《彈性力學基礎》PPT課件.ppt

重慶交通大學,有限元分析 巖土工程數(shù)值計算,主講：翁其能 2009年9月,地質工程專業(yè)課,重慶交通大學,第三章 彈性力學基礎（二）,3.1 平面問題中一點的應力狀態(tài) 3.2 邊界條件 3.3 圣維南原理及應用 3.4 虛功原理 3.5 相容方程 3.6 求解示例（位移、應力） 3.7 常體力情況下的平面問題,重慶交通大學,3.1 平面問題中一點的應力狀態(tài),前面我們介紹了平面問題的三類基本方程：平衡微分方程、幾何方程、物理方程。下面繼續(xù)從平面問題的靜力學方面入手，考察一下平面問題中一點的應力狀態(tài)。,重慶交通大學,x,y,O,P,P,A,B,(a),(b),重慶交通大學,x,y,O,重慶交通大學,x,y,O,令角 ，有,求法向和切向應力,重慶交通大學,設經(jīng)過P點的某一斜面上的切應力為零，,則該斜面上僅有正應力，該正應力稱為P點的一個主應力，而該斜面稱為P點的一個應力主面，該斜面的法線方向（也即主應力的方向）稱為P點的一個應力主向。同時存在另外一個與此方向垂直的應力主向。,重慶交通大學,小 結,物體內的應力是與作用面有關的，前面經(jīng)常提到基本位置函數(shù) ， ， 只是表示一點的 x , y 坐標面上的應力分量。在校核強度條件時，還要求求出通過此點的任一斜面上的應力。斜面上的全應力 p 可以分解為沿坐標方向的分量（ ， ）或沿斜面法向、切向的分量（ ， ）。 1、首先求斜截面應力分量（ ， ）由三角形微分體的平衡條件可得,重慶交通大學,2、分別計算（ ， ）在斜面法向和切向的投影，求得斜面上的正應力和切應力： 3、求出主應力和應力主向（Mohr圓）,重慶交通大學,4、進一步求出最大和最小的正應力和切應力，設 ，則有：,重慶交通大學,本節(jié)內容需重點掌握：,平面問題中一點的應力狀態(tài)及求解；,重慶交通大學,3.2 邊界條件,表示彈性體在邊界上位移與約束、或者應力與面力間的關系式。分為：位移邊界條件，應力邊界條件，混合邊界條件,1、位移邊界條件：如在彈性體部分邊界 上給定約束位移分量 和 ，則對于此邊界上的每一點，位移函數(shù) u 和 v 應該滿足條件 此即平面問題的位移（約束）邊界條件。 特殊地：對于完全固定約束， 則,重慶交通大學,2、應力邊界條件：如在彈性體部分邊界 上給定面力分量 和 ，在邊界上任一點取出一個微分體（見上節(jié)），則根據(jù)微分體平衡條件可以導出應力與面力的關系式。此時，斜面 AB 即相當于邊界，此面上的應力分量 和 對應于面力分量 和 ，而坐標面上的 分別成為應力分量的邊界值，有平衡條件得出平面問題的應力（面力）邊界條件：,其中 和 在邊界上是坐標的已知函數(shù)，l，m 是 邊界面外法線的方向余弦。,重慶交通大學,3.混合邊界條件: 部分位移邊界條件,部分應力邊界條件。,重慶交通大學,q,y,z,y,x,l,h,1,O,O,例:圖示薄板懸梁,試確定邊界條件,重慶交通大學,薄板梁內可視為平面應力狀態(tài),板內各點的應力分量中 由：,重慶交通大學,重慶交通大學,重慶交通大學,補充作業(yè)： 圖示薄板在y方向上受均布拉力作用，試證明：板中突出部分的尖端A點無應力存在。,B,o,C,A,x,y,q,q,提示：不要實際求解應力分量?？煞謩e列出AB邊界和AC上應力分量及其邊界條件，A點為兩邊交界點，須同時滿足兩邊的條件。,n,n,重慶交通大學,重慶交通大學,3.3 圣維南原理及其應用,從前幾節(jié)的學習可以看出，求解彈性力學問題時，應力、形變和位移分量必須滿足區(qū)域內的三套基本方程，還必須滿足邊界上的邊界條件。但是，實際問題中邊界條件往往非常復雜，欲使邊界條件完全得到滿足，往往非常困難。為此，必須進行一定的簡化。,圣維南原理,重慶交通大學,圣維南原理,圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么面力作用點近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。