學(xué)科教育論文-暖春數(shù)學(xué)知識(shí)的特征與學(xué)習(xí)方式的有效選擇.doc

學(xué)科教育論文-暖春數(shù)學(xué)知識(shí)的特征與學(xué)習(xí)方式的有效選擇摘要知識(shí)的特征不同，對(duì)學(xué)習(xí)方式的要求也就不同。有些數(shù)學(xué)知識(shí)具有經(jīng)驗(yàn)性、演繹性或?qū)ο笮裕瑥膶W(xué)生的日常生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，開展探究學(xué)習(xí)是必要的，也是可能的。有些數(shù)學(xué)知識(shí)具有超驗(yàn)性、合情性或程序性，對(duì)于這些知識(shí)，只能通過接受學(xué)習(xí)來獲得。有效地選擇學(xué)習(xí)方式，要綜合考慮知識(shí)的特征、學(xué)生的特征、教師的特征和社會(huì)的特征。關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)知識(shí)；接受學(xué)習(xí)；探究學(xué)習(xí)新課程強(qiáng)調(diào)自主、合作、探究等學(xué)習(xí)方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。但是，僅有這種學(xué)習(xí)方式是不夠的，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)有不同的特征。本文主要論述數(shù)學(xué)知識(shí)的特征，進(jìn)而闡述不同特征的知識(shí)需要選擇不同的學(xué)習(xí)方式：有的宜選擇接受學(xué)習(xí)方式，有的宜選擇探究學(xué)習(xí)方式。這里的接受學(xué)習(xí)有兩層含義：一是指有的內(nèi)容不易探究、發(fā)現(xiàn)，需要教師在課堂教學(xué)中加以呈現(xiàn)；二是指學(xué)生對(duì)于有的內(nèi)容的理解有限，在不能完全理解的情況下，要先接受下來，進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練，并在以后的學(xué)習(xí)中再逐步加深理解。一數(shù)學(xué)知識(shí)的特征數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)和形的科學(xué)，它與物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科不同，并不以客觀世界的具體物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)為研究對(duì)象。“數(shù)”和“形”都抽象地存在于人的理性思維世界。從根本上說，數(shù)學(xué)對(duì)象來源于現(xiàn)實(shí)世界，是具體事物的抽象。但是，有許多數(shù)學(xué)知識(shí)，則顯示出超驗(yàn)性、合情性或程序性。這些特征，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有特殊的要求。1知識(shí)的超驗(yàn)性和經(jīng)驗(yàn)性數(shù)是抽象的產(chǎn)物?！拔覀冞\(yùn)用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對(duì)象聯(lián)系起來。我們?cè)趯W(xué)校里學(xué)習(xí)的是抽象的乘法表，而不是男孩的數(shù)目乘以蘋果的數(shù)目，或者蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價(jià)錢同樣在幾何中研究的，例如，是直線，而不是拉緊了的繩子?！?數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界抽象的結(jié)果，甚至是對(duì)抽象的對(duì)象進(jìn)一步抽象的結(jié)果。正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)才有今天的蓬勃發(fā)展。因而，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象與日常生活經(jīng)驗(yàn)就有了遠(yuǎn)近之別：有的與學(xué)生的生活和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)較為接近，他們可以在自己的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上探究并建構(gòu)起這些數(shù)學(xué)知識(shí)，這些知識(shí)具有經(jīng)驗(yàn)性；有的是人類理性思維的結(jié)晶，遠(yuǎn)離學(xué)生的生活和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很難通過自己的經(jīng)驗(yàn)探究、發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學(xué)知識(shí)，這些知識(shí)具有超驗(yàn)性。