自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.ppt

第3章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,引言 物理系統(tǒng)的建模系統(tǒng)的微分方程 傳遞函數(shù)及其圖形表示法（框圖） 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 自動控制系統(tǒng)的框圖（結(jié)構(gòu)圖） 框圖的等效變換，化簡和系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),引言研究自動控制系統(tǒng)的方法與目的,實(shí)際控制系統(tǒng),實(shí)際系統(tǒng)的組成框圖,建立各組成工作框的數(shù)學(xué)模型,系統(tǒng)穩(wěn)定性,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性,系統(tǒng)動態(tài)性,找出改進(jìn)系統(tǒng)的有效方法,應(yīng)用,分析研究,系統(tǒng)建模,搞清系統(tǒng)的工作原理,建立實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)過程中最為重要的一項(xiàng)工作。 對控制系統(tǒng)的研究在很大程度上依賴于應(yīng)用數(shù)學(xué)對系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的分析和研究。 在經(jīng)典自動控制理論中，自動控制系統(tǒng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)是建立在拉氏變換的基礎(chǔ)上的。,3.1 系統(tǒng)的微分方程,描述一個控制系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的關(guān)系的最直接的數(shù)學(xué)方法是列寫系統(tǒng)的微分方程（Differential Equation of Systems）。當(dāng)系統(tǒng)的輸入量和輸出量都是時(shí)間t的函數(shù)時(shí)，其微分方程可以確切地描述系統(tǒng)的運(yùn)動過程。微分方程是系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型。 自動控制系統(tǒng)的組成可以是電氣的，機(jī)械的，液壓的，氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同的即微分方程。,建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟,全面了解系統(tǒng)的工作原理、結(jié)構(gòu)組成和支配系統(tǒng)運(yùn)動的物理規(guī)律，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。 一般從系統(tǒng)的輸入端開始，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，依次列寫它們的微分方程。 將各元件或環(huán)節(jié)的微分方程聯(lián)立起來消去中間變量，求取一個僅含有系統(tǒng)的輸入量和輸出量的微分方程，它就是系統(tǒng)的微分方程。 將該方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。即把與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，把與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊，各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，并將方程中的系數(shù)化為具有一定物理意義的表示形式，如時(shí)間常數(shù)等。,一階電路數(shù)學(xué)模型的建立,根據(jù)KVL，有：,把它們代入電路方程，可得到該一階RC電路輸入與 輸出信號間的的微分方程：,和,再根據(jù)歐姆定律及電容元件上 的電壓電流的約束關(guān)系，有：,我們?nèi)‰娙輧啥说碾妷簽樵撘浑ARC電路的輸出電壓,模擬電路數(shù)學(xué)模型的建立,解決這個問題的方法是：先將模擬電路按放大 器的個數(shù)及輸入輸出關(guān)系分開；然后一級一級 地寫出其各自的電路方程；最后再找出其總的 輸入與輸出之間的關(guān)系。,利用虛短 的概念，可知：,由虛斷 的概念，可得：,又因?yàn)椋?，所以代入上面相關(guān)的等式可得：,對上式兩邊求導(dǎo)，可得：,現(xiàn)在，我們將 代入上面所求，在消去中間變量 之后有：,這是一個點(diǎn)型的反相比例運(yùn) 算放大器，由反相比例運(yùn)算 公式可得：,一個簡單的機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,這是一個彈簧質(zhì)量阻尼器的機(jī)械位 移系統(tǒng)。