn)便方法。第二章 用矩陣消元法解線性方程組第一節(jié) 預(yù)備知識(shí) 定義1：一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個(gè)矩陣的秩。 定理1：初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)橐粋€(gè)與它同解的線性方程組。定義2：定義若階梯形矩陣滿足下面兩個(gè)條件：（1）B的任一非零行向量的第一個(gè)非零分量（稱為的一個(gè)主元）為1；（2）B中每一主元是其所

2、在列的唯一非零元。則稱矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣。第二節(jié)1對(duì)一個(gè)線性方程組施行一個(gè)初等變換，相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣施行一個(gè)對(duì)應(yīng)的行初等變換，而化簡(jiǎn)線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡(jiǎn)它的增廣矩陣，因此，我們將要通過(guò)花間矩陣來(lái)討論化簡(jiǎn)線性方程組的問(wèn)題。這樣做不但討論起來(lái)比較方便，而且能給我們一種方法，就一個(gè)線性方程組的增廣矩陣來(lái)解這個(gè)線性方程組，而不必每次都把未知量寫出來(lái)。下面以一般的線性方程組為例，給出其解法：（1）根據(jù)方程組可知其系數(shù)矩陣為： （2）其增廣矩陣為：（3）根據(jù)（2）及矩陣的初等變換我們可以得到和它同解的線性方程組，并很容易得到其解。定理2：設(shè)A是一個(gè)m行n列矩陣A=通過(guò)行初等變換和第一種列初

3、等變換能把A化為以下形式（4） 進(jìn)而化為（5）這里r0,rm, rn , 表示矩陣的元素，但不同位置上的表示的元素未必相等。即任何矩陣都可以通過(guò)初等變換化為階梯形，并進(jìn)而化為行最簡(jiǎn)形現(xiàn)在考察方程組（1）的增廣矩陣（3），由定理2我們可以對(duì)（1）的系數(shù)矩陣（2）施行一次初等變換，把它化為矩陣（5），對(duì)增廣矩陣（3）施行同樣的初等變換，那么（3）可以化為以下形式：（6）與（6）相當(dāng)?shù)木€性方程組是：（7）這里，是1，2，n的一個(gè)排列，由于方程組（7）可以由方程組（1）通過(guò)方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理1，方程組（7）與方程組（1）同解。因此，要求方程組（1），只需解方程組（7

4、），但方程組（7）是否有解以及有怎樣的解很容易看出:情形（1），rm,而, 不全為零，這時(shí)方程組（7）無(wú)解，因?yàn)樗暮髆-r個(gè)方程中至少有一個(gè)無(wú)解。因此方程組（1）也無(wú)解。情形（1），r=m 或rm而, 全為零，這時(shí)方程組（7）與方程組（8） 同解。當(dāng)r=n時(shí)，方程組（8）有唯一解,就是=,t=1,2,n.這也是方程組（1）的唯一解當(dāng)rn時(shí)方程組（8）可以改寫為（9）于是,給予未知量,以任意一組數(shù)值,，就得到（8）的一個(gè)解： 這也是（1）的一個(gè)解。由于,可以任選，用這一方法可以得到（1）的無(wú)窮多解。另一方面，由于（8）的任一解都必須滿足（9），所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上

5、方法得到。例1：解線性方程組 解：方程組的增廣矩陣是進(jìn)行初等行變換可得到矩陣最簡(jiǎn)形對(duì)應(yīng)的線性方程組是把移到右邊作為自由未知量，得原方程組的一般解第三章 用初等變換解線性方程組 定義2：設(shè)B為mn行最簡(jiǎn)形矩陣, 按以下方法作sn矩陣C:對(duì)任一i : , 若有B的某一主元位于第i列, 則將其所在行稱為C的第i行, 否則以n維單位向量作為C的第i行, 稱C為B的sn單位填充矩陣(其中).顯然, 單位填充矩陣的主對(duì)角線上的元素只能是“1”或“ -1” , 若主對(duì)角線上某一元素為“-1” , 則該元素所在列之列向量稱為C的“ J一列向量” 。定義3：設(shè)B為行最簡(jiǎn)形矩陣, 若B的單位填充矩陣C的任一“ J

6、一列向量”均為以B為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組:(1) (1)的解向量，則陳C與B是匹配的（也說(shuō)B與C是匹配的）。引理1：設(shè)B為行最簡(jiǎn)形矩陣，若將B的第i列與第j列交換位置所得矩陣仍為行最簡(jiǎn)形矩陣，則：（）將的單位填充矩陣的第行與第行交換位置，第列與第列交換位置所得矩陣為單位填充矩陣，其中（）若C與B是匹配的，則與也是匹配。證明：結(jié)論（）顯然成立，下證（），因?yàn)镃與B是匹配的，故C只能是nn矩陣, 從而也是nn矩陣, 設(shè)以B為系數(shù)矩陣的方程組為(1), 以為系數(shù)矩陣的方程組為(1),以為系數(shù)矩陣的方程組為： (2)則由B與的關(guān)系可知對(duì)方程組（1）進(jìn)行變量代換。就得到方程組（2）, 于是方程組（1

