學科教育論文-運動觀點下尋找輔助線的方法小結.docVIP

學科教育論文-運動觀點下尋找輔助線的方法小結【摘要】本文分析了運動觀點下尋找輔助線的方法小結。【關鍵詞】輔助線方法我們?yōu)榱俗C明或計算的需要，常常在原來圖形上添畫的線就是輔助線。輔助線有時不止一條，也不一定是線段或直線，它可能是弧或圓。這就要看證明的需要而定了。對一個已知圖形來說，可畫出的輔助圖形是很多的，合適的輔助線可以擴大原題的“已知”，從而使原來不大明顯的各個幾何量之間的關系明朗起來，從而協(xié)助門推導出結論。但用不著的就不必畫。畫多了，圖形就顯得復雜、混亂，反而難證，或雖獲證，但走了彎路。對大多數(shù)的初學者來說，尋找輔助線是比較棘手的問題。它的規(guī)律性并不是一成不變的。有的甚至是好幾種方法聯(lián)合使用，所以，比較困難。這里我們將介紹一種行之有效的方法來添加輔助線：用運動的觀點來觀察圖形，設想把某一有關部分的圖形進行對折、平移、旋轉，從而巧妙地添出輔助線，有效地解決問題。下面我們分別舉例介紹這三種方法。一、對折法“對折法”就是“軸對稱變換法”。這是利用“成軸對稱的兩個圖形是全等的”這一原理，把圖中的一部分或整個圖形，以某一直線為折痕（即對稱軸）翻轉過來，就得到它的全等形。通過這種變換把分散的把較分散的線段、角等集中起來，或者使原有的已知條件擴大，或者使各個幾何量之間的關系明朗化，所以這是個通用的好方法。例1如圖1，在直線MN的同旁有兩點P、Q，試在MN上求一點R，使PR+RQ最短。分析：設R已經求出，那么PRQ是折線。折線是不是最短就要看它“拉直”以后是不是最短。因為“兩點間的距離以連接這兩點所成的線段最短”。把PRQ“拉直”就是線段PQ。很明顯Q是Q關于直線MN為軸的軸對稱點。所以點Q的得到是運用線段最短定理和想象軸對稱移動而悟出的。如圖2，在ABC中，AE是A的平分線，BAC=2B，AB=2AC。求證：C是直角分析：由于1=2，若以角平分線AE為對稱軸把AEC對折，那么AC必落在AB上，C點落在C上。AECAEC，從而ACE=C，所以去證ACE=90即可。而由題設易導出此題的結論。上面兩個例子是利用“對折法”（軸對稱法）去尋找適當?shù)妮o助線，由于添置輔助線后可得到全等形，所以能得到的過渡性的結論是很多的，要結合需要證明的結論，適當選取有用的。二、平移法平移法即平移變換法。顧名思義，其具體做法就是過某點作某線段或直線的平行線，利用平行線性質同位角相等、內錯角相等，或利用平行四邊形諸性質，把有關元素集中起來。如圖3，已知ABC的兩邊AB、AC上的中線分別是BD、CE，若BD=CE求證：AB=AC分析：已知的兩條相等的中線在圖中交叉擺著，我們試把它安排在一個三角形中就比較好考慮，于是設想把其中的一條中線CE平行移動到DF的位置，這樣就成了一個等腰三角形DBF，立即得到1=F=2，從而得到GB=GC，GD=GE。要證BE=CD就簡單了。如圖4，已知等腰梯形ABCD的中位線為EF，對角線AC、BD互相垂直，高為CG。求證：EF=CG分析：這題涉及到的兩對互相垂直的線段“互不相關”，怎樣讓它們“集中”一些呢？因為梯形的中位線等于兩底和的一半，所以可把小底CD沿DB平行移動到大底上，讓“和”體現(xiàn)出來，這樣CAH就成了等腰直角三角形，而高CG就成了斜邊AH上的中線，由EF=（AB+CD）2=（AB+BH）2=AH2及CG=AH2就可以推出結論了。這兩個例子說明利用平行移動方法是集中有關幾何向量的一個便當、直觀的好方法。運用平行移動原理尋找輔助線是常用的重要的方法。三、旋轉法旋轉法是把某一個圖形（常常遇到的是三角形）圍繞某定點（三角形的頂點、平行四邊形的對角線的交點及正多邊形的中心等）作順時針或逆時針的旋轉而得到的新的圖形，這種方法能集中條件，擴大已知，圖形之間易于聯(lián)系、呼應，達到較順利論證的目的。如圖5，D是等腰三角形ABC內的一點，AB=AC,ADBADC求證：DCDB分析：如果想從ABCACB分別減去不等的ABD、ACD從而達到DBCDCB的過渡性的結論是不易的。因為ABD、ACD的不等，不能從已知的兩個不等的角推出，設想把ADB繞著A點旋轉到AEC的位置，這樣ADB就移到AEC位置而變成了AECADC了。再連結D、E，就能得到12，從而34，DCEC了。上面例子添置的輔助線是設想把圖形的某一部分旋轉而獲得的啟發(fā)，在證明中借助這種想象常?？色@得滿意的結果。我們在這里列舉了以上三種方法的幾個例子，要想掌握添置輔助