質(zhì)量為m的物體在外力F（t） 的作用下，移動了x（t）距離。,F1(t),F2(t),由牛頓運(yùn)動定律可得：,3.2 傳遞函數(shù),傳遞函數(shù)是在用拉氏（Laplace）變換求解微分方程的過程中引申出來的概念。微分方程這一數(shù)學(xué)模型不僅計(jì)算麻煩，并且它所表示的輸入、輸出之間的關(guān)系復(fù)雜而不明顯。 經(jīng)過拉氏變換后，微分方程變成了一種代數(shù)方程，可以進(jìn)行簡單的代數(shù)運(yùn)算。 如果用簡單的代數(shù)比值描述系統(tǒng)輸入、輸出之間關(guān)系，就建立了所謂傳遞函數(shù)這一系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,一般來說：如果系統(tǒng)的輸入量為r (t)， 輸出量為c (t)， 并且系統(tǒng)可以由下列微分方程描述:,則在初始條件為零時(shí)，對方程兩邊進(jìn)行拉氏變換, 可得：,提出公因式，有：,整理，得：,因此，傳遞函數(shù)的定義可為：在初始條件為零時(shí)，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。即：,初始條件為零，是指輸入量在t=0時(shí)刻以后才作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入量和輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t0時(shí)的值也均為零。,式中：K為常數(shù),稱系統(tǒng)的增益；Z1 為分子多項(xiàng)式的根,稱為零點(diǎn)；P1為分母的根,稱為極點(diǎn)。零點(diǎn)與極點(diǎn)可為實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)(若為虛數(shù)或復(fù)數(shù),則必為共軛虛數(shù)或共軛復(fù)數(shù))。,傳遞函數(shù)的性質(zhì),傳遞函數(shù)和微分方程之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。 傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，它代表了系統(tǒng)的固有特性，是一種數(shù)學(xué)模型，稱為系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域模型。 傳遞函數(shù)是一種運(yùn)算函數(shù)。由 可得 傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式 ，即為微分方程的特征方程。 傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，因此對不同的物理模型，它們可以有相同的傳遞函數(shù)。反之，對同一個物理模型(系統(tǒng)和元件)，若選取不同的輸入量和輸出量，則傳遞函數(shù)將是不同的。,3.3 傳遞函數(shù)的圖形表示法框圖,框圖（Block Diagram）:是傳遞函數(shù)的一種圖形表示方法，它可以形象地描述由傳遞函數(shù)定義的系統(tǒng)輸出與輸入之間的關(guān)系。尤其是當(dāng)自動控制系統(tǒng)由幾個環(huán)節(jié)組成時(shí)，這種圖形表示更具有簡明直觀、運(yùn)算方便的優(yōu)點(diǎn)，所以在自動控制系統(tǒng)的分析中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。,G（S）,R（S）,C（S）,圖形表示法：,根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，以上圖形表示的數(shù)學(xué)含義為：,功能框,信號線，其中的 箭頭表示了信號 的流向,用傳遞函數(shù)建立電路系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型阻抗分析法,由電路基礎(chǔ)，我們知道電路系統(tǒng)中只有三種電路基本無件，它們是：電阻元件、電容元件和電感元件。而任一電路無論其多么復(fù)雜，都可以看成是這三種基本元件通過不同的連接方式組合而成。因此利用這三種元件的基本伏安特性關(guān)系，我們可以推導(dǎo)出它們在復(fù)平面（s域）上的基本傳遞函數(shù)表達(dá)式，而這種傳遞函數(shù)表達(dá)式就被稱為是傳遞函數(shù)的阻抗表達(dá)式。,例：求下列電路的傳遞函數(shù),解：由于電路中的各元件 都是復(fù)數(shù)阻抗法，所以利 用簡單的串并聯(lián)關(guān)系及串 聯(lián)分壓定理就可以得到：,利用阻抗法建立復(fù)平面上的電路模型,整理后，得：,例：求下列電路的傳遞函數(shù),解：利用阻抗法建立復(fù)平面上的電路模型,利用虛斷及虛短的概念，可知：,因?yàn)椋?所以有：,整理后，得：,3.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和功能框,比例環(huán)節(jié)(Proportional Element)：也稱為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的微分方程為：,式中k是常數(shù)，稱為增益或放大系數(shù)。