高三數(shù)學復習立體幾何中的向量方法第二課時求空間角與距離課時訓練理.docx

第二課時求空間角與距離 【選題明細表】知識點、方法題號利用向量法求異面直線所成角3利用向量法求直線與平面所成角2利用向量法求二面角3,4利用向量法求距離1綜合應用5【教師備用】 (2016邢臺摸底考試)如圖,已知四棱錐PABCD的底面為菱形,BCD=120,AB=PC=2,AP=BP=.(1)求證:ABPC;(2)求二面角BPCD的余弦值.(1)證明:取AB的中點O,連接PO,CO,AC,因為APB為等腰三角形,所以POAB,又四邊形ABCD是菱形,BCD=120,所以ACB是等邊三角形,所以COAB.又COPO=O,所以AB平面PCO,又PC平面PCO,所以ABPC.(2)解:易求得PO=1,OC=,所以OP2+OC2=PC2,所以OPOC.以O為坐標原點,以OC所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系如圖所示.則A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),P(0,0,1),D(,-2,0),=(,-1,0),=(,0,-1),=(0,2,0).設平面DCP的法向量n=(x,y,z),則即令x=1,得所以n=(1,0,),設平面PCB的法向量m=(a,b,c),即令a=1,則b=c=,所以m=(1,),所以cos=,由圖易知二面角BPCD的平面角為鈍角.所以二面角BPCD的余弦值為-.1.(2016鄭州第一次質量預測)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,ADBC,PD底面ABCD,ADC=90,AD=2BC,Q為AD的中點,M為棱PC的中點. (1)證明PA平面BMQ;(2)已知PD=DC=AD=2,求點P到平面BMQ的距離.(1)證明:連接AC交BQ于N,連接MN,因為ADC=90,Q為AD的中點,所以N為AC的中點,又M為PC的中點,MN為PAC的中位線,故MNPA,又MN平面BMQ,所以PA平面BMQ.(2)解:以D為坐標原點,DA,DC,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(1,0,0),B(1,2,0),M(0,1,1). 所以=(0,-1,1),=(-1,1,1),=(-1,-1,1),設n=(x,y,z)是平面BQM的法向量,則n,n,所以即令z=1,則x=1,y=0,所以n=(1,0,1),則P點到平面BQM的距離為d=.2.(2015高考新課標全國卷)如圖,長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形. (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求直線AF與平面所成角的正弦值.解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖. (2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EM=AA1=8.因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=6,所以AH=10.以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則A(10,0,0),H(10,10,0), E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).設n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,則即所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),故|cos|=.所以AF與平面所成角的正弦值為.3.(2016貴陽監(jiān)測考試)如圖,已知四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且ABAC,AB=AC=PA=2,E是BC的中點. (1)求異面直線AE與PC所成的角;(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值.解:(1)如圖所示,以A點為原點建立空間直角坐標系Axyz, 則B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2).故E(1,1,0),=(1,1,0),=(0,2,-2),cos=,即=60,故異面直線AE與PC所成的角為60.(2)因為AB=AC=2,ABAC,所以ABC=ACB=45,因為ADBC,所以DAC=ACB=45,又ADCD,所以AD=CD=,所以D(-1,1,0),又C(0,2,0),所以=(-1,-1,0),=(0,2,-2).設n=(x,y,z)是平面PCD的法向量,則n,n,即n=0,n=0,所以令x=-1得y=1,z=1,則n=(-1,1,1),|n|=.又AB平面PAC,所以=(2,0,0)是平面PAC的一個法向量,所以cos=-,所以二面角DPCA的平面角的余弦值為.4.(2015河南三市第三次調研)在三棱錐PABC中,PA底面ABC,PB=PC=,BC=4,PA=m(m0). (1)當m為何值時,點A到平面PBC的距離最大,并求出最大值;(2)當點A到平面PBC的距離取得最大值時, 求二面角APBC的余弦值.解:(1)設D為BC的中點,連接AD,PD,因為PA平面ABC,所以PABC.在等腰三角形PBC中,因為BD=DC,所以BCPD,又因為PDPA=P,所以BC平面PAD,又因為BC平面PBC,所以平面PBC平面PAD.在平面PAD中,過A作AMPD于M,則AM平面PBC.即AM為點A到平面PBC的距離.在PDB中,PD=3.在RtPAD中,AD=,且PAAD=PDAM,所以AM=,當且僅當m2=18-m2,即m=3時等號成立.故當m=3時,點A到平面PBC的距離最大,最大值為.(2)當m=3時,AD=3,過D作DEAP,以點D為坐標原點,分別以DA,DB,DE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系如圖所示. 則A(3,0,0),P(3,0,3),B(0,2,0),C(0,-2,0),所以=(0,0,3),=(3,-2,3),=(0,4,0).設平面PAB的法向量p=(x,y,z).則即即取p=(,1,0).同理,平面PBC的一個法向量q=(1,0,-1).cos=.所以二面角APBC的余弦值為.5. 如圖,側棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,AA1+AB+AC=3,AB=AC=t(t0),P是側棱AA1上的動點. (1)當AA1=AB=AC時,求證:A1C平面ABC1;(2)試求三棱錐PBCC1的體積V取得最大值時的t值;(3)若二面角ABC1C的平面角的余弦值為,試求實數(shù)t的值.(1)證明:因為AA1平面ABC,AB,AC平面ABC, 所以AA1AC,AA1AB.又ABAC,所以以A為原點,分別以AB,AC,AA1所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(0,0,0),C1(0,1,1),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),=(0,1,-1),=(0,1,1),=(1,0,0).設平面ABC1的法向量n=(x,y,z),則解得令z=1,則n=(0,-1,1).因為=-n,所以A1C平面ABC1.(2)解:因為AA1平面BB1C1C,所以點P到平面BB1C1C的距離等于點A到平面BB1C1C的距離.所以V=t2(3-2t)=t2-t3(0t),令f(t)=t2-t3,則f(t)=-t(t-1),易得f(t)在(0,1)遞增,在(1, )遞減,所以當t=1時,Vmax=.(3)解:A(0,0,0),C1(0,t,3-2t),B(t,0, 0),C(0,t,0),A1(0,0,3-2t),=(0,t,2t-3),=(0,t,3-2t),=(t,0,0),=(0,0,3-2t),=(-t,t,0).設平面ABC1的法向