學科教育論文-數(shù)學思維與小學數(shù)學教學.doc

學科教育論文-數(shù)學思維與小學數(shù)學教學摘要：“幫助學生學會基本的數(shù)學思想方法”是新一輪數(shù)學課程改革所設定的一個基本目標。以國際上的相關研究為背景，對小學數(shù)學教學中如何突出數(shù)學思維進行具體分析表明，即使是十分初等的數(shù)學內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特征性質(zhì)。關鍵詞：數(shù)學思維；小學數(shù)學教學對于數(shù)學思維的突出強調(diào)是國際范圍內(nèi)新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征，如由美國的學校數(shù)學課程與評估的標準和我國的全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）（以下簡稱課程標準）關于數(shù)學教育目標的論述中就可清楚地看出。然而，就小學數(shù)學教育的現(xiàn)實而言，上述的理念還不能說已經(jīng)得到了很好的貫徹，而造成這一現(xiàn)象的一個重要原因就是以下的認識：小學數(shù)學的教學內(nèi)容過于簡單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學思維的特點。以下將依據(jù)國際上的相關研究對這一觀點作出具體分析，希望能促進這一方向上的深入研究，從而能夠?qū)τ趯嶋H教學活動發(fā)揮積極的導向作用。一、數(shù)學化：數(shù)學思維的基本形式眾所周知，強調(diào)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系正是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征?！皵?shù)學課程的內(nèi)容一定要充分考慮數(shù)學發(fā)展進程中人類的活動軌跡，貼近學生熟悉的現(xiàn)實生活，不斷溝通生活中的數(shù)學與教科書上數(shù)學的聯(lián)系，使生活和數(shù)學融為一體?！?就努力改變傳統(tǒng)數(shù)學教育嚴重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個問題，即應當如何去處理“日常數(shù)學”與“學校數(shù)學”之間的關系。事實上，即使就最為初等的數(shù)學內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學的抽象特點，而這就已包括了由“日常數(shù)學”向“學校數(shù)學”的重要過渡。例如，在幾何題材的教學中，無論是教師或?qū)W生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實上就已包括了由現(xiàn)實原型向相應的“數(shù)學模式”的過渡。再例如，正整數(shù)加減法顯然具有多種不同的現(xiàn)實原型，如加法所對應的既可能是兩個量的聚合，也可能是同一個量的增加性變化，同樣地，減法所對應的既可能是兩個量的比較，也可能是同一個量的減少性變化；然而，在相應的數(shù)學表達式中所說的現(xiàn)實意義、包括不同現(xiàn)實原型之間的區(qū)別（例如，這究竟表現(xiàn)了“二元的靜態(tài)關系”還是“一元的動態(tài)變化”）則完全被忽視了：它們所對應的都是同一類型的表達式，如4+5=9、7-3=4等，而這事實上就包括了由特殊到一般的重要過渡。應當強調(diào)的是，以上所說的可說是一種“數(shù)學化”的過程，后者集中地體現(xiàn)了數(shù)學的本質(zhì)特點：數(shù)學可被定義為“模式的科學”，也就是說，在數(shù)學中我們并非是就各個特殊的現(xiàn)實情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現(xiàn)象的模型過渡到了更為普遍的“模式”。也正由于數(shù)學的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實情景，這就為相應的“純數(shù)學研究”提供了現(xiàn)實的可能性。例如，就以上所提及的加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據(jù)其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個已知數(shù)的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？”或者“兩個數(shù)的差是3，其中較大的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？”我們在此事實上已由“具有明顯現(xiàn)實意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。綜上可見，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學思維的一些重要特點，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實意義與純數(shù)學研究這兩者之間所存在的辯證關系。當然，從理論的角度看，我們在此又應考慮這樣的問題，即應當如何去認識所說的純數(shù)學研究的意義。特別是，我們是否應當明確肯定由“日常數(shù)學”過渡到“學校數(shù)學”的必要性，或是應當唯一地堅持立足于現(xiàn)實生活。由于后一問題的全面分析已經(jīng)超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點：與現(xiàn)實意義在一定程度上的分離對于學生很好地把握相應的數(shù)量關系是十分重要的。這正是國際上的相關研究、特別是近年來所興起的“民俗數(shù)學”研究的一個重要結論：盡管“日常數(shù)學”具有密切聯(lián)系實際的優(yōu)點，但也有著明顯的局限性。例如，如果僅僅依靠“自發(fā)的數(shù)學能力”，人們往往就不善于從反面去思考問題，與此相對照，通過學校中的學習，上述的情況就會有很大改變，這就是說，純數(shù)學的研究“在幫助學生學會使用逆運算來解決問題方面有著明顯的效果”；另外，同樣重要的是，如果局限于特定的現(xiàn)實情景，所學到的數(shù)學知識在“可遷移性”方面也會表現(xiàn)出很大的局限性。一般地說，學校中的數(shù)學學習就是對學生經(jīng)由日常生活所形成的數(shù)學知識進行鞏固、適當重組、擴展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數(shù)學事實過渡到了系統(tǒng)的知識結構，以及對于人類文化的必要繼承。這正如著名數(shù)學教育家斯根普所指出的：“兒童來到學校雖然還未接受正式教導，但所具備的數(shù)學知識卻比預料的多他們所需要的幫助是從（學校教學）活動中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結合?！?當然，我們還應明確肯定數(shù)學知識向現(xiàn)實生活“復歸”的重要性。這正如著名數(shù)學家、數(shù)學教育家弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對各種不同的集合進行計數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對各種不同的量進行度量。盡管運算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對的文字題中的算術問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計算的同時我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現(xiàn)實?！?總的來說，這就應當被看成“數(shù)學化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實原型抽象出相應的數(shù)學概念或問題，而且也包括了對于數(shù)量關系的純數(shù)學研究，以及由數(shù)學知識向現(xiàn)實生活的“復歸”。另外，相對于具體知識內(nèi)容的學習而言，我們應當更加注意如何幫助學生很好地去掌握“數(shù)學化”的思想，我們應當從這樣的角度去理解“情境設置”與“純數(shù)學研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學化是一條保證實現(xiàn)數(shù)學整體結構的廣闊途徑情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應該服從于總的方法?！?二、凝聚：算術思維的基本形式由以下關于算術思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對于具體知識內(nèi)容的教學而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導意義。具體地說，這正是現(xiàn)代關于數(shù)學思維研究的一項重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化構成了算術以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學特別是算術和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個對象對此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對象去施行進一步的運算。例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進的，即代表了這樣的“輸入輸出”過程：由兩個加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應的和（差）；然而，隨著學習的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數(shù)學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的