人們沒有見過自然數(shù)“1”，只見過一頭牛、一只羊。自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)可以通過一些表征物來表示，較為直觀，而負(fù)數(shù)就不直觀了。無理數(shù)較為抽象，也很難找到一個(gè)具體事物作為原型。即便是最精確的尺子，也很難把無理數(shù)量出來。無理數(shù)是人類長(zhǎng)期探索的結(jié)晶，是人類理性思維的結(jié)果。無理數(shù)是無限不循環(huán)的小數(shù)。人們對(duì)于“無限”難以把握，對(duì)于什么是“不循環(huán)”更不能直接感受，也沒法說清楚。在中學(xué)，通常是用反證法來證明是一個(gè)無理數(shù)。從直觀的角度來看，這個(gè)證明并沒有給我們提供具體的信息。因而，學(xué)生很難靠自己的經(jīng)驗(yàn)來建構(gòu)無理數(shù)這個(gè)概念。如果說可以把看作邊長(zhǎng)為1的單位正方形對(duì)角線的長(zhǎng)，那么，對(duì)、e如何理解呢?難怪有中學(xué)生提出這樣的問題：圓周率是否可能以某個(gè)特別長(zhǎng)的數(shù)作循環(huán)節(jié)而成為循環(huán)小數(shù)?代數(shù)式更加抽象，離我們的經(jīng)驗(yàn)也就更遠(yuǎn)。對(duì)于數(shù)的運(yùn)算而言，自然數(shù)的運(yùn)算法則較為直觀；小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則介于具體與抽象之間；實(shí)數(shù)與代數(shù)式的運(yùn)算法則超越了我們的經(jīng)驗(yàn)，只能由自然數(shù)、有理數(shù)的運(yùn)算法則遷移過來?？傊駸o理數(shù)、虛數(shù)這樣一些數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生不可能用自己的經(jīng)驗(yàn)“探究”出來。為此，我們可以把這些知識(shí)直接告訴學(xué)生，讓他們接受下來，然后讓學(xué)生通過自己的理性思維逐步地加以消化、理解。數(shù)學(xué)知識(shí)并不都具有超驗(yàn)性，大量的數(shù)學(xué)知識(shí)具有經(jīng)驗(yàn)性。例如，田地的面積用“畝”丈量，用分?jǐn)?shù)表示“部分”的大小，用數(shù)據(jù)描述一個(gè)“事件”發(fā)生的概率等，都是一些很具體且可以通過經(jīng)驗(yàn)來獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)。這些知識(shí)都具有經(jīng)驗(yàn)性，學(xué)生可以通過自主活動(dòng)、積極思考、主動(dòng)探究來建構(gòu)。2知識(shí)的合情性和演繹性數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得，需要經(jīng)過嚴(yán)格的演繹證明。只有經(jīng)過嚴(yán)格演繹證明的結(jié)論，才能稱為數(shù)學(xué)知識(shí)，也才是可以接受的。數(shù)學(xué)知識(shí)的可證明性亦可稱為演繹性。數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得，往往要經(jīng)過不完全歸納、試驗(yàn)、猜測(cè)等探索與合情推理的過程。特別是在中小學(xué)，由于學(xué)生的認(rèn)知水平較低，許多結(jié)論是通過舉例和不完全歸納得到的，是“混而不錯(cuò)”的，因而數(shù)學(xué)知識(shí)又顯示出“合情性”。比如，對(duì)于數(shù)的運(yùn)算律的學(xué)習(xí)。自然數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的交換律較為直觀，可以通過畫圖、舉例來說明。當(dāng)然，這種直觀的說明具有相當(dāng)?shù)纳羁绦浴?3=32，34=43，讓學(xué)生感受一下，便可得出：ab=ba。這只是感受一下，只是一個(gè)猜想，而不是自己的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造，也不是證明。