高數(shù)課件61多元函數(shù)的基本概念.ppt

一、多元函數(shù)的概念 二、多元函數(shù)的極限 三、多元函數(shù)的連續(xù)性 四、小結(jié) 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 （1）鄰域 一、多元函數(shù)的概念 在平面上, (圓鄰域) 在空間中, (球鄰域) 說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成 點(diǎn) P0 的去心鄰域記為 設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 E 則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)； 則稱 P 為 E 的外點(diǎn) ; 則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn) .的外點(diǎn) , 顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的 邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . （2）區(qū)域 聚點(diǎn) 1. 內(nèi)點(diǎn)是聚點(diǎn)； 說(shuō)明：說(shuō)明： 2. 邊界點(diǎn)是聚點(diǎn)； 例 (0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn) 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E 例如, (0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合 例如, 邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合 例如， 即為開(kāi)集 點(diǎn)集 是開(kāi)集 ， 但非區(qū)域 . 連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域 例如， 例如， 整個(gè)平面 是最大的開(kāi)域 , 也是最大的閉域 ; 有界閉區(qū)域； 無(wú)界開(kāi)區(qū)域 例如， （3）n維空間 1. n維空間的記號(hào)為 說(shuō)明：說(shuō)明： 2. n維空間中兩點(diǎn)間距離公式 3. n維空間中鄰域、區(qū)域等概念 特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、 空間兩點(diǎn)間的距離 內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義 鄰域： 設(shè)兩點(diǎn)為 （4）二元函數(shù)的定義 類似地可定義三元及三元以上函數(shù) 例1 求 的定義域 解 所求定義域?yàn)?多元函數(shù)也有單值性與多值性的概念. 例如： 單值分支 一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì) 的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性的定義 仍適用：設(shè)有n元函數(shù)y=f(x)，其定義域?yàn)镈Rn， 集合XD.若存在正數(shù)M，使對(duì)xX，有|f(x)|M ，則稱f(x)在X上有界，M稱為f(x)在X上的一個(gè)界. （5） 二元函數(shù) 的圖形 （如下頁(yè)圖） 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面. 例如, 圖形如右圖. 例如, 左圖球面. 單值分支: 例2 設(shè) 求 解 二元函數(shù)也有復(fù)合函數(shù) 例3、已知 求 . 例4、已知 求 . 二元函數(shù)也有復(fù)合函數(shù) x x0 時(shí) f (x) 的極限 定義 設(shè) f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域有定義,若有常數(shù) A,對(duì) 0, 0, 當(dāng)0|x x0| 時(shí),恒有 |f(x)A| ,則稱常 數(shù)A是函數(shù) f(x) 當(dāng) x x0時(shí)的極限, 簡(jiǎn)稱 A 是 f (x)在 x0 處的極限. 回顧 二、多元函數(shù)的極限 二、多元函數(shù)的極限 說(shuō)明： （1）定義中 的方式、方向、路 徑是任意的； （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限 （3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似 回顧： 例1 求證 證 當(dāng) 時(shí)， 原結(jié)論成立 關(guān)于函數(shù)收斂的夾逼準(zhǔn)則： 求極限方法回顧： 重要極限 例3 求極限 例2 求證 例4 求極限 解 其中 例5 設(shè) 證明 不存在 解取 其值隨k的不同而變化， 極限不存在 例6 證明 不存在 證取 其值隨k的不同而變化， 故極限不存在 確定極限不存在的方法: v找兩種不同趨近方式,使二重極限存在,但兩者 不相等; v令p(x,y)沿某一定曲線趨向于 時(shí),極限 不存在. 例7 證明 不存在 利用點(diǎn)函數(shù)的形式有 三、多元函數(shù)的連續(xù)性 定義3 例8 討論函數(shù) 在(0,0)的連續(xù)性 解取 其值隨k的不同而變化， 極限不存在 故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù) 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如 果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上 取得介于這兩值之間的任何值至少一次 （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 （3）有界定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定 有界 多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有 限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè) 式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù) 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域 例9 解