2017年全國(guó)高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)大串講專題1.2函數(shù)概念與基本初等函數(shù)( 含答案)

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)聚焦】 內(nèi) 容 要 求 A B C 2函數(shù)概念 與基本初 等函數(shù) 函數(shù)的概念 函數(shù)的基本性質(zhì) 指數(shù)與對(duì)數(shù) 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 冪函數(shù) 函數(shù)與方程 函數(shù)模型及其應(yīng)用 一、 函數(shù)的概念 1.【原題】 （必修 1第二十四頁習(xí)題 畫出下列函數(shù)的圖象： （ 1） 0 , 0 ,()1, 0 ;= 【解析】所給函數(shù)為分段函數(shù)，則可利用列表，描點(diǎn)，連線的方法可得函數(shù)圖像 76543211234512 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12【原題解讀】本題為分段函數(shù)，即 對(duì)于自變量 x 的不同的取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則。它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)值域的并集。 【 變式 】（ 2015湖北高考 ） 已知符號(hào)函數(shù)1, 0, 0,1, ()上的增函數(shù)， ( ) ( ) ( ) ( 1)g x f x f ax a ，則（ ） A( ) x xB( ) x xC( ) ( )g x f xD( ) ( )g x f x【答案】 B. 2.【原題】 （必修 1第二十五頁習(xí)題 函數(shù) xf(x) 的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如， 4 ； 2 ；當(dāng) x 時(shí)，寫出函數(shù) f(x) 的解析式，并作出函數(shù)的圖象 【解析】由取整函數(shù)的定義，函數(shù)解析式可化為分段函數(shù)，得；3 , 2 . 5 22 , 2 11 , 1 0( ) 0 , 0 11 , 1 22 , 2 33 , 3x 圖象為；32112346 4 2 2 4 6【原題解讀】本題為取整函數(shù)；是指不超過實(shí)數(shù) 作 x或 x)。 可先由取整函數(shù)的定義，利用分段函數(shù)表示出該函數(shù)的函數(shù)解析式，再畫出函數(shù)圖象，圖象為一些線段。 【 變式 】 （ 2016北京模擬） 對(duì)于任意實(shí)數(shù)，符號(hào) x 表示的整數(shù)部分，即 x 是不超過的最大整數(shù)，例如 22 ； 2 ； 3 函數(shù) xy 叫做 “ 取整函數(shù) ” ，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用，則 26 lo g3 lo g2 lo g1 lo 的值為 _. 【答案】 42. 函數(shù)的基本性質(zhì) 1.【原題】 （必修 1第 四十四 頁復(fù)習(xí)參考題 題） 已知函數(shù) 2( ) 4 8f x x k x 在 5,20上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍 . 【解析】 2( ) 4 8f x x k x 的對(duì)稱軸8要使函數(shù) 2( ) 4 8f x x k x 在 5,20 上具有單調(diào)性，則 58k或 208k，解得的取值范圍 40k 或 160k . 【原題解讀】本題而二次函數(shù)含參問題，即為軸動(dòng)區(qū)間定問題?？上惹蟪龆魏瘮?shù)含有參數(shù)的對(duì)稱軸方程，再根據(jù)題中條件所給的區(qū)間建立方程或不等式求出參數(shù)的范圍。 【 變式 】 （ 2016 蘭州模擬） 已知函數(shù) f(x) 24(a 3)x 5 在區(qū)間 ( ， 3)上是減函數(shù)，則 ) A. 0， 34 B. 0， 34 C. 0， 34 D. 0， 34 【 答案 】 D 2.【原題】 （必修 1第四十五頁復(fù)習(xí)參考題 題） 中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅 法 規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過 3500元的部分不必納稅，超過 3500元的部分為全月應(yīng)納稅所得額此項(xiàng)稅款按下表分段累計(jì)計(jì)算： 全月應(yīng)納稅所得額 稅率 不超過 1500元的部分 3% 超過 1500元至 4500元的部分 10% 超過 4500元至 9000元的部分 20% 某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款為 303元，那么他當(dāng)月的工資、薪金所得是多少？ 【解析】由題意可建立函數(shù)關(guān)系式為； x 為當(dāng)月 工資、薪金所得 ， () 0 , 0 3 5 0 0( 3 5 0 0 ) 0 . 0 3 , 3 5 0 0 5 0 0 0()1 5 0 0 0 . 0 3 ( 5 0 0 0 ) 0 . 1 , 5 0 0 0 8 0 0 01 5 0 0 0 . 0 3 3 0 0 0 0 . 1 ( 8 0 0 0 ) 0 . 2 , 8 0 0 0 1 2 5 0 0 則； ( 3 5 0 0 ) 0 . 1 3 0 3 , 6 5 3 0 答：他 當(dāng)月的工資、薪金所得是 ； 6503元 【原題解讀】本題涉及分段函數(shù)的應(yīng)用，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)閱讀能力和建模能力。