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文檔簡介

第三章 力學量的算符表示1如果算符、滿足條件,求證:,證 利用條件,以左乘之得則有 最后得 。再以左乘上式得, 即則有 最后得 應(yīng)用數(shù)學歸納法可以證明 :先設(shè) 成立,以左乘上式得則有 最后得 2證明證 應(yīng)用 及,則 同理可證 則 3若算符滿足,求證:其中, 證 方法一:把直接展開,比較系數(shù)法。而 因此,把展開式的的同次冪的系數(shù)合并之后,我們?nèi)菀椎玫剑悍椒ǘ憾x算符 其中S是輔助參數(shù)。則算符對S的微商給出取,得將展開為麥克勞林級數(shù)按定義,所以我們最后得到4如果都是厄密算符,但,向:(1)是否厄密算符?(2)是否厄密算符?解 利用厄密算符具有的性質(zhì) 及 (1)令則 當 時,故不是厄密算符。(2)因,故因此 是厄密算符。例如,和都是厄密算符,且,所以不是厄密算符,事實上顯然不可能是厄密的。但是在 中,把它改寫為,顯然左方是厄密算符。5如果都是厄密算符,而算符,求證:。證 。6試證明力學量所對應(yīng)的算符是,并進一步用數(shù)學歸納法證明力學量所對應(yīng)的算符是。證 先證明一維情況,按定義而 ,利用恒等式故 由于:故 同理 故 對于,可先設(shè)成立,然后寫出的表示式,進行一次分部積分后,不難得出7求:并由此推出、分別與的對易關(guān)系。解 ,且 以及 之間均可對易。故 同理 同理可證,對于分別有,及 ,一般地,我們可以將上述各式合并寫為:其中為循環(huán)指標,而8求 并由此推出分別與的對易關(guān)系。解 同理可證: , ,一般地,可以把上面的式子合并為9一維諧振子處于基態(tài),其中 求 解 。利用第二章第3題的結(jié)果,我們知道是已歸一化了的,故同理,注意到一維情況下,只須考慮,因此最后得 討論:通過上面的計算看到,在一維諧振子的特殊情況下,其結(jié)論與測不準關(guān)系一致。的結(jié)論,可以從動量幾率分布函數(shù)得出,利用第二章第3題的結(jié)果,處于基態(tài)的一維諧振子的動量幾率分布函數(shù)為,它是的偶函數(shù),這從物理上看是很清楚的。這種對稱性(坐標空間和動量空間)是一維諧振子的主要特征之一。也可以從動量空間中求平均而得到。在以為自變量的表示式中,一維諧振子的薛定諤方程為,令 代入上式可得在以為自變量的表示式中,考慮到算符,故薛定諤方程為同理可令 ,于是有顯然的解只須在中以代替即得:而 故 和上面得出的結(jié)果一致。10一維運動的粒子處在 , 求 解由第二章第1題知歸一化系數(shù)為在上面的計算中利用了積分公式最后得 討論:,滿足測不佳關(guān)系。用及求得的結(jié)果也和上面的結(jié)果一致。顯然,在已知的情況下,把用算符代替,直接用坐標幾率分布函數(shù)表計算或,比先由求動量幾率分布函數(shù),再由來或簡單得多,由此可見,力學量用算符表示,非但有深刻的物理意義,而且也給計算帶來方便。在第四章將看到,一個力學量,不管用作自變數(shù),還是用或其它量作自變數(shù),計算出來的平均值都相同。從物理上看來,這也是明顯的,因為平均值正是實驗測量的值,它不應(yīng)當和計算方法有關(guān)。11求粒子處在態(tài)時角動量的分量和角動量分量的平均值;并證明:解(1)先證明兩個普遍的關(guān)系:可以用兩種方法來證明。(a)從角動量算符所滿足的對易關(guān)系出發(fā):或 由一式與二式乘i后相加減可得:或 用算符對運算得:另外,注意到和均可對易,故有:所以 從上面二式可見既是的本征函數(shù),本征值為,又是的本征函數(shù),本征值為,亦即,具有的形式。令 它的共軛復(fù)式是二式相乘,對積分,再注意到的正交性,得:(b)用直接求微分的方法證明而 ;其中 故 同樣,對也有 其中 可證明如下:因為勒襄德多項式滿足方程對上式求微商次后得到或 故有(2)現(xiàn)在來求和注意到的正交性,亦即令 同理可知 故 (3) 注意到的正交性,得:同理可證: 故 方法三:在固定z軸不變的情況下,進行坐標旋轉(zhuǎn),把原來的y軸變?yōu)閤軸,仍然保持右旋坐標,這時角不變,唯一的改變是變?yōu)?,注意到和的對稱性,不難由在球坐標中的算符表示式看出而 討論:為了證明,我們還可以用下面兩種簡并方法:(a)設(shè)為的本征態(tài),則有而 故同理,因為,可以證明(b)利用本章第12題的結(jié)論來證明令 則顯然都是厄密算符,的對易關(guān)系為:就是角動量分量之間所必須滿足的對易關(guān)系利用12題的結(jié)論得出由于態(tài)是的本征態(tài),在本片態(tài)中測量力學量有確定值,即力學量在態(tài)在平均平方偏差必須為零。