浙江專用高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí)第六章平面向量復(fù)數(shù)6.1平面向量的概念及線性運算講義含解析

6.1平面向量的概念及線性運算最新考綱考情考向分析1.理解平面向量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念2.掌握平面向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義.主要考查平面向量的線性運算(加法、減法、數(shù)乘向量)及其幾何意義、共線向量定理，常與三角函數(shù)、解析幾何交匯考查，有時也會有創(chuàng)新的新定義問題；題型以選擇題、填空題為主，屬于中低檔題目偶爾會在解答題中作為工具出現(xiàn).1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：abba；結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算|a|a|，當(dāng)0時，a與a的方向相同；當(dāng)0時，a與a同方向；當(dāng)0時，a與a反方向；當(dāng)0或a為零向量時，a為零向量，方向不確定3如何理解共線向量定理？提示如果ab，則ab；反之，如果ab，且b0，則一定存在唯一一個實數(shù)，使得ab.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小()(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)()(3)若ab，bc，則ac.()(4)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上()(5)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()(6)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反()題組二教材改編2P86例4已知ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且a，b，則_，_.(用a，b表示)答案baab解析如圖，ba，ab.3P92B組T4在平行四邊形ABCD中，若|，則四邊形ABCD的形狀為_答案矩形解析如圖，因為，所以|.由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形題組三易錯自糾4對于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若ab0，則ab，所以ab.若ab，則ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件5設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_.答案解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab與a2b平行，則存在唯一的實數(shù)，使ab(a2b)成立，即aba2b，則解得.6設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_答案解析()，1，2，即12.題型一平面向量的概念1給出下列命題：若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若A，B，C，D是不共線的四點，且，則ABCD為平行四邊形；ab的充要條件是|a|b|且ab；已知，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中真命題的序號是_答案解析錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；正確，因為，所以|且；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；錯誤，當(dāng)ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件；錯誤，當(dāng)0時，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線故填.2判斷下列四個命題：若ab，則ab；若|a|b|，則ab；若|a|b|，則ab；若ab，則|a|b|.其中正確的個數(shù)是()A1B2C3D4答案A解析只有正確思維升華向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線題型二平面向量的線性運算命題點1向量加、減法的幾何意義例1已知點O為ABC外接圓的圓心，且0，則ABC的內(nèi)角A等于()A30B60C90D120答案A解析由0得，如圖，由O為ABC外接圓的圓心，結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形，且CAO60，故ABC的內(nèi)角A等于30，故選A.命題點2向量的線性運算例2(1)在平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，設(shè)a，b，則向量等于()A.abBabCabD.ab答案C解析()ab，故選C.(2)(2018全國)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則等于()A.B.C.D.答案A解析作出示意圖如圖所示()().故選A.命題點3根據(jù)向量線性運算求參數(shù)例3在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，點E在線段CD上，若，則的取值范圍是_答案解析由題意可求得AD1，CD，2.點E在線段CD上，(01)，又2，2，即.01，0.思維升華平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義向量加法和減法均適合三角形法則(2)求已知向量的和共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則(3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值跟蹤訓(xùn)練1(1)在ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且2，3，若a，b，則等于()A.abB.abCabDab答案C解析()ab，故選C.(2)在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點，若xy(x，yR)，則xy_.答案2解析由題意得，因為xy，所以，所以解得所以xy2.題型三共線定理的應(yīng)用例4設(shè)兩個非零向量a與b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線(1)證明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共線又它們有公共點B，A，B，D三點共線(2)解假設(shè)kab與akb共線，則存在實數(shù)，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是兩個不共線的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.引申探究1若將本例(1)中“2a8b”改為“amb”，則m為何值時，A，B，D三點共線？解(amb)3(ab)4a(m3)b，即4a(m3)b.若A，B，D三點共線，則存在實數(shù)，使.即4a(m3)b(ab)所以解得m7.故當(dāng)m7時，A，B，D三點共線2若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？解因為kab與akb反向共線，所以存在實數(shù)，使kab(akb)(0)所以所以k1.又1，因為，所以m，即，又知A，B，D三點共線，所以1，即m，所以1，故選B.15已知A，B，C是平面上不共線的三點，O是ABC的重心，動點P滿足，則點P一定為ABC的()ABC邊中線的中點BBC邊中線的三等分點(非重心)C重心DBC邊的中點答案B解析設(shè)BC的中點為M，則，(2)，即32，也就是2，P，M，A三點共線，且P是AM上靠近A點的一個三等分點16設(shè)W是由一平面內(nèi)的n(n3)個向量組成的集合若aW，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模則稱a是W的極大向量有下列命題：若W中每個向量的方向都相同，則W中必存在一個極大向量；給定平面內(nèi)兩個不共線向量a，b，在該平面內(nèi)總存在唯一的平面向量cab，使得Wa，b，c中的每個元素都是極大向量；若W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每個元素都是極大向量，且W1，W2中無公共元素，則W1W2中的每一個元素也都是極大向量其