概率論與數(shù)理統(tǒng)計謝永欽課后習題及答案

1概率論與數(shù)理統(tǒng)計（謝永欽）課后習題及答案習題 一4.設(shè) A，B 為隨機事件，且 P（A）=0.7, P(AB)=0.3，求 P（ ）.AB【解】 P（ ）=1P（AB ）=1P(A )P(AB)=10.70.3=0.65.設(shè) A，B 是兩事件，且 P（A）=0.6, P(B)=0.7,求：（1） 在什么條件下 P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下 P（AB）取到最小值？【解】 （1） 當 AB=A 時，P（AB）取到最大值為 0.6.（2） 當 AB= 時，P （AB ）取到最小值為 0.3.6.設(shè) A，B ，C 為三事件，且 P（A）= P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求 A，B，C 至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 P（AB C ）= P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)= + + =143247. 從 52 張撲克牌中任意取出 13 張，問有 5 張黑桃，3 張紅心，3 張方塊，2張梅花的概率是多少？【解】 p= 5321315C/8. 對一個五人學習小組考慮生日問題：（1） 求五個人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個人的生日不都在星期日的概率.【解】 （1） 設(shè) A1=五個人的生日都在星期日 ，基本事件總數(shù)為 75，有利事件僅 1 個，故P（A 1）= =（ ） 5 （亦可用獨立性求解，下同）57（2） 設(shè) A2=五個人生日都不在星期日 ，有利事件數(shù)為 65，故P（A 2）= =( )56(3) 設(shè) A3=五個人的生日不都在星期日P（A 3）=1P( A1)=1( )579. 略.見教材習題參考答案.10.一批產(chǎn)品共 N 件，其中 M 件正品.從中隨機地取出 n 件（n30.如圖陰影部分所示. 23164P22. 從（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，求：（1） 兩個數(shù)之和小于 的概率；5（2） 兩個數(shù)之積小于 的概率.14【解】 設(shè)兩數(shù)為 x,y，則 0x,y1.（1） x+y .6511720.68p(2) xy .41241dln2xpy23. 設(shè) P（ ）=0.3,P(B)=0.4,P( A )=0.5，求 P（BA ）A【解】 )()(60.7516.424. 在一個盒中裝有 15 個乒乓球，其中有 9 個新球，在第一次比賽中任意取出 3 個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出 3 個球，求第二次取出的 3 個球均為新球的概率.【解】 設(shè) Ai=第一次取出的 3 個球中有 i 個新球，i =0,1,2,3.B=第二次取出的3 球均為新球由全概率公式，有 30()()iiiPBAP31232133696896796155515CCC0.825. 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學習的學生有 90%的可能考試及格，不努力學習的學生有 90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學生中有 80%的人是努力學習的，試問：（1）考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？（2）考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人？【解】設(shè) A=被調(diào)查學生是努力學習的 ，則 =被調(diào)查學生是不努力學習的.A由題意知 P（A）=0.8，P （ ）=0.2，又設(shè) B=被調(diào)查學生考試及格.由題意知 P（B| A）=0.9 ，P （ | ）=0.9，故由貝葉斯公式知B（1）()()() ()APB0.210.2789.3即考試及格的學生中不努力學習的學生僅占 2.702%(2) ()()() ()APABPB0.8140.372.9即考試不及格的學生中努力學習的學生占 30.77%.26. 將兩信息分別編碼為 A 和 B 傳遞出來，接收站收到時，A 被誤收作 B 的概率為 0.02，而 B 被誤收作 A 的概率為 0.01.信息 A 與 B 傳遞的頻繁程度為21.若接收站收到的信息是 A，試問原發(fā)信息是 A 的概率是多少？7【解】 設(shè) A=原發(fā)信息是 A，則=原發(fā)信息是 BC=收到信息是 A，則= 收到信息是 B由貝葉斯公式，得 ()()()PCAP2/30.98.942127. 在已有兩個球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球為白球，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設(shè) Ai=箱中原有 i 個白球（i=0,1,2） ，由題設(shè)條件知 P（A i）= ,i=0,1,2.13又設(shè) B=抽出一球為白球. 由貝葉斯公式知 11120()()()(iiiPBAPB/3/11/328. 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中 96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認為是次品的概率為 0.02，一個次品被誤認為是合格品的概率為 0.05，求在被檢查后認為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設(shè) A=產(chǎn)品確為合格品 ，B=產(chǎn)品被認為是合格品由貝葉斯公式得 ()()() ()PABPA0.9680.984.529. 某保險公司把被保險人分為三類：“謹慎的” ， “一般的” ， “冒失的”.統(tǒng)計資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為 0.05,0.15 和 0.30；如果“謹慎的”被保險人占 20%， “一般的”占 50%， “冒失的”占 30%，現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹慎的”的概率是多少？【解】 設(shè) A=該客戶是“謹慎的” ，B=該客戶是“一般的”，C=該客戶是“冒失的”，D= 該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得 ()()|(|)(| ()|PPADBCP80.250.57.1.330. 加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為 0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨立的，求加工出來的零件的次品率.【解】設(shè) Ai=第 i 道工序出次品（i=1,2,3,4）. 412341()()iPAA234()PP0.987.509.1231. 設(shè)每次射擊的命中率為 0.2，問至少必須進行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于 0.9?【解】設(shè)必須進行 n 次獨立射擊. 1(0.8).9n即為 ()0.1n故 n11至少必須進行 11 次獨立射擊.32. 證明：若 P（AB ） =P(A )，則 A，B 相互獨立.【證】 即(|)|()P亦即 ()1)(PABAB因此 ()P故 A 與 B 相互獨立.33. 三人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為 ， ， ，求將此1534密碼破譯出的概率.【解】 設(shè) Ai=第 i 人能破譯（i=1,2,3） ，則31231231()()()()iPAPA40.6534. 甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設(shè)擊中的概率分別是90.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為 0.2；若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為 0.6；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設(shè) A=飛機被擊落 ，B i=恰有 i 人擊中飛機 ，i=0,1,2,3由全概率公式，得 30()(|)iiiPP=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.45835. 已知某種疾病患者的痊愈率為 25%，為試驗一種新藥是否有效，把它給 10個病人服用，且規(guī)定若 10 個病人中至少有四人治好則認為這種藥有效，反之則認為無效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到 35%，但通過試驗被否定的概率.（2） 新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率.【解】 （1） 310110C(.5).6.538kkkp(2) 102104(.).7.24kkk36. 一架升降機開始時有 6 位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開 ”；（2） B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開” ；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開” ；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開 ”.【解】 由于每位乘客均可在 10 層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為 106種.（1） ，也可由 6 重貝努里模型：2469()10PA24619()C)(0PA（2） 6 個人在十層中任意六層離開，故 610()B（3） 由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有 種可能10C10結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有 種離開方式.其余 4 人中不能26C再有兩人同時離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4 人中有3 個人在同一層離開，另一人在其余 8 層中任一層離開，共有 種13948C可能結(jié)果；4 人同時離開，有 種可能結(jié)果；4 個人都不在同一層19離開，有 種可能結(jié)果，故49P123146069489()C(P)/0（4） D= .故B610()1()PDB37. n 個朋友隨機地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2