故有要保證不等式成立,考慮到為非負的數(shù),所以必須是。同理,只須利用,也可以證明在方法三中,不從物理上考慮,直接從對易關(guān)系出發(fā),也很容易證明注意到 即 左乘 得:利用 右乘得:比較 和可見,。再利用,按照方法三的討論,很容易證明。12若都是厄密算符,且,證明:證 引入積分 其中為實參數(shù),顯然 這是關(guān)于的二次三項式,要它大于零,其判別式必須小于或等于零,即故 B若,且,證明,若為的本征函數(shù),對應(yīng)的本征值為,則也是的本征函數(shù),對應(yīng)的本征值為;也是的本征函數(shù),對應(yīng)的本征值為。解 依題意 則 故是的本征函數(shù),對應(yīng)的本征值為,故也是的本征函數(shù),對應(yīng)的本征值為。14證明狄拉克函數(shù)的下述性質(zhì):(1);(2);(3)證(1)方法一:方法二:左右二端相比較可得:(2)上面令。而 故 (3) 令則注意:函數(shù)在運算時還有其他重要性質(zhì),例如:等等。用相似的方法也可以證明。15利用測不準關(guān)系估計氫原子基態(tài)能量。解 若電子的質(zhì)量為,電子離核的距離為,則氫原子的平均能量為式中是電子的動量。利用測不準關(guān)系對氫原子的基態(tài),由于其對稱性,故 ,而電子和核的距離在數(shù)量級內(nèi),其誤差不會大于本身,即所以得到 若在能量表示式中,以代替,由于,故基態(tài)的能量最小,故故 對類氫原子則有 z為原子序數(shù)。上述結(jié)果和用精確方法求得的氫原子基態(tài)能量相符,這里的,就是第一玻爾軌道。16設(shè)體系處在態(tài)中,求:(1)力學量的可能值和平均值;(2)力學量的本征值;(3)力學量和的可能值。解(1)因為和都是的本征函數(shù)。對應(yīng)于態(tài),的本征值為;對應(yīng)于態(tài),的本征值為。因此,對態(tài)來說,的可能值是0,。力學量的平均值為(2)因為和也都是的本征函數(shù),對應(yīng)的本征值是,故 故對應(yīng)于態(tài),的本征值為,平均值也是。(3)根據(jù)教材26的討論,和不再是力學量和的本征函數(shù)。并且,對于來說,和的可能值均為;對于來說,和的可能值也是。因此對于態(tài)來說,和的可能值仍是。17設(shè)體系處在某一狀態(tài),在該狀態(tài)中測量力學量得到的值是,測量力學量得到的值是,求測量力學量和可能得到的值。解 設(shè)體系所處的狀態(tài)為,由于力學量和能同時測量,所以必是和的共同本征函數(shù),且具有球諧函數(shù)的形式。,故,故因此態(tài)就是態(tài)。把按的本征函數(shù),展開。因為不隨坐標選擇而變,因此在系中,仍為1,而可能取。故在態(tài)可能測得的值為。同理在態(tài)測量的可能值也是。18荷電為的粒子在恒定磁場中運動,讓明粒子速度分量之間的對易關(guān)系是:證 按定義:而 與無關(guān),故算符和對易,則有考慮到:事實上,在有磁場存在的情況下,廣義動量為,這一結(jié)論從物理上看是顯然的。同理,只須輪換腳標,不難得出其余兩式可把上三式合寫為 討論:下面求荷電為的粒子在恒定磁場中的能量。為此,可令的方向沿軸方向,亦即利用上面的結(jié)果,有體系的哈密頓為:令 則 由于哈密頓算符可以分離變量,因此,根據(jù)第二章第8題,第9題等的結(jié)論,哈密頓算符的本征值就是的本征值和的本征值之和。現(xiàn)在我們來求算符的本征值,這里要指出,由于和不可對易,它們滿足對易關(guān)系式因此絕不能得出哈密頓算符的本征值是連續(xù)譜,本征函數(shù)是平面波的結(jié)論。引進代換 其中 則: 而對易關(guān)系把和線性諧振子的哈密頓算符振子比較,而式中令 線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為即 亦即算符的本征值為利用對易關(guān)系 ,易得其對易關(guān)系與的對易關(guān)系一致。因此算符的本征值也是的本征值是對于,考慮到和;都對易,因此的本征值是連續(xù)譜為。總起來,我們最后得到:哈密頓算符的本征值為:19證明:證 方法一:因為勢能和對易,故上式中含勢能部分消去,可得:利用教材中的公式(2815)

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