有理數(shù)乘法的交換律更像一種規(guī)定性的東西。規(guī)定的合理性源于“運(yùn)算律的承襲性”。自然數(shù)的乘法、分?jǐn)?shù)的乘法、小數(shù)的乘法都滿足交換律，于是，為了保持運(yùn)算律的承襲性，有理數(shù)的乘法也滿足交換律。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，由于出現(xiàn)了無理數(shù)，想通過例子直觀感受一下實(shí)數(shù)乘法的交換律就較難了。初中數(shù)學(xué)教材中的處理是一筆帶過：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，加法、乘法的交換律、結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律仍然是成立的。陳省身先生曾說：“數(shù)學(xué)的主要方法是邏輯推理，因之，建立了一個(gè)堅(jiān)固的思想結(jié)構(gòu)?！比绱?，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)為何不追求嚴(yán)密的邏輯推理呢?如果遵循邏輯推理的要求，就要從匹亞諾公理系統(tǒng)和自然數(shù)乘法的定義出發(fā)，對(duì)自然數(shù)乘法的交換律進(jìn)行證明。而證明實(shí)數(shù)乘法的交換律需要用到有理數(shù)的基本序列、極限等知識(shí)。這樣的嚴(yán)密邏輯推理，誰能受得了。因而，相對(duì)于學(xué)生的認(rèn)知水平，這些知識(shí)無需證明，也不可能證明。對(duì)于小學(xué)生而言，23=32，舉個(gè)例子就行了。“符號(hào)法則不能證明。人們只關(guān)心這個(gè)法則在邏輯上是否允許。這些法則是任意的，取決于使用上的方便，例如受承襲性原則的制約。我請(qǐng)求你們一般地不要把不可能的證明講得似乎成立。大家應(yīng)該用簡(jiǎn)單的例子使學(xué)生相信，或有可能的話，讓他們自己弄清楚。從實(shí)際情況看，承襲性原則所包含的這些約定關(guān)系，恰好是適當(dāng)?shù)?，因?yàn)榭梢缘玫揭恢路奖愕乃惴??！?正因?yàn)槿绱耍e個(gè)例子來說明問題，只是為了讓學(xué)生更好地理解、接受某些知識(shí)，充其量只是一種合情推理，并非是證明，也不是探究。教材中的這種處理符合兒童的認(rèn)知規(guī)律，也符合這些知識(shí)產(chǎn)生的實(shí)際。對(duì)教學(xué)而言，關(guān)鍵在于如何結(jié)合不同年齡階段學(xué)生的特征，依據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)，進(jìn)行解釋性的闡述。事實(shí)上，長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐也是這樣做的，并沒有什么不好。既然有些數(shù)學(xué)知識(shí)不可能證明，也不宜證明，在初步理解的基礎(chǔ)上，先接受下來，到知識(shí)有了一定的積累、認(rèn)知水平有了一定的提高后，再進(jìn)行證明，亦是合乎情理的。比如，對(duì)幾何的學(xué)習(xí)，開始的時(shí)候，可以畫一畫，量一量，感受一下“三角形的內(nèi)角和是180”。這與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)較為貼近，也較為直觀。但是，到了初中階段，必須讓學(xué)生體會(huì)證明的必要性，進(jìn)而讓他們學(xué)習(xí)演繹證明。否則，學(xué)生就只會(huì)停留在“測(cè)一測(cè)，量一量”的狀態(tài)。隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生能夠用邏輯的方法加以證明，這亦是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本要求。合情性是相對(duì)于學(xué)生的知識(shí)水平與心理發(fā)展特征而言的。從理論上講，數(shù)學(xué)知識(shí)完全可以通過嚴(yán)密的演繹來證明。數(shù)學(xué)的價(jià)值就在于證明。因此，對(duì)于演繹性的、在學(xué)生能力和知識(shí)范圍內(nèi)可以證明的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)、引導(dǎo)、幫助學(xué)生去自主探究和發(fā)現(xiàn)。3知識(shí)的程序性和對(duì)象性JR.安德森(JRAnderson)將知識(shí)分為陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)。