2019高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.4簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題精練（含解析）北師大版.docx

4簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題A組1.設(shè)集合A=0,2,4,B=1,3,5,分別從A,B中任取2個(gè)元素組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中能被5整除的數(shù)共有()A.24個(gè)B.48個(gè)C.64個(gè)D.116個(gè)解析:只含0不含5的有:=12;(2)只含5不含0的有:=12;(3)含有0和5的有:當(dāng)0在個(gè)位時(shí),有=24;當(dāng)5在個(gè)位時(shí),有=16.共有12+12+24+16=64個(gè).答案:C2.6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144B.120C.72D.24解析:先把3把椅子隔開(kāi)擺好,它們之間和兩端有4個(gè)位置,再把3人帶椅子插放在4個(gè)位置,共有=24種放法,故選D.答案:D3.從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì),其中所成的角為60的共有()A.24對(duì)B.30對(duì)C.48對(duì)D.60對(duì)答案:C4.將A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中順序?yàn)椤癆,B,C”或“C,B,A”(可以不相鄰),這樣的排列數(shù)有()A.12種B.20種C.40種D.60種解析:(排序一定用除法)五個(gè)元素沒(méi)有限制全排列數(shù)為,由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C或C,B,A),故除以這三個(gè)元素的全排列再乘以2,可得2=40.答案:C5.身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人,身穿藍(lán)色衣服的有一人,現(xiàn)將這五人排成一行,要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰,則不同的排法種數(shù)為()A.24B.28C.36D.48解析:穿紅色衣服的人相鄰的排法有=48種,同理穿黃色衣服的人相鄰的排法也有48種.而紅色、黃色同時(shí)相鄰的有=24種.故穿相同顏色衣服的不相鄰的排法有-248+24=48種.答案:D6.某校準(zhǔn)備參加2017年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把10個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的8個(gè)教學(xué)班,每班至少一個(gè)名額,則不同的分配方案共有種.解析:原問(wèn)題等價(jià)于把10個(gè)相同的小球放入8個(gè)盒子里,每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球的放法種數(shù)問(wèn)題.將10個(gè)小球排成一排,從中間9個(gè)間隙中選出7個(gè)截成8段(有=36種截法),對(duì)應(yīng)放到8個(gè)盒子里,有36種放法.因此,不同的分配方案共有36種.答案:367.(2016山東濰坊高二檢測(cè))張、王兩家夫婦各帶1個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩,購(gòu)票后排隊(duì)依次入園,為安全起見(jiàn),首尾一定要排兩位爸爸,另外,兩個(gè)小孩一定要排在一起,則這6人的入園順序排法種數(shù)為.(用數(shù)字作答)解析:第一步:將兩位爸爸排在兩端有2種排法;第二步:將兩個(gè)小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個(gè)位置上有種排法;第三步:將兩個(gè)小孩排序有2種排法.故總的排法有22=24(種).答案:248.在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張,其余5張無(wú)獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人,每人2張,不同的獲獎(jiǎng)情況有種(用數(shù)字作答).解析:不同的獲獎(jiǎng)情況分為兩種,一是一人獲兩張獎(jiǎng)券一人獲一張獎(jiǎng)券,共有=36種;二是有三人各獲得一張獎(jiǎng)券,共有=24種.因此不同的獲獎(jiǎng)情況有36+24=60種.答案:609.導(dǎo)學(xué)號(hào)43944014某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查,已知其中有15種不合格商品.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種不合格商品必須在內(nèi),不同的取法有多少種?(2)其中某一種不合格商品不能在內(nèi),不同的取法有多少種?(3)恰有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?(4)至少有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?(5)至多有2種不合格商品在內(nèi),不同的取法有多少種?解(1)從余下的34種商品中,選取2種,有=561(種),故某一種不合格商品必須在內(nèi)的不同取法有561種.(2)從34種可選商品中,選取3種,有種或者=5 984(種).故某一種不合格商品不能在內(nèi)的不同取法有5 984種.(3)從20種合格商品中選取1件,從15種不合格商品中選取2件有=2 100(種).故恰有2種不合格商品在內(nèi)的不同的取法有2 100種.(4)選取2件不合格商品有種,選取3件不合格商品有種,共有選取方式=2 100+455=2 555(種).故至少有2種不合格商品在內(nèi)的不同的取法有2 555種.