,圣維南原理可以大大簡化局部邊界上的應力邊界條件，為計算帶來了很大便利。,重慶交通大學,F,F,F,F/2,F,F/2,F/2,F/2,F/2,F/2,F,F/A,F/A,應力分析,重慶交通大學,1、不能離開“靜力等效”的條件（力等效、力矩等效）； 2、不僅變換的面力必須與原面力靜力等效，而且只能在局部邊界上進行靜力等效變換。原理中提到的“近處”也是指局部邊界的附近區(qū)域（根據(jù)實際經(jīng)驗，這個區(qū)域一般是變換面力邊界的12倍范圍內，此范圍外可以認為是“遠處”）。 3、圣維南原理指出：在近處范圍內，應力隨面力的變換發(fā)生顯著變化；此范圍外對應力的影響很小，可略。即：在小邊界上進行面力的靜力等效變換，僅僅改變局部區(qū)域的應力分布，對其他大部分區(qū)域的應力沒有顯著影響。,應用圣維南原理必須注意：,重慶交通大學,如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（應力主矢量和主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應力，遠處的應力可以不計。如：,p,p,圣維南原理的推廣（局部影響原理）：,重慶交通大學,y,重慶交通大學,重慶交通大學,O,x,y,h/2,h/2,l,l,M,y,dy,重慶交通大學,虛功原理及虛功方程,圖示一平衡的杠桿，對C點寫力矩平衡方程：,杠桿繞支點轉動，位移位：,則：,上式以功的形式表述：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時，功的總和必須等于零，叫虛功原理,重慶交通大學,虛功原理,進一步分析。當杠桿處于平衡狀態(tài)時， 和 這兩個位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足上式的關系。將這個客觀存在的關系抽象成一個普遍的原理，去指導分析和計算結構。 對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖1-8a中的P A和P B所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因為它本身是平衡的不存在位移)，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?，這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,重慶交通大學,虛功原理,必須指出，虛功原理的應用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個方面，力和位移并不是隨意的。對于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意，當位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該約束力方向的位移應為零，因而該約束力所作的虛功也應為零。 這時該約束力叫做被動力。(如圖1-8中，支點C沒有位移，故反力所作的虛功等于零)。反之，如圖1-8中的P A和P B是在位移過程中作功的力，稱為主動力。因此，在平衡力系中應當分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。,重慶交通大學,虛功原理,虛功原理表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時， 體系上所有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對于零。 虛功原理用公式表示為： 這就是虛功方程，其中P和 相應的代表力和虛位移。,重慶交通大學,彈性體的虛功原理,虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設圖1-8的杠桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內功項出現(xiàn)，而只有外功項。 