A1(56)極限運(yùn)算法則、存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限.ppt

5. 極限運(yùn)算法則,一、無(wú)窮小的運(yùn)算法則,定理 1.,有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小。,（證略）,說(shuō)明：,(1) 和 指 代數(shù)和。,(2) 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的和不一定是無(wú)窮小。,定理 2.,有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。,推理1.,常數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小。,推理2.,有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。,例：,？, “ 不定型 ”,一般：,二、 極限的四則運(yùn)算法則,(P. 43 45 定理3，推論1，2),若 lim f (x) = A , lim g (x) = B 存在，,則 (1) lim f (x) g (x) ,= lim f (x) lim g (x) = A + B.,(2) lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x) = AB,C:常數(shù),對(duì)數(shù)列 xn , yn 有類似運(yùn)算規(guī)律 ( 定理4 ),補(bǔ)定理5 例題討論,例1：,設(shè)多項(xiàng)式,解：,同理，設(shè)有理分式函數(shù),P(x),Q(x)均為多項(xiàng)式，Q(x0) 0,例2：,分子分母同除 x2:,例3：,(分母為無(wú)窮小,分子極限為常數(shù)),(分子分母均為無(wú)窮小),例4：,例5：,例6：,？,例7：,同除 x :,例8：,同除 e x :, 不定型,例9：,例10：,定理 6.,( 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 ),( 證略 ),例1：,例2：,例3：,一般：, 冪指函數(shù), 不定型,課外作業(yè),習(xí)題 1 -5,習(xí)題 1 - 5 (B),1（雙），2，4,1(雙數(shù))，2(雙數(shù))，3(單數(shù))，4（雙數(shù)）,6. 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限,準(zhǔn)則 I .（夾逼定理）,證：,同時(shí)成立，即,例題討論,例：求下列極限：,1.,解：,0,0,則,2.,解：,推廣到函數(shù)極限，相應(yīng)有,準(zhǔn)則 I .,以下用此準(zhǔn)則證明兩個(gè)重要極限之一,重要極限(1),證：,作單位圓如圖，,AOB = x,x,顯然：,O,B,C,D,A,兩邊同除 sinx :,1,1,= 1.,重要極限（1）,例題討論,求下列極限：,= 1.,= 5 .,= 1.,令 u = arcsin x ,準(zhǔn)則 II .,單調(diào)有界數(shù)列必有極限。,注意：,單調(diào)有界是數(shù)列收斂的充分條件，,但非必要條件。,以下用此準(zhǔn)則證明兩個(gè)重要極限之一,（證略）,(2) 重要極限,證：,先證明,顯然 yn 1,yn ,又 y1 = 4 , yn 為單調(diào)有界數(shù)列，,由準(zhǔn)則 II，,記其極限值 2.71828 ,= e,又由夾逼定理，,注意：它們的類型都是 “ 1 ” 型。,例題討論,1 . 求下列極限：,同理：,2. 利用準(zhǔn)則 II 證明:,并求此極限值。,證：,即證數(shù)列 xn :,單調(diào)有界，,由數(shù)學(xué)歸納法：,即數(shù)列 xn 有界；,現(xiàn)證 xn - xn-1 0:,由準(zhǔn)則 II ，,課堂練習(xí),