高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9_5橢圓課件文新人教版

9.5 橢 圓,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類 深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.橢圓的概念 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做 .這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的 . 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)： (1)若 ，則集合P為橢圓； (2)若 ，則集合P為線段； (3)若 ，則集合P為空集.,知識(shí)梳理,橢圓,焦點(diǎn),焦距,ac,ac,ac,2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),2a,2b,2c,a2b2c2,點(diǎn)P(x0，y0)和橢圓的關(guān)系 (1)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi) (2)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上 (3)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外,判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓. ( ) (2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長(zhǎng)為2a2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距).( ) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.( ) (4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓.( ),1.(教材改編)橢圓 的焦距為4，則m等于 A.4 B.8 C.4或8 D.12,考點(diǎn)自測(cè),答案,解析,解得m4或m8.,2.(2015廣東)已知橢圓 的左焦點(diǎn)為F1(4,0)，則m等于 A.2 B.3 C.4 D.9,答案,解析,由題意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.,3.(2016全國(guó)乙卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的 ，則該橢圓的離心率為,答案,解析,4.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于 ，則C的方程是,答案,解析,5.(教材改編)已知點(diǎn)P是橢圓 1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 _.,答案,解析,設(shè)P(x，y)，由題意知c2a2b2541， 所以c1，則F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，,題型分類 深度剖析,例1 (2016濟(jì)南模擬)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是 A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓,題型一 橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,命題點(diǎn)1 利用定義求軌跡,答案,解析,幾何畫板展示,由條件知|PM|PF|. |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓.,命題點(diǎn)2 利用待定系數(shù)法求橢圓方程,例2 (1)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，并且 過點(diǎn)P(3,0)，則橢圓的方程為_.,答案,解析,答案,解析,設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0且mn). 橢圓經(jīng)過點(diǎn)P1，P2，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)適合橢圓方程.,命題點(diǎn)3 利用定義解決“焦點(diǎn)三角形”問題,答案,解析,3,設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，,4a24c24b2， 又 r1r2 b29，b3.,引申探究,1.在例3中增加條件“PF1F2的周長(zhǎng)為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程.,由原題得b2a2c29， 又2a2c18， 所以ac1，解得a5，,解答,解答,|PF1|PF2|2a，又F1PF260， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2， 即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2， 所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，,所以b3.,思維升華,(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2a|F1F2|這一條件. (2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m0，n0，mn)的形式. (3)當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求|PF1|PF2|；通過整體代入可求其面積等.,跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為,答案,解析,幾何畫板展示,設(shè)圓M的半徑為r， 則|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓， 且 2a16,2c8，,答案,解析,PF1PF2，F(xiàn)1PF290. 設(shè)|PF1|m，|PF2|n， 則mn4，m2n212,2mn4，,例4 (1)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓x22y22的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么 的最小值是,題型二 橢圓的幾何性質(zhì),A.0 B.1 C.2 D.2,答案,解析,(2)(2016全國(guó)丙卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C： (ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PFx軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為,答案,解析,(1)利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧 注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系 在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系. 利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. (2)求橢圓的離心率問題的一般思路 求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍.,思維升華,答案,解析,解得B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)為,又因?yàn)閎2a2c2.,題型三 直線與橢圓,解答,又a2c2b23，所以c21，因此a24.,(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BFHF，且MOAMAO，求直線l的斜率.,解答,設(shè)直線l的斜率為k(k0)， 則直線l的方程為yk(x2).,消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.,由(1)知，F(xiàn)(1,0)，設(shè)H(0，yH)，,在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，,思維升華,(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題時(shí)用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.,提醒：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.,解答,則4x25y280與yx4聯(lián)立，,解答,(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線l方程的一般式.,橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)， 設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q(x0，y0)， 由三角形重心的性質(zhì)知,又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)， 故得x03，y02， 即Q的坐標(biāo)為(3，2). 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1x26，y1y24，,即6x5y280.,高考中求橢圓的離心率問題,高頻小考點(diǎn)8,離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無(wú)論是哪類問題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點(diǎn)的根本方法.,考點(diǎn)分析,典例1 (2015福建)已知橢圓E： (ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于 ，則橢圓E的離心率的取值范圍是,答案,解析,左焦點(diǎn)F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形. |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2.,典例2 ( 12分) (2016浙江)如圖，設(shè)橢圓 y21(a1). (1)求直線ykx1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a，k表示)；,解答,設(shè)直線ykx1被橢圓截得的線段為AM，,(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.,解答,假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，滿足|AP|AQ|. 記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2， 且k10，k20，k1k2. 5分,因?yàn)槭疥P(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)1，所以a .,因此，任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1a ， 10分,課時(shí)作業(yè),A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,2m6且m4.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,當(dāng)94k0，即4k5時(shí)， a3，c29(4k)5k，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,c2k5，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y得(2k2m)x24kx22m0， 因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)， 所以16k24(2k2m)(22m)0，即2k2m10恒成立， 因?yàn)閗R，所以k20，則m10，所以m1， 又m2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是1,2)(2，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.2016年1月14日，國(guó)防科工局宣布，嫦娥四號(hào)任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實(shí)施.如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子： a1c1a2c2；a1c1a2c2； ；c1a2a1c2. 其中正確式子的序號(hào)是 A. B. C. D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,觀察圖形可知a1c1a2c2，即式不正確；a1c1a2c2|PF|，即式正確；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016貴州七校聯(lián)考)以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為,答案,解析,設(shè)a，b，c分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距， 依題意知，當(dāng)三角形的高為b時(shí)面積最大，,(當(dāng)且僅當(dāng)bc1時(shí)取等號(hào))，故選D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*6.(2016合肥模擬)已知兩定點(diǎn)A(2,0)和B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：yx3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為,答案,解析,求e的最大值，即求a的最小值， 由于A，B兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)， 所以|PA|PB|2a，即在直線l上找一點(diǎn)P， 使|PA|PB|的值最小， 設(shè)點(diǎn)A(2,0)關(guān)于直線l： yx3的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,即Q(3,1)，則|PA|PB|QB|,7.若橢圓 (a0，b0)的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)(2,1)作圓x2y24的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)， 則橢圓方程為_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，,即m2n2n2m0. m2n24，2mn40， 即直線AB的方程為2xy40. 直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)， 2c40，b40，解得c2，b4， a2b2c220，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知P為橢圓 上的一點(diǎn)，M，N分別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為_.,答案,解析,7,由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|PF2|10，從而|PM|PN|的最小值為|PF1|PF2|127.,9.(2017石家莊質(zhì)檢)橢圓 y21的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 _.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3,解答,4a24b25a2 ,4a24(a2c2)5a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若斜率為2的直線l過點(diǎn)(0,2)，且l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，OPOQ，求直線l的方程及橢圓C的方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 直線l的方程為y22(x0)，即2xy20.,得x24(2x2)24b20， 即17x2