將虛功原理用于彈性變形時，總功W要包括外力功(T)和內力功(U)兩部分，即： W = T - U ；內力功(-U)前面有一負號，是由于彈性體在變形過程中，內力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內力的方向總是與變形的方向相反，所以內力功取負值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得： T - U = 0 外力虛功T = 內力虛功U 彈性力學中的虛功原理可表達為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個彈性體內應力在虛應變上的虛功(內力功)。,重慶交通大學,彈性體的虛功原理,圖示i點外力分量為 ，j點外力分量為 外力分量用 表示，相應引起的內力分量用 表示,重慶交通大學,重慶交通大學,彈性體的虛功原理,在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功為：,同樣，在虛位移發(fā)生時，彈性體單位體積內，應力在虛應變上的虛功為：,因此，在整個彈性體內，應力在虛應變上的虛功為：,根據(jù)虛功原理：,這就是彈性變形體的虛功議程，通過虛位移和虛應變表明外力與應力之間的關系,重慶交通大學,彈性體的虛功原理,應該指出，在虛位移發(fā)生時，約束力(支座反力)不做功的，因為約束力在其所約束的方向是沒有位移的。但是如果解除了某一個約束，而代之以約束力，那么，在虛位移發(fā)生時，這個約束力就要在相應的虛位移上做虛功，而這個約束力的分量及其相應的虛位移分量就應當作為列矩陣及中的元素進入虛功方程。,重慶交通大學,從幾何方程可知，應變與位移的關系，三個方程、兩個未知量，則方程組存在矛盾的可能。為解決此問題，補充一個方程，這個補充方程可以從幾何方程和物理方程中消去位移分量和形變分量來得到。下面來看一看具體步驟： 首先從幾何方程中消去位移分量。,幾何方程：,（2-16）,3.5、相容方程。,重慶交通大學,對y求 二階導數(shù),對x求 二階導數(shù),+,=,=,(形變協(xié)調方程或相容方程),重慶交通大學,相容方程的意義：在連續(xù)性假定下，物體的變形滿足幾何方程，并且形變分量 不是互相獨立的，它們之間是相關的，必須滿足相容方程給出的條件，才能保證對應的位移分量u和v的存在。如果形變分量 是任意選取的，不滿足相容方程，則根據(jù)三個幾何方程中的任何兩個求出的位移分量必將和第三個方程相矛盾。即：不滿足相容方程的形變分量在物體中不存在，也求不出對應的位移分量。 下面來看一看例子：,重慶交通大學,形變分量為：,顯然該形變分量不滿足相容方程( ),根據(jù)幾何方程： 可知， 應該是一個“y的函數(shù)+x的函數(shù)”的形式，不應該含xy項，這和 相矛盾。,僅為y的函數(shù),僅為x的函數(shù),驗證其是否滿足相容方程,重慶交通大學,相容方程 是用應變分量表達的，下面我們把物理方程代入上式，從中消去形變分量，得到用應力分量表達的相容方程。對于平面應力問題，物理方程為：,將其代入相容方程得：,用應力表達的相容方程。,重慶交通大學,應用平衡方程可以將上式進一步簡化：消去,重慶交通大學,得到以下方程：,上式即為用應力表示的相容方程。,以上的推導過程是針對平面應力問題進行的，對于平面應變問題，只須做如下變換：,，,即可得到平面應變情況下的應力相容方程：,重慶交通大學,相容方程的物理意義可以從以下兩個方面說明： 1、相容方程是連續(xù)體中位移連續(xù)性的必然結果。在物體的連續(xù)性假定下，位移分量u和v必然是連續(xù)的，由此可以導出幾何方程，并進一步導出相容方程。 2、相容方程是形變對應的位移存在且連續(xù)的必要條件。當形變分量滿足了相容方程后，我們就能求出對應的位移分量，也就是說，對應的位移存在而且必然連續(xù)。反之，不滿足相容方程的形變分量，不是物體中實際存在的，也求不出對應的位移。