因此對上式 兩邊取Laplace變換后的傳遞函數(shù)及框圖為：,k,C (s),R (s),任何一個復(fù)雜的系統(tǒng)，總可以看成是由一些典型環(huán)節(jié)通過一定的方式連接而成。因此掌握這些典型環(huán)節(jié)的特點(diǎn)，可以更方便地分析實(shí)際的自動控制系統(tǒng)。,積分環(huán)節(jié)(Integral Element):輸出量是輸入量對時(shí)間的積分。其微分方程為：,式中T是積分時(shí)間常數(shù)。因此對上式兩邊取Laplace 變換后的傳遞函數(shù)及框圖為：,慣性環(huán)節(jié)(Inertial Element):其微分方程為：,式中T是慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，因此對上式兩邊取 Laplace變換后的傳遞函數(shù)及框圖為：,比例微分環(huán)節(jié)(Derivative Element):輸出量是輸入量對時(shí)間的積分。其微分方程為：,C (s),R (s),式中, 為微分時(shí)間常數(shù)。比例微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)恰與慣性環(huán)節(jié)相反，互為倒數(shù)。,振蕩環(huán)節(jié)(Oscillating Element):其微分方程為：,式中T是振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，因此對上式兩邊取 Laplace變換后的傳遞函數(shù)：,C (s),R (s),為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比,為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然頻率,若令：,，則上式可化成：,其中：,延遲環(huán)節(jié)(Delay Time):輸出量與輸入量的變化形式相同，但時(shí)間上會延遲一段時(shí)間 ，所以又稱為純滯后環(huán)節(jié)，其時(shí)域方程為：,式中 是純延遲時(shí)間，因此由拉氏變換的延遲定理 可得：,C (s),R (s),當(dāng) 很小時(shí)，延遲環(huán)節(jié)可近似為一慣性環(huán)節(jié)：,直流他勵電機(jī),晶閘管整流裝置,給定電壓,3.5 自動控制系統(tǒng)的框圖,實(shí)例：V-M直流調(diào)速系統(tǒng)中的典型環(huán)節(jié)及框圖,系統(tǒng)組 成框圖,M-V直流調(diào)速系統(tǒng)的組成框圖,系統(tǒng)框圖的物理含義,系統(tǒng)框圖是一種形象化的數(shù)學(xué)模型，它之所以重要，是因?yàn)樗逦鴩?yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)了系統(tǒng)內(nèi)部各單元在系統(tǒng)中所處的地位與作用，表達(dá)了各單元之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以使我們更直觀地理解它所表達(dá)的物理含義。,首先是列出系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的的傳遞函數(shù)，再將各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)用圖形功能框表示出來。 在各環(huán)節(jié)功能框的基礎(chǔ)上，先確定系統(tǒng)的給定量(輸入量)和輸出量，然后從給定量開始，由左至右，根據(jù)信號間相互傳遞的順序，依次將各個功能框連接起來，直至得出所需要的輸出量。 然后由內(nèi)到外，畫出各反饋環(huán)節(jié)，最后在圖上標(biāo)明輸入量、輸出量、擾動量和各中間參變量。 這樣就可以得到整個控制系統(tǒng)的框圖。,系統(tǒng)框圖的畫法,功能框：框左邊向內(nèi)箭頭為輸入量（拉氏式）， 框右邊向外箭頭為輸出量（拉氏式）， 框內(nèi)為系統(tǒng)中相對獨(dú)立單元的傳遞函數(shù)G (s)。它們一起共同反映了系統(tǒng)輸入信號與輸出信號之間的關(guān)系。即：,代數(shù)表示法,圖形表示法,從功能框圖上，可以很容易看到這個方框與其兩邊信 號之間的關(guān)系，即：,框圖的構(gòu)成要素,信號線：表示信號流通的路徑和方向，流通方向用箭頭表示。在系統(tǒng)的前向通路中，箭頭指向右方，信號由左向右流通。 在反饋通路中，箭頭指向左方，信號由右向左流通。因此輸入信號在最左端，出信號在最右端。 引出點(diǎn)：表示信號由該點(diǎn)取出。 從同一信號線上取出的信號， 其大小和性質(zhì)完全相同。,引出點(diǎn),R（S）,B（S）,E（S）=R（S）- B（S）,-,+,比較點(diǎn)：又稱和點(diǎn)（Summing Point）， 其輸出 量為各輸入量的代數(shù)和。因此在信號輸入處要注 明它們的極性。