(5)任意選取3件的總數(shù)有種,因此共有選取方式=6 545-455=6 090(種).故至多有2種不合格商品在內(nèi)的不同的取法有6 090種.B組1.6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144B.120C.72D.24解析:插空法.在已排好的三把椅子產(chǎn)生的4個(gè)空檔中選出3個(gè)插入3人即可.故排法種數(shù)為=24.故選D.答案:D2.(2016廣東惠州市統(tǒng)考)任取三個(gè)互不相等的正整數(shù),其和小于100,則由這三個(gè)數(shù)構(gòu)成的不同的等差數(shù)列共有()A.528個(gè)B.1 056個(gè)C.1 584個(gè)D.4 851個(gè)解析:先確定等差數(shù)列的中間項(xiàng),再確定第一、三項(xiàng).設(shè)這三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)分別為a,b,c.由題意得a+b+c100,即3b100,得b可以取2,3,33,共32個(gè)數(shù).第一類,b=2時(shí),a,c的取值共有2個(gè)(a=1,c=3和a=3,c=1,對(duì)應(yīng)的是兩個(gè)數(shù)列);第二類,b=3時(shí),a,c的取值共有4個(gè);第三十二類,b=33時(shí),a,c的取值共有64個(gè).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,可得滿足題意的數(shù)列共有2+4+64=1 056個(gè).答案:B3.(2016江西南昌高三聯(lián)考)將6名報(bào)名參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的同學(xué)分別安排到跳繩、接力、投籃三項(xiàng)比賽中(假設(shè)這些比賽都不設(shè)人數(shù)上限),每人只參加一項(xiàng),則共有x種不同的方案,若每項(xiàng)比賽至少要安排一人時(shí),則共有y種不同的方案,其中x+y的值為()A.1 269B.1 206C.1 719D.756解析:依題意得x=36=729,當(dāng)每項(xiàng)比賽至少要安排一人時(shí),先分組,有=90種,再排列,有=6種,所以y=906=540,因此x+y=1 269,故選A.答案:A4.數(shù)字1,2,3,4,5,6按如圖形式隨機(jī)排列,設(shè)第一行的數(shù)為N1,其中N2,N3分別表示第二、三行中的最大數(shù),則滿足N1N2N3的所有排列的個(gè)數(shù)是.解析:(元素優(yōu)先法)由題意知6必在第三行,安排6有=3種方法,第三行中剩下的兩個(gè)空位安排數(shù)字有=20種方法,在留下的三個(gè)數(shù)字中,必有一個(gè)最大數(shù),把這個(gè)最大數(shù)安排在第二行,有=2種方法,剩下的兩個(gè)數(shù)字有=2種排法,按分步乘法計(jì)數(shù)原理,所有排列的個(gè)數(shù)是=240.答案:2405.(2016浙江寧波效實(shí)中學(xué)第一學(xué)期)對(duì)一個(gè)各邊長(zhǎng)不相等的凸五邊形的各邊染色,每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種,但是不允許相鄰的邊染相同的顏色,則不同的染色方法共有種.解析:不妨假設(shè)AB邊染黃色,BC邊染紅色,若CD邊染黃色,則DE邊染藍(lán)色,AE邊染紅色,或DE邊染紅色,AE邊染藍(lán)色,共2種情況;若CD邊染藍(lán)色,則DE邊染紅色,AE邊染藍(lán)色,或DE邊染黃色,AE邊染紅色或DE邊染黃色,AE邊染藍(lán)色,共3種情況,根據(jù)對(duì)稱性,不同的染色方案共有(2+3)32=30種.答案:306.從一架鋼琴挑出的十個(gè)音鍵中,分別選擇3個(gè),4個(gè),5個(gè),10個(gè)同時(shí)按下,可發(fā)出和聲,若有一個(gè)音鍵不同,則發(fā)出不同的和聲,則這樣的不同的和聲數(shù)為(用數(shù)字作答).解析:可發(fā)出和聲的情況共分以下8類:當(dāng)選擇3個(gè)音鍵時(shí),有種情況;當(dāng)選擇4個(gè)音鍵時(shí),有種情況;當(dāng)選擇10個(gè)音鍵時(shí),有種情況.所以不同的和聲數(shù)為+=968.答案:9687.導(dǎo)學(xué)號(hào)43944015把7個(gè)完全相同的小球放置在三個(gè)盒子中,允許有的盒子一個(gè)也不放.(1)如果三個(gè)盒子完全相同,有多少種放置方法?(2)如果三個(gè)盒子各不相同,有多少種放置方法?解(1)因?yàn)樾∏蛲耆嗤?三個(gè)盒子也完全相同,所以把7個(gè)小球分成三份,比如分成3個(gè)、2個(gè)、2個(gè)這樣三份放入三個(gè)盒子中,無(wú)論哪一份小球放入哪一個(gè)盒子,均是同一種放置方法,因此,只需將7個(gè)小球分成如下三份:(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)即可.所以共有8種不同的放置方法.(2)設(shè)三個(gè)盒子中小球的個(gè)數(shù)分別為x1,x2,x3,顯然有x1+x2+x3=7,于是,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)不定方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)問(wèn)題,令yi=xi+1(i=1,2,3),得y1+y2+y3=10,問(wèn)題又成為求不定方程y1+y2+y3=10的正整數(shù)解的組數(shù)的問(wèn)題,把10個(gè)小球排成一排,在10個(gè)小球中間的9個(gè)空中,任取兩個(gè)空插入“隔板”,即可將10個(gè)球分成三組,故不定方程的解有=36組.故有36種放置方法.8.導(dǎo)學(xué)號(hào)43944016已知平面,在內(nèi)有4個(gè)點(diǎn),在內(nèi)有6個(gè)點(diǎn).(1)過(guò)這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面