定性地說就是：在變形前，物體內各微分體之間是連續(xù)的。在變形后，各微分體都發(fā)生了變形，只有當形變分量滿足相容方程的情況下，各微分體才能保持連續(xù)，既不互相重疊，也不互相脫離。下面我們從一個結構力學中的例子來理解一下這個含義。,重慶交通大學,1,2,3,圖中三個連桿在變形前共同鉸接于 點。受力后發(fā)生變形，必然在 繼續(xù)保持共點，也就是說，三根桿之間的形變之間必須保持協(xié)調。,重慶交通大學,本節(jié)內容需重點掌握：,1、圣維南原理的內容、應用圣維南原理時必須注意的問題。,2、虛功原理。,3、相容方程的意義，判斷應變分量是否滿足相容方程,重慶交通大學,作業(yè) 驗證下面的應變分量是否可能發(fā)生：,式中a為常數(shù),重慶交通大學,1、位移法（按位移求解）取位移分量為基本未知量(函數(shù))，從各方程和邊界條件中消去應力和形變分量，導出只含有位移分量的方程(函數(shù))和邊界條件。由此解出位移分量，并進而求出形變分量和應力分量。（類似于結構力學中的位移法）,2、應力法（按應力求解）取應力分量為基本未知函數(shù)，從各方程和邊界條件中消去位移和形變分量，導出只含有應力分量的基本方程和邊界條件。由此解出應力分量，并進而求出形變分量和位移分量。 （類似于結構力學中的力法）,平面問題的求解方法分為兩大類,重慶交通大學,2、平面問題基本方程：,平衡微分方程：,幾何方程：,物理方程：,重慶交通大學,平面問題中共有8個未知函數(shù)：3個應力分量、3個形變分量、2個位移分量。它們必須滿足彈性體區(qū)域內的平衡微分方程、幾何方程、物理方程以及邊界上的應力或位移邊界條件。,應力邊界條件：,位移邊界條件：,重慶交通大學,下面以平面應力問題為例，看一看按位移求解的基本步驟。 1、取u和v為基本未知函數(shù)。 2、將其他未知函數(shù)用基本未知函數(shù)u和v表示。 首先，直接采用幾何方程將形變分量用u和v表示。 其次，將應力分量用u和v表示。這一過程可分兩步：先用物理方程將應力分量用形變分量來表示。即,3.6 按位移求解平面問題,重慶交通大學,將幾何方程代入上式，將應力分量進一步用u和v來表示。即,重慶交通大學,重慶交通大學,3、將用位移分量表示的應力分量代入?yún)^(qū)域內的平衡微分方程，得到用位移分量表示的平衡微分方程：,在 上的位移邊界條件仍然表示為：,重慶交通大學,4、將用位移分量表示的應力分量代入 上的應力邊界條件，得到用位移分量表示的應力邊界條件：,在 上的位移邊界條件仍然表示為：,重慶交通大學,歸納起來講，平面應力問題按位移求解方法，就是要使位移分量u和v滿足區(qū)域內的平衡微分方程，并在邊界 上滿足應力邊界條件，在 上滿足位移邊界條件。解出位移分量后，在根據(jù)幾何方程求出形變分量，進而根據(jù)物理方程求出應力分量。,平面應變問題步驟類似，只須做簡單變換：,，,位移法是彈性力學的一種基本解法，能適應各種邊界條件問題的求解。但由于用位移分量表示的基本方程和邊界條件形式比較復雜，因此求解較為困難，已經(jīng)得出的函數(shù)解答很少。,重慶交通大學,y,O,x,h,例題：上端為固定,下端為自由,受自重體力:,例題求解：本例問題可簡化為y方向上的一維問題，設：u=0,v=v(y),泊松比=0，代入位移分量表示的平衡方程：,重慶交通大學,y,O,x,h,例題求解：本例問題可簡化為y方向上的一維問題，設：u=0,v=v(y),泊松比=0，代入位移分量表示的平衡方程：,第一式自然滿足，由第二式得：,上邊：,下邊：,由物理方程得,重慶交通大學,y,O,x,h,上邊：,下邊：,重慶交通大學,3.7 按應力求解平面問題,按應力求解的方法，我們仍以平面應力問題為例（對于平面應變問題，只需將E,作簡單變換即可）闡述其基本步驟： 1、取 和 為基本未知函數(shù)。 2、將其他未知函數(shù)用應力表示。形變分量可通過物理方程用應力來表示，再由形變分量求解位移分量。這是一個積分過程，因此，位移分量用應力分量表示的公式一般含有積分帶來的未定項，形式比較復雜。