,R（S）,B（S）,E（S）=R（S）+ B（S）,+,+,圖3-3 一個典型自動控制系統(tǒng)框圖結(jié)構(gòu),例:求出此模擬控制電路的系統(tǒng)框圖,由給定的模擬控制電路系統(tǒng)原理圖繪制該系統(tǒng)的組成框 圖，并通過瞬時(shí)極性法確定反饋類型。,綜合點(diǎn),引出點(diǎn),由于此模擬電路各環(huán)節(jié)都為典型環(huán)節(jié),所以可以利用書中典型環(huán)節(jié)的示例來求其傳遞函數(shù)；當(dāng)然也可以利用阻抗法來求出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。,此電路為一積分環(huán)節(jié)，但由于輸入端為信號 和信號 的疊加，所以利用疊加原理的傳遞函數(shù)，可知：,1、當(dāng) 單獨(dú)作用時(shí)，令,由典型積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，可得：,這里要注意疊加定理的應(yīng)用,利用疊加原理：,2、當(dāng) 單獨(dú)作用時(shí)，令,-,+,框圖：,，并考慮,到運(yùn)算放大器的瞬時(shí)極性,此電路為一比例環(huán)節(jié)，利用典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，可知：,考慮到運(yùn)算放大器的瞬時(shí)極性并代入?yún)?shù)，則有：,框圖:,此電路為一慣性環(huán)節(jié)，利用典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，可知：,考慮到運(yùn)算放大器的瞬時(shí)極性并代入?yún)?shù)，則有：,框圖：,從輸入端開始，按信號流向依次將各環(huán)節(jié)連接成一個整體，則有系統(tǒng)方框圖如下圖所示：,3.6 框圖的變換、化簡和系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取,框圖的等效變換規(guī)則,1.串聯(lián)變換規(guī)則 當(dāng)系統(tǒng)中有兩個(或兩個以上)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其等效傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。即：,對照圖a和b可見，變換前后的輸入量與輸出量都相等，因此a、b兩圖等效。,2.并聯(lián)變換規(guī)則 當(dāng)系統(tǒng)中有兩個(或兩個以上)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)，其等效傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。即,對照圖a與b不難看出，變換前后的輸入量與輸出量都相等，因此a、b兩圖等效。,3.反饋聯(lián)接變換規(guī)則 反饋聯(lián)接的框圖的變換如圖a和b所示。,由圖a可見,由前面三個關(guān)系式，消去中間變量E（s）和B（s），可得：,式中： 前向通道的傳遞函數(shù)； 反饋通道的傳遞函數(shù)； 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； 閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 上式即為反饋聯(lián)接的等效傳遞函數(shù)，一般稱它為閉環(huán)傳遞函數(shù)，以 表示。式中分母中的加號，對應(yīng)于負(fù)反饋；減號對應(yīng)于正反饋。,4.引出點(diǎn)和比較點(diǎn)的移動規(guī)則 移動規(guī)則的出發(fā)點(diǎn)是等效原則，即移動前后的輸入量與輸出量保持不變。移動前后框圖的對照表-所示。,例：交叉反饋系統(tǒng)的化簡,根據(jù)研究目的確定系統(tǒng)的輸入和輸出。輸入、輸出確定后，從輸入至輸出的通道就成為前向通道。 將由串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接所組成和各個的環(huán)節(jié)由等效環(huán)節(jié)代替。 把閉環(huán)系統(tǒng)簡化成最基本的方框圖形式， 并求出其總的傳遞函數(shù)。,引出點(diǎn)后移 去掉交叉環(huán)節(jié),利用化簡去掉局部反饋環(huán)節(jié),利用串聯(lián)等效化簡前向及反饋通道,例：含的擾動量的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取,含有擾動量的自動控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu),1、在輸入量R (s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出 若僅考慮輸入量R (s)的作用，則可以暫時(shí)略去擾動量D (s)。其系統(tǒng)框圖如下：,此時(shí)可得到輸出量C (s)對輸入量R (s)的閉環(huán)傳遞 函數(shù)。