從而將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活之中。 【 變式 】（ 2015北京高考 ） 某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況 加油時(shí)間 加油量（升） 加油時(shí)的累計(jì)里程（千米） 2015年月日 12 35000年月15日 4835600注： “ 累計(jì)里程 “ 指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（ ） A升 B升 C10升 D 12升 【答案】 B 二、 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 1.【原題】 （必修 1第五十九頁習(xí)題 題） 已知下列不等式，比較 m ， n 的大小 （ 1） 22 (2) 【原題解讀】本題的解決需要學(xué)生具備一定的函數(shù)思想，及能根據(jù)需要構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，并應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性），來解決問題。 變式 【 2015銀川一中模擬】 已知1 1 12 2 2l o g l o g l o ，則（ ） A 2 2 2 2a b c 2c b a 2c a b 【答案】 A. 2.【原題】 （必修 1 第七十五頁習(xí)題 第 2 題） 若 3lo g 1( 04a a，且 1)a ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 . 【解析】 1a 時(shí) y 則； a 34， 得； 1a ， 01a時(shí) y 調(diào)遞減得 ； 304a 綜上可得； 3( 0 , ) (1, )4a 【原題解讀】本題需考慮對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)， 再利用單調(diào)性比較真數(shù)，解出對(duì)數(shù)不等式。體現(xiàn)了分類思想。 變式 【 2013天津高考】 已知函數(shù) ()定義在 R 上的偶函數(shù) ,且在區(qū)間 0, ) 單調(diào)遞增 2( l o g ) ( l o g ) 2 ( 1 )f a f ,則 A 1,2 B 10,2 C 1,22D (0,2 【答案】 C. 3.【原題】 （必修 1第七十五頁習(xí)題 組第 4題） 已知函數(shù) ( ) l o g ( 1 )af x x，( ) l o g (1 ) ( 0ag x x a ，且 1)a （ 1）求函數(shù) ( ) ( )f x g x 定義域； （ 2）判斷函數(shù) ( ) ( )f x g x 的奇偶性，并說明理由 . 【解析】（ 1）由 10x ， 10x 得 11x ，函數(shù) ( ) ( )f x g x 的定義域?yàn)?( 1,1) （ 2）根據(jù)（ 1）知：函數(shù) ( ) ( )f x g x 的定義域?yàn)?( 1,1) 函數(shù) ( ) ( )f x g x 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 又 ( ) ( ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 )x g x x x ( ) ( )f x g x ， ( ) ( )f x g x 是 ( 1,1) 上的偶函數(shù) . 【原題解讀】本題以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域與奇偶性求含有對(duì)數(shù)的函數(shù)的定義域時(shí)，除考慮前面所知曉的分母、根式要求外，須考慮對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于 0判斷對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性時(shí)首先必須確定函數(shù)的定義域是否對(duì)稱，對(duì)稱的情況下判斷 ()的關(guān)系，進(jìn)而判定達(dá)到考查運(yùn)算能力以及代數(shù)恒等變換能力 變式 【 2015高考新課標(biāo)】 若函數(shù) ()2 )x x a x為偶函數(shù)，則 a _ 【答案】 1 【解析】 由題知 2 )y x a x 是奇函數(shù)，所以 22l n ( ) l n ( )x a x x a x 22l n ( ) l n 0a x x a ，解得 1a 4.【原題】 （必修 1第八十二頁復(fù)習(xí)參考題 已知 3， 求證：（ 1） f x f y f x y，（ 2） ( ) ( )f x f y f x y . 【原題解讀】本題已指數(shù)函數(shù)為載體，通過指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，完成函數(shù)關(guān)系的證明。容易 聯(lián)想到其它函數(shù)的性質(zhì)，從而演化為抽象函數(shù)問題?？疾檫\(yùn)算能力和抽象概括能力。 變式 【 2014 高考陜西】 下列函數(shù)中，滿足 “ f x y f x f y ” 的單調(diào)遞增函數(shù)是（ ） A. 12f x x B. 3f x x C. 12D. 3 【答案】 D 5.