7、）的任一解向量交換i、j兩個(gè)分量的位置后就是方程組（2）的一個(gè)解向量, 又從C與的關(guān)系可知, 的任一“ J一列向量”均可由C的某一“ J一列向量”交換i、j兩個(gè)分量的位置后得到, 從而由C與B匹配知與也是匹配的。引理2：任一mn行最簡(jiǎn)形矩陣與其nn單位填充矩陣C是匹配的。證明:1設(shè) (3)則以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組為: (4)而B(niǎo)的單位填充矩陣為: (5)其所有J一列向量為顯然它們都是方程組(4)的解, 即B與C是匹配的.2，一般形式的行最簡(jiǎn)形矩陣B顯然總可以通過(guò)一系列的第二類初等列變換(變換兩列的位置)化為(3)的形式, 從而B(niǎo)的單位填充矩陣C通過(guò)相應(yīng)的初等行、列變換就變成矩陣(5),

8、由于這種變換是可遞的, 據(jù)引理2及引理1（） 知B與C是匹配的。定理3:設(shè)齊次線性方程組 (6)的系數(shù)矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣B, 則B的nn單位填充矩陣C的所有“ J一列向量”構(gòu)成方程組(6)的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證明：設(shè)以B為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組為(1), 則(1)與(6)同解, 據(jù)引理2知C的所有“J一列向量”都是方程組(1)的解, 且是n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量, (這里r=秩(B)= 秩(A), 從而構(gòu)成方程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 也是方程組(6)的一個(gè)基礎(chǔ)解系.定理3：設(shè)非齊次線性方程組 (7)有解, 其增廣矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣B, 則B的n(n+

9、1)單位填充矩陣C的所有“J一列向量”構(gòu)成方程組的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 而C的最后一個(gè)列向量為方程組(7)的一個(gè)特解。證明：由定理3, 前一結(jié)論顯然, 下證C的最后一個(gè)列向量為方程組(7)的一個(gè)特解。作齊次線性方程組 (8)則方程組(8)的系數(shù)矩陣即為方程組(7)的增廣矩陣A,于是B的(n+1)(n+1)單位填充矩陣為由定理3知的最后一個(gè)列向量是方程組(8)的一個(gè)解, 從而易知C的最后一個(gè)列向量即為方程組(7)的一個(gè)特解.例2:求線性方程組 (9)的一般解。解:方程組(9)的增廣矩陣為用初等行變換將變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣。寫出B的56單位填充矩陣：于是, 方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為而方程的一個(gè)特解

10、為 從而方程組（9）的一般解為其中,為任意常數(shù).第四章 線性方程組通解的一種簡(jiǎn)便求法1 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的一種簡(jiǎn)便求法設(shè)有齊次線性方程組 (1)矩陣形式為,其中A=求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系的方法如下:, 其中r = r ( A) , r ( ) = r ,即為一個(gè)行滿秩矩陣, 為n 階單位矩陣, P 為n 階可逆矩陣。則矩陣P 的后( n - r) 行即為方程組(1) 的一個(gè)基礎(chǔ)解系。下面證明此結(jié)論。證明:對(duì)于n m 矩陣,必存在n 階和m 階可逆矩陣P ,Q ,使PQ =,所以P=，因?yàn)镻為可逆矩陣, P的行向量組線性無(wú)關(guān),所以P的后( n - r) 行行向量線性無(wú)關(guān),而矩陣P的后( n

11、 - r) 行為(0 , ) P ,因?yàn)?0 , ) P=(0 , )=0, 所以X = (0 , ) P為方程組一個(gè)解,即P 的后( n - r) 行為方程組(1) 的一個(gè)基礎(chǔ)解系。因?yàn)?也就是對(duì)矩陣施行初等行變換,將其轉(zhuǎn)變?yōu)?則P 的后( n - r) 行即為方程組(1) 的一個(gè)基礎(chǔ)解系。例3 求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。解 因?yàn)閞 ( A) = 2 ,所以P的后3 行,即= ( - 2 ,1 ,1 ,0 ,0) , = ( - 1 , - 3 ,0 ,1 ,0) , = (2 ,1 ,0 ,0 ,1)為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。2 非齊次線性方程組通解的一種簡(jiǎn)便求法設(shè)有非齊次線性方程組

12、(2)其矩陣方程為,其中.求方程組的通解的方法如下:,其中為n 階可逆矩陣, ,則(1) 矩陣Pn 的后( n - r) 行即為方程組XAT =0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系;(2) X = 3為方程組XAT = bT 一個(gè)特解。結(jié)論(1) 的正確性在前面已經(jīng)得到證明,下面證明結(jié)論(2) 。當(dāng)r ( AT ) = rATbT 時(shí),方程組有解,對(duì)此情況進(jìn)行證明。則矩陣Pn 的后( n - r) 行即為方程組XAT = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系, X = 3為方程組XAT = bT 一個(gè)特解。作兩點(diǎn)說(shuō)明:(1)對(duì)矩陣ATbT En+1 作初等行變換后,若最后一行的前m 個(gè)元素不能全部變?yōu)榱?即r ( AT ) rATbT ,此時(shí)方程組無(wú)解;(2) 對(duì)矩陣ATbT En+1 作初等行變換時(shí),最后一行不能與其它各