這就使得位移邊界條件用應力分量來表示時既復雜又難以求解。因此，再按應力求解彈性力學問題時，我們通常只考慮全部為應力邊界條件的問題。,重慶交通大學,兩個平衡微分方程中只包含應力分量，可以作為求解應力的分量。但應力分量有三個，方程只有兩個，還缺少一個方程。這個補充方程可以從幾何方程和物理方程中消去位移分量和形變分量來得到。就是變形協(xié)調方程或相容方程。,3、在彈性體區(qū)域內導出求解應力的基本方程,重慶交通大學,應用平衡方程可以將上式進一步簡化：消去,重慶交通大學,得到以下方程：,上式即為用應力表示的相容方程。,以上的推導過程是針對平面應力問題進行的，對于平面應變問題，只須做如下變換：,，,即可得到平面應變情況下的應力相容方程：,重慶交通大學,4、應力邊界條件。如果全部邊界上均為應力邊界條件，則有：,重慶交通大學,2、按應力求解平面問題（平面應力問題），取應力分量 和 為基本未知函數(shù)，且應力分量必須滿足下列全部條件： (1) 平衡微分方程,(2) 相容方程,(4) 若為多連體，還須滿足位移單值條件。,(3) 應力邊界條件(假設全部為應力邊界條件),重慶交通大學,單連體,多連體,重慶交通大學,小 結,1、按位移求解平面問題（平面應力問題），取位移分量u和 v為基本未知函數(shù)，u和 v 必須滿足下列全部條件： (1)用位移表示的平衡微分方程,(2)用位移表示的應力邊界條件,(3)位移邊界條件：,重慶交通大學,2、按應力求解平面問題（平面應力問題），取應力分量 和 為基本未知函數(shù)，且應力分量必須滿足下列全部條件： (1) 平衡微分方程,(2) 相容方程,(4) 若為多連體，還須滿足位移單值條件。,(3) 應力邊界條件(假設全部為應力邊界條件),重慶交通大學,本節(jié)需重點掌握的內容：,1、按位移求解平面問題的步驟及基本未知函 數(shù)須滿足的條件；,2、按應力求解平面問題的步驟及基本未知函 數(shù)須滿足的條件。,重慶交通大學,3.7 常體力情況下的簡化應力函數(shù),重慶交通大學,3.7 常體力情況下的簡化應力函數(shù),在很多的工程問題中，體力為常量，即體力分量 和 不隨坐標 x 和 y 而變化。例如重力和常加速度下平行移動時的慣性力，就是常見的常量體力。在體力為常量的情況下，彈性力學問題的求解可以得到大大簡化。 在介紹本節(jié)內容之前，為了便于理解，我們把前面幾節(jié)學過的彈性力學平面問題的基本方程、邊界條件等知識再簡單回顧一下。,重慶交通大學,2、按應力求解平面問題（平面應力問題），取應力分量 和 為基本未知函數(shù)，且應力分量必須滿足下列全部條件： (1) 平衡微分方程,(2) 相容方程,(4) 若為多連體，還須滿足位移單值條件。,(3) 應力邊界條件(假設全部為應力邊界條件),重慶交通大學,5、按應力求解時的相容方程（形變協(xié)調方程）,（2-21）,（二）平面應變問題,（2-22）,（一）平面應力問題,重慶交通大學,常體力情況下的簡化,在常體力情況下，相容方程（2-21）和（2-22）的右邊成為零，因此兩種平面問題的相容方程都簡化為,即：在常體力情況下， 應當滿足拉普拉斯微分方程即調和方程，也就是說， 應當是調和 函數(shù)。為了書寫方便，以下用記號 代表 ，則上式可簡寫為,（2-23）,重慶交通大學,考察平面問題的平衡微分方程、相容方程和應力邊界條件可以看出，在體力為常量的情況下，上述各式中都不包含彈性常數(shù)，因而以上方程和邊界條件對于兩種平面問題都是相同的。,因此可以得出如下結論：,當體力為常量時，在單連體的應力邊界問題中，如果兩個彈性體具有相同的邊界形狀，并受到同樣分布的外力作用，那么，不管這兩個彈性體的材料是否相同，也不管它們是在平面應力情況下還是在平面應變情況下，應力分量 和 的分布是相同的。,注意：兩種平面問題中的應力分量 、以及形變和位移卻不一定相同。,重慶交通大學,根據(jù)以上結論，如果物體邊界相同且受同樣外力作用，則：,2、針對平面應力問題而求出的應力分量同樣也適用于平面應變問題。