【原題】 （必修 1第八十三頁復(fù)習(xí)參考題 對(duì)于函數(shù) 221() xf x a （ （ 1）探索函數(shù) () 2）是否存在實(shí)數(shù)使 () 【解析】 （ 1） 221() xf x a 在 ( , )x 上是增函數(shù) 證明 ： 任取12, ( , ) ， 且12 12( ) ( )f x f x12222 1 2 1 12 22 x12 21 x)12)(12()22(21221 因?yàn)?2, ( , ) ，所以 212 1 0 , 2 1 0 又因?yàn)?2所以 21 22 ，即 122 2 0，所以12( ) ( ) 0f x f x ， 即12( ) ( )f x f x，所以函數(shù) 221() xf x a 在 ( , ) 上是增函數(shù) （ 2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使 ()則 () ()0， 即 22 02 1 2 1 ，所以 112 1 2 1 2112 1 2 1， 即存在實(shí)數(shù) 1a 使 1(1) 2 為奇函數(shù) 【原題解讀】 本題為指數(shù)型函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性一是利用定義來解決；二是利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性間的關(guān)系來解決已知性質(zhì)求相關(guān)的參數(shù)問題通常要建立方程來解決問題考查學(xué)生運(yùn)算能力、分析與探究問題的能力、逆向思維能力的目的 變式【 2015山東高考】 若函數(shù) 21()2a 是奇函數(shù)，則使 ( ) 3成立的的取值范圍為（ ） A ( , 1) B ( 1,0) C (0,1) D (1, ) 【答案】 C 冪函數(shù) 1.【原題】 （必修 1第八十 二 頁復(fù)習(xí)參考題 0題） 已知冪函數(shù) )(的圖象過點(diǎn) 2(2, )2，試求出此函數(shù)的解析式，并作出圖像，判斷奇偶性、單調(diào)性 . 【解析】 設(shè) )( 則 ，解得21m， 所以 )( 21x ，定義域?yàn)?),0( ，是非奇非偶函數(shù)， 021- ， )( ),0( 是減函數(shù)，圖像如下： 【解讀】由題為根據(jù)條件求冪函數(shù)的解析式并進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)?？蛇\(yùn)用待定系數(shù)法，先求出函數(shù) 解析式，再利用冪函數(shù)的性質(zhì)確定該函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)。注意充分利用函數(shù)圖象進(jìn)行直觀觀察和分 變式 1. 【 2016屆寧夏銀川二中】 已知冪函數(shù) ()y f x 的圖象過點(diǎn) 2(2, )2，則（ ） A (1) (2) B (1) (2) C (1) (2) D (1)f 與 (2)f 大小無法判定 【答案】 A 【解析】設(shè) () af x x ，則 222a ， 12a，即 12()f x x ，在 (0, ) 上是減函數(shù)， 所以 (1) (2)故選 A 變式 2.【 2016屆浙江省余姚中學(xué)】 已知冪函數(shù) ()2, 2) ，則滿足 ( 2 ) ( 1 )f a f a 的實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】 31, )2變式 3. 【 2014上海高考】 若 2132)( ，則滿足 0)( 取值范圍是 . 【答案】 (0,1) 三、 函數(shù)與方程 1.【原題】 （必修 1第八十八頁例 1） 求函數(shù) ( ) 6f x x x 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù) . 【解析】用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出 x,f(x)的對(duì)應(yīng)值表與圖像如下 : x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) 4 由上表和圖可知， f(2)0,則 f(2) f(3)0， f(3)0， f(5)0，所以在區(qū)間 2,3， 3,4， 4,5內(nèi)有零點(diǎn) 變式 2. 【 2013天津高考】 函數(shù) f(x) 2x 2在區(qū)間 (0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 【答案】 B 變式 3. 【 2016蘭州模擬】 設(shè)函數(shù) y y (12)x 2的圖象的交點(diǎn)為 ( 則 端點(diǎn)值為連續(xù)整數(shù)的開區(qū)間 )是 _ 【答案】 (1,2) 變式 4. 【 2014山東高考】 已知函數(shù) ( ) 2 1 , ( ) .f x x g x k x 若方程 ( ) ( )f x g x 有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. 1(0, )2B. 1( ,1)2C.(1,2) D.(2, ) 【答案】 B 【解析】由已知，函數(shù) ( ) | 2 | 1 , ( )f x x g x k x 的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)， 畫圖可知當(dāng)直線介于121: , :2l y x l y x之間時(shí)， 符合題意，故選 B . 四、 函數(shù)模型及其應(yīng)用 1.【原題】 （必修 1 第九十五頁例 1） 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào) 40 元；方案二：第一天回報(bào) 10 元，以后每天比前一天多回報(bào) 10 元；方案三：第一天回報(bào) 后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？ 投資方案選擇原則：投入資金相同，回報(bào)量多者為優(yōu)；（ 1）比較三種方案每天回報(bào)量， (2) 比較三種方案一段時(shí)間內(nèi)的總回報(bào)量。哪個(gè)方案在某段時(shí)間內(nèi)的總回報(bào)量最多，我們就在那段時(shí)間選擇該方案。 