數(shù)學(xué)中包含大量的程序性知識(shí)，如運(yùn)算法則、解題方法和解題策略等。即便陳述性知識(shí)如代數(shù)式、方程、函數(shù)等大量數(shù)學(xué)概念的形成過程一般都要經(jīng)過活動(dòng)階段、過程階段、對(duì)象階段、圖示階段，因而許多數(shù)學(xué)概念都具有過程和對(duì)象的雙重屬性?？梢哉f，程序性是數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)基本屬性。知識(shí)的程序性要求對(duì)某些概念、技能的學(xué)習(xí)須在初步理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)行適度的訓(xùn)練，從而在訓(xùn)練中加深理解，獲得技能。掌握一個(gè)概念，通常要經(jīng)歷由過程入門，然后轉(zhuǎn)變?yōu)檎J(rèn)識(shí)對(duì)象的過程。比如，對(duì)于結(jié)合律的學(xué)習(xí)，要先做一些諸如“(7+6)+2=7+(6+2)”的訓(xùn)練，其后，以一個(gè)旁觀者的身份對(duì)先前的操作過程進(jìn)行思考，正如皮亞杰提出的“反省抽象”，這樣便可以得到加法的結(jié)合律?！凹臃?、乘法服從交換律，無須去猜想、發(fā)現(xiàn)，做就是了?！?基本技能的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷3個(gè)階段，即認(rèn)知階段、聯(lián)系階段、自動(dòng)化階段。訓(xùn)練對(duì)于基本技能的形成至關(guān)重要?！霸趲椭鷮W(xué)生將基本的技能合成起來時(shí)，練習(xí)和反饋是兩個(gè)極重要的因素。因?yàn)槊恳淮尉毩?xí)和嘗試均給兩個(gè)潛在的有關(guān)聯(lián)的產(chǎn)生式在工作記憶中同時(shí)被激活提供了機(jī)會(huì)，因而也給他們的合成提供了機(jī)會(huì)。”4如因式分解，學(xué)生容易理解什么是因式分解，但遇到具體問題時(shí)卻不知怎樣分解。要會(huì)因式分解，就要模仿一些含有一定技能的例題，進(jìn)行適量的訓(xùn)練，在頭腦中形成一些相對(duì)固定的解決問題的技能。學(xué)生要主動(dòng)地進(jìn)行有意義的探究學(xué)習(xí)，必須具備一定的知識(shí)和技能基礎(chǔ)。否則，就不能積極主動(dòng)地參與到探究過程中去。探究中所需要的這些基礎(chǔ)知識(shí)和技能，主要來自于教學(xué)效率較高的接受學(xué)習(xí)。5數(shù)學(xué)知識(shí)除了具有程序性外，還具有對(duì)象性或者概念性。亦即，數(shù)學(xué)知識(shí)既可表現(xiàn)為一系列的算法、步驟，又可表現(xiàn)為對(duì)象、結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)為“有聯(lián)系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)”6。如此，一方面要通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，讓學(xué)生掌握這些算法和技能；另一方面，要把該知識(shí)置于知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)之中，建立該知識(shí)與其他知識(shí)的聯(lián)系，建立對(duì)該知識(shí)的理解。比如，對(duì)于一元二次方程公式解法的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以按照把方程化為ax2+bx+c=0的形式、判斷=b2-4ac的大小、帶入一元二次方程求根公式求解這樣一個(gè)程序去練習(xí)，通過練習(xí)形成一定的技能。但是，求解一元二次方程本質(zhì)上是按照方程的同解原理，按照“化歸”的思想，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來進(jìn)行的，因而要建立一元二次方程求根公式法與一元一次方程、方程的同解原理、配方法之間的聯(lián)系。為此，學(xué)生首先可以自主探究、發(fā)現(xiàn)一元二次方程的求根公式解法，建立知識(shí)之間的聯(lián)系；然后按照一定的步驟進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練，把探究與訓(xùn)練結(jié)合起來。