,1、由某種材料構成的物體求出的應力分量同樣也適用于其他材料構成的物體；,上述特點給彈性力學試驗應力分析及其在工程上的應用帶來了極大的便利和經(jīng)濟效益。比如：在用實驗方法量測結構或構件的應力分量時，可以用便于加工和量測的材料來制造模型，以代替原來不便于加工和量測的材料；也可用低廉的材料代替昂貴的材料。又如，我們還可以用平面應力情況下的薄板模型來代替平面應變情況下的長柱形結構或構件。,重慶交通大學,光彈試驗示意圖,重慶交通大學,由以上討論可見，在體力為常量的情況下，按應力求解應力邊界問題時，應力分量 和 應當滿足平衡微分方程,（a）,以及相容方程,（b）,在邊界上滿足應力邊界條件。多連體須滿足位移單值條件。,重慶交通大學,平衡微分方程（a）是一個非齊次微分方程組，由高等數(shù)學知識可知，該方程組的解答包含兩部分：任意一個特解 + 對應的齊次微分方程組的通解。,特解可取: , ,或者: , ,或者: ,重慶交通大學,（c）,對應的齊次方程為:,彈性力學問題中偏微分方程組的求解一般都很復雜，英國數(shù)學家艾里對此進行了研究，給出了一種簡化的解法。,重慶交通大學,艾里（G.B.Airy） （1801-1892） 英國數(shù)學家、天文學家 1862年，發(fā)表了關于彈性力學的平面理論，提出了應力函數(shù)解法。,重慶交通大學,求解: 設函數(shù) ,根據(jù)微分方程理論，在二階混合偏導數(shù)連續(xù)的條件下,該函數(shù)對 x , y 的二階混合偏導數(shù)具有相容性，即,求導結果與求導次序無關。,根據(jù)這一性質，假如函數(shù)C和D滿足: 則一定存在某一函數(shù) f ，使得 ,重慶交通大學,將齊次微分方程組（c）的第一個方程改寫為,由上述分析可知，一定存在某一個函數(shù) ，使得下面兩式成立 ，,同理，將齊次微分方程組的第二個方程改寫為,則一定也存在某一個函數(shù) ，使得 ，,重慶交通大學,考察方框內公式，可以很顯然得到：,再次應用偏導數(shù)的相容性 必然存在某個函 數(shù) ，使得,重慶交通大學,將A、B代回 、 、 的表達式可得：,重慶交通大學,將A、B代回 、 、 的表達式可得：,齊次方程的通解,，,，,將此通解與任一組特解相疊加，即得到平衡微分方程的全解：,，,，,重慶交通大學,這里的函數(shù) 稱為平面問題的應力函數(shù)，又稱為艾里應力函數(shù)（Airy stress function ） 艾里在1862年首先提出這個概念。 由于上述全解是從平衡微分方程得出的解答，所以必然滿足該方程。同時，推導全解的過程本身也證明了應力函數(shù) 的存在性。特別需要指出的是，雖然應力函數(shù) 依然是一個待定的未知函數(shù)，但是三個應力分量 ， 和 用 來表示后，可以使平面問題的求解得到很大的簡化：待求的未知函數(shù)從3個變?yōu)?個，并從求解應力分量 ， 和 變換為求解應力函數(shù) 。,重慶交通大學,應力函數(shù)應滿足的條件,全解中所表示的應力分量應該滿足相容方程：,將 的應力函數(shù)表達代入上式得：,常量,重慶交通大學,進一步簡化：,上式即為應力函數(shù)表示的相容方程。從中可看出：應力函數(shù)應當滿足重調和方程，也就是說，它是重調和函數(shù)。,綜上所述，在常體力的情況下，彈性力學平面問題中存在著一個應力函數(shù) 。按應力求解平面問題，可以歸納為求解一個應力函數(shù) ，并使其滿足以下條件:,(1) 區(qū)域內的相容方程；,(3) 對于多連體，還必須滿足位移單值條件。,(2) 邊界上的應力邊界條件(設全部為應力邊界條件)；,重慶交通大學,應力函數(shù)表示的相容方程,重慶交通大學,小 結,1、常體力情況下，相容方程簡化為（調和方程）,2、如果滿足以下三個條件： （1）體力為常量； （2）邊界形狀相同且均為應力邊界條件（無位移條件）； （3）彈性體為單連體（位移單值條件自然滿足）。 則求解應力分量 和 的平衡微分方程、相容方程、應力邊界條件中均不包含任何彈性常數(shù)，得出的應力分量與彈性常數(shù)無關。這一特點帶來了