如下表：運(yùn)用計(jì)算機(jī)可做出函數(shù)圖像 答：從每天的回報(bào)量來看：第 1案一最多： 每 5案二最多： 第 9天以后，方案三最多； 投資 1，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資 7 天，應(yīng)選擇第一或二種投資方案；投資 8，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資 11 天（含 11 天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案。 【原題解 讀】題中給出了一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境，需要根據(jù)題意建立對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，并通過對(duì)三種函數(shù)增長(zhǎng)情況的比較（比較采用了表格，函數(shù)圖象），從而做出合理的決定。同時(shí)讓我們感受到三種函數(shù)，常函數(shù)，一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)快慢差異明顯。體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。 變式 【 2016 蘭州模擬 】 某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比已知投資 1 萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為 (1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系； (2)若該家庭有 20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收 益是多少萬元？ 【答案】（ 1） 11( ) , ( ) , 082f x x g x x x ；（ 2） 2t 即時(shí)，收益最大 3 萬元 2.【原題】 （必修 1第一百一十三頁復(fù)習(xí)參考習(xí) 某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時(shí)間的市場(chǎng)供應(yīng)，若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開始 x 月后，公司的存貨量大致滿足模型 33 1 2 8f x x x ，那么下次生產(chǎn)應(yīng)在多長(zhǎng)時(shí)間后開始？ 【解析】由題 存貨量大致滿足模型 33 1 2 8f x x x ，則因在庫存量不足之前進(jìn)行生產(chǎn)。即 ;由 1 1 7 0 , ( 2 ) 8 0 , ( 3 ) 3 7 0f f f ，所以應(yīng)該在兩個(gè)月后進(jìn)行生產(chǎn)。 【原題解讀】本題給出了一個(gè)現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)問題，需要充分理解如何運(yùn)用所給的函數(shù)模型來決定生產(chǎn)時(shí)間。 本質(zhì)上是一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的判斷問題，即再函數(shù)值為負(fù)（庫存不足）前進(jìn)行生產(chǎn)。 考查了我們數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)及對(duì)函數(shù)零點(diǎn)定義的理解和靈活運(yùn)用。 變式【 2016 衡水一中】 研究表明：使全球氣候逐年變暖的一個(gè)重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使 據(jù)測(cè)， 2010年、 2011年、 2012年大氣中的 009年增加了 1個(gè)可比單位、 3個(gè)可比單位、 6個(gè)可比單位 若用一個(gè)函數(shù)模擬每年 擬函數(shù)可選用二次函數(shù) f(x)r(其中 p， q， 或函數(shù) g(x) a c(其中 a， b， ，且又知 2014年大氣中的 009年增加了 16個(gè)可比單位，請(qǐng)問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？ 【答案】選 f(x) 1212 3.【原題】 （必修 1第一百一十三頁復(fù)習(xí)參考習(xí) 般用縱軸表示產(chǎn)品價(jià)格（自變量），而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量（因變量），下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應(yīng)曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？ 【解析】 根據(jù)函數(shù)的圖象和實(shí)際的意義即可判斷圖 為產(chǎn)品的數(shù)量隨在單價(jià)的增加而增加，產(chǎn)值就有很大的增加，圖 為產(chǎn)品的數(shù)量隨在單價(jià)的降低而增加，可以降低購買成本 【 原題解讀 】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別和實(shí)際問題的應(yīng)用 。需要我們既要能夠準(zhǔn)確的讀出函數(shù)圖象的含義，同時(shí)又要習(xí)慣與函數(shù)圖象的表達(dá)方式。 變式 【 2015 北京高考 】 汽車的 “ 燃油效率 ” 是指汽車每消耗 1 升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（ ） A消耗 1升汽油，乙車最多可行駛 5千米 B以相同速度行駛相同路程，三輛車