二數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的有效選擇P歐內(nèi)斯特(PErnest)曾說，數(shù)學(xué)教學(xué)的問題“并不在于教學(xué)的最好的方式是什么，而在于數(shù)學(xué)是什么。如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭(zhēng)議”7?？梢哉f，數(shù)學(xué)知識(shí)的特征影響著學(xué)習(xí)的特征，影響并決定著學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的選擇：知識(shí)特征不同，學(xué)習(xí)方式各異。l超驗(yàn)性的知識(shí)、合情性的知識(shí)和程序性的知識(shí)，適于開展接受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中有一些知識(shí)是人類長(zhǎng)期實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和理性思維的結(jié)晶，但是，這些知識(shí)超出了學(xué)生目前的經(jīng)驗(yàn)；對(duì)于學(xué)生的實(shí)際知識(shí)水平而言，這些知識(shí)也是不可證明的，不便探究，或者可探究的成分較少，需要先接受下來，再慢慢理解，理解也只能達(dá)到一個(gè)相對(duì)的水平。數(shù)學(xué)中還有一些程序性的知識(shí)，也要先接受下來，然后再進(jìn)行一定的訓(xùn)練，才能學(xué)到手。在義務(wù)教育階段，一些數(shù)學(xué)知識(shí)的特征和學(xué)生身心發(fā)展的特點(diǎn)決定了接受學(xué)習(xí)的大量存在。在這個(gè)階段，學(xué)生所擁有的知識(shí)不能解釋目前的困惑，所需的知識(shí)又尚未建立起來。這個(gè)時(shí)候只能把有關(guān)的知識(shí)先接受下來，并進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練，在新的知識(shí)體系建立起來后，再回過頭來進(jìn)行深入的理解。學(xué)習(xí)在本質(zhì)上是一個(gè)不斷克服困難的過程，數(shù)學(xué)不是玩兒出來的?！拔覀儾⒎前凑諏W(xué)生喜歡的標(biāo)準(zhǔn)來選擇題材。真正的教師會(huì)使計(jì)算變得有趣。我們不會(huì)用糖來寵壞自己的孩子，對(duì)嗎?當(dāng)然，我也并非主張味道愈是不好的食物就愈有利于我們的健康。我只是說興趣是可以培養(yǎng)的?！?于這些知識(shí)，雖然是采用接受學(xué)習(xí)方式來掌握，但由于我國教師在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中積累了豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如創(chuàng)設(shè)有意義的學(xué)習(xí)情景，開展啟發(fā)式教學(xué)和變式教學(xué)，設(shè)置適當(dāng)?shù)匿亯|等，因而建立了“以符號(hào)代表的新觀念與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)?shù)挠^念之間實(shí)質(zhì)性和非人為性的聯(lián)系”9。正因如此，這種接受學(xué)習(xí)大部分都成為有意義的接受學(xué)習(xí)。然而，如果教學(xué)策略不當(dāng)，也容易導(dǎo)致機(jī)械的接受學(xué)習(xí)，這是應(yīng)當(dāng)避免的2經(jīng)驗(yàn)性的知識(shí)、演繹性的知識(shí)和對(duì)象性的知識(shí)，適于開展探究學(xué)習(xí)探究學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的再創(chuàng)造能力和創(chuàng)新能力。從數(shù)學(xué)角度來說，只有經(jīng)過證明的結(jié)論才是可以接受的，經(jīng)過證明的探究才是有意義的，因而應(yīng)該針對(duì)經(jīng)驗(yàn)性的知識(shí)、演繹性的知識(shí)和對(duì)象性的知識(shí)開展探究學(xué)習(xí)。然而，上述超驗(yàn)性的知識(shí)、合情性的知識(shí)和程序性的知識(shí)不宜探究，即便是適于探究的知識(shí)，由于時(shí)間、物質(zhì)條件的限制或是教學(xué)進(jìn)度的需要，也沒有必要都進(jìn)行探究。如果所有事都從頭做的話，那么別的什么也干不成。當(dāng)我們提倡探究學(xué)習(xí)的時(shí)候，也應(yīng)該看到探究學(xué)習(xí)的局限