D34隱函數(shù)、參數(shù)方程的求導.ppt

,3.4,3. 4. 1 隱函數(shù)的導數(shù),3. 4. 2 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,隱函數(shù)和參數(shù)方程求導,第 3 章,3. 4.隱函數(shù)的微分法,設方程,若存在函數(shù),稱形如,表示的函數(shù)為顯函數(shù) 。,例如：,就確定了一個顯函數(shù),也確定 y 是 x 的函數(shù) ，,但此隱函數(shù)是不能被顯化的 。,確定了區(qū)間 I,則稱,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,成立,1.隱函數(shù)的概念,使得,里的一個隱函數(shù) ；,方程,方程,若從方程,中能求解出函數(shù)：,或,則稱該隱函數(shù)可以被顯化。,但要提請注意的是：并非隱函數(shù)均可被顯化。,再如：,2. 隱函數(shù)的求導法則,設方程,的方程；,方法：,等式兩邊對自變量求導”,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,“視一個變量是另一變量的函數(shù)，,其結果可能仍是含導數(shù),方法：,用微分的法則對等式兩邊各變量微分”,“兩個變量視為同等地位，,的方程，,其結果是含微分,再從方程中解得,即可。,確定了一個函數(shù),例 1.,在 x = 0 處的導數(shù),解:,得,因 x = 0 時 y = 0 , 故,確定的隱函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,求由方程,方程兩邊對 x 求導（視 y 為 x 的函數(shù)）,例 2 .,在點,處的切線方程。,解:,故切線方程為：,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,求橢圓,橢圓方程兩邊對 x 求導（視 y 為 x 的函數(shù)）,例 3.,求,解:,注意 目錄 上頁 下頁 返回 結束,由此得：,設,利用一階微分形式不變性， 等式兩邊求微分得,例 4.,的導數(shù) 。,解:,兩邊對 x 求導,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,求函數(shù),兩邊取對數(shù) , 化為隱式：,因此，,1) 對冪指函數(shù),可用對數(shù)求導法求導 :,說明:,注意:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導法求導很方便 .,例如:,兩邊取對數(shù),兩邊對 x 求導,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,均為常數(shù),又如:,對 x 求導,兩邊取對數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3.4.2 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù),設參數(shù)方程,確定了變量 y 與變量x 的函數(shù)關系，,均可導，,則當,時，,時，,(此時，視 x 為 y 的函數(shù) ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,且,有：,有,例 5.,確定了函 數(shù),求,解:,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,設由方程,方程組兩邊對 t 求導 , 得, 求,解：,例 6.,方程組兩邊同時對 t 求導， 得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,設,例7.,求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向？,解:,速度的水平分量為：,垂直分量為：,故拋射體速度大小,再求速度方向,(即軌跡的切線方向):,設 為切線傾角，,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,設拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為：,先求速度大小:,拋射體軌跡的參數(shù)方程：,速度的水平分量：,垂直分量：,在剛射出 (即 t = 0 )時，,達到最高點的時刻：,高度,落地時刻：,拋射最遠距離,速度的方向：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,傾角為,求螺旋線,在,時所對應點處的切線方程？,解:,當,時所對應點為：,其斜率, 切線方程為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例 8.,化極坐標方程為參數(shù)方程：,內(nèi)容小結,1. 隱函數(shù)求導法則,直接對方程兩邊求導；,2. 對數(shù)求導法 :,適用于冪指函數(shù)及某些用連乘, 連除表示的函數(shù),3. 參數(shù)方程求導法,極坐標方程求導,轉(zhuǎn)化,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,直接對方程兩邊求微分；,?,例7. 設, 且,求,解:,練習: P111 題8(1),解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 設,求,提示: 分別用對數(shù)微分法求,答案:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 設,由方程,確定 ,解:,方程兩邊對 x 求導,得,再求導, 得,當,時,故由 得,再代入 得,求,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,作業(yè),P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12,第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,求其反函數(shù)的導數(shù) .,解:,方法1,方法2,等式兩邊同時對