學(xué)科教育論文-運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)下尋找輔助線的方法小結(jié).doc

學(xué)科教育論文-運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)下尋找輔助線的方法小結(jié)【摘要】本文分析了運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)下尋找輔助線的方法小結(jié)。【關(guān)鍵詞】輔助線方法我們?yōu)榱俗C明或計(jì)算的需要，常常在原來圖形上添畫的線就是輔助線。輔助線有時(shí)不止一條，也不一定是線段或直線，它可能是弧或圓。這就要看證明的需要而定了。對(duì)一個(gè)已知圖形來說，可畫出的輔助圖形是很多的，合適的輔助線可以擴(kuò)大原題的“已知”，從而使原來不大明顯的各個(gè)幾何量之間的關(guān)系明朗起來，從而協(xié)助門推導(dǎo)出結(jié)論。但用不著的就不必畫。畫多了，圖形就顯得復(fù)雜、混亂，反而難證，或雖獲證，但走了彎路。對(duì)大多數(shù)的初學(xué)者來說，尋找輔助線是比較棘手的問題。它的規(guī)律性并不是一成不變的。有的甚至是好幾種方法聯(lián)合使用，所以，比較困難。這里我們將介紹一種行之有效的方法來添加輔助線：用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來觀察圖形，設(shè)想把某一有關(guān)部分的圖形進(jìn)行對(duì)折、平移、旋轉(zhuǎn)，從而巧妙地添出輔助線，有效地解決問題。下面我們分別舉例介紹這三種方法。一、對(duì)折法“對(duì)折法”就是“軸對(duì)稱變換法”。這是利用“成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的”這一原理，把圖中的一部分或整個(gè)圖形，以某一直線為折痕（即對(duì)稱軸）翻轉(zhuǎn)過來，就得到它的全等形。通過這種變換把分散的把較分散的線段、角等集中起來，或者使原有的已知條件擴(kuò)大，或者使各個(gè)幾何量之間的關(guān)系明朗化，所以這是個(gè)通用的好方法。例1如圖1，在直線MN的同旁有兩點(diǎn)P、Q，試在MN上求一點(diǎn)R，使PR+RQ最短。分析：設(shè)R已經(jīng)求出，那么PRQ是折線。折線是不是最短就要看它“拉直”以后是不是最短。因?yàn)椤皟牲c(diǎn)間的距離以連接這兩點(diǎn)所成的線段最短”。把PRQ“拉直”就是線段PQ。很明顯Q是Q關(guān)于直線MN為軸的軸對(duì)稱點(diǎn)。所以點(diǎn)Q的得到是運(yùn)用線段最短定理和想象軸對(duì)稱移動(dòng)而悟出的。如圖2，在ABC中，AE是A的平分線，BAC=2B，AB=2AC。求證：C是直角分析：由于1=2，若以角平分線AE為對(duì)稱軸把AEC對(duì)折，那么AC必落在AB上，C點(diǎn)落在C上。AECAEC，從而ACE=C，所以去證ACE=90即可。而由題設(shè)易導(dǎo)出此題的結(jié)論。上面兩個(gè)例子是利用“對(duì)折法”（軸對(duì)稱法）去尋找適當(dāng)?shù)妮o助線，由于添置輔助線后可得到全等形，所以能得到的過渡性的結(jié)論是很多的，要結(jié)合需要證明的結(jié)論，適當(dāng)選取有用的。二、平移法平移法即平移變換法。顧名思義，其具體做法就是過某點(diǎn)作某線段或直線的平行線，利用平行線性質(zhì)同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等，或利用平行四邊形諸性質(zhì)，把有關(guān)元素集中起來。如圖3，已知ABC的兩邊AB、AC上的中線分別是BD、CE，若BD=CE求證：AB=AC分析：已知的兩條相等的中線在圖中交叉擺著，我們?cè)嚢阉才旁谝粋€(gè)三角形中就比較好考慮，于是設(shè)想把其中的一條中線CE平行移動(dòng)到DF的位置，這樣就成了一個(gè)等腰三角形DBF，立即得到1=F=2，從而得到GB=GC，GD=GE。要證BE=CD就簡(jiǎn)單了。如圖4，已知等腰梯形ABCD的中位線為EF，對(duì)角線AC、BD互相垂直，高為CG。求證：EF=CG分析：這題涉及到的兩對(duì)互相垂直的線段“互不相關(guān)”，怎樣讓它們“集中”一些呢？因?yàn)樘菪蔚闹形痪€等于兩底和的一半，所以可把小底CD沿DB平行移動(dòng)到大底上，讓“和”體現(xiàn)出來，這樣CAH就成了等腰直角三角形，而高CG就成了斜邊AH上的中線，由EF=（AB+CD）2=（AB+BH）2=AH2及CG=AH2就可以推出結(jié)論了。這兩個(gè)例子說明利用平行移動(dòng)方法是集中有關(guān)幾何向量的一個(gè)便當(dāng)、直觀的好方法。運(yùn)用平行移動(dòng)原理尋找輔助線是常用的重要的方法。三、旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法是把某一個(gè)圖形（常常遇到的是三角形）圍繞某定點(diǎn)（三角形的頂點(diǎn)、平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)及正多邊形的中心等）作順時(shí)針或逆時(shí)針的旋轉(zhuǎn)而得到的新的圖形，這種方法能集中條件，擴(kuò)大已知，圖形之間易于聯(lián)系、呼應(yīng)，達(dá)到較順利論證的目的。如圖5，D是等腰三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，AB=AC,ADBADC求證：DCDB分析：如果想從ABCACB分別減去不等的ABD、ACD從而達(dá)到DBCDCB的過渡性的結(jié)論是不易的。因?yàn)锳BD、ACD的不等，不能從已知的兩個(gè)不等的角推出，設(shè)想把ADB繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEC的位置，這樣ADB就移到AEC位置而變成了AECADC了。再連結(jié)D、E，就能得到12，從而34，DCEC了。上面例子添置的輔助線是設(shè)想把圖形的某一部分旋轉(zhuǎn)而獲得的啟發(fā)，在證明中借助這種想象常?？色@得滿意的結(jié)果。我們?cè)谶@里列舉了以上三種方法的幾個(gè)例子，要想掌握添置輔助