《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》PPT課件.ppt

1,點(diǎn) 集 拓 撲 學(xué),授課教師 王彥英,河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,2008 年 3 月,,2,拓 撲 學(xué) 導(dǎo) 論,拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的分支，且是與歐氏幾何 不同的幾何學(xué)分支 研究對象：一般的幾何圖形（拓?fù)淇臻g） 中心任務(wù)：研究幾何圖形的一類性質(zhì)即所謂的拓?fù)湫再|(zhì)，但這類性質(zhì)與我們在歐氏幾何中研究的長度、角度、面積等不同。,3,平面歐氏幾何的研究對象與內(nèi)容 研究對象：直線和圓構(gòu)成的圖形 研究內(nèi)容：長度、角度、面積、全等； 兩圖形全等即經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱兩 圖形重合；而長度、角度、面積經(jīng)過上 述正交變換保持不變。 結(jié)論：歐氏幾何研究圖形在正交變換 下的不變性和不變量。,4,與拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān)的幾個(gè)例子 一筆畫問題 哥尼斯堡七橋問題 四色問題,5,一筆畫問題,平面上由曲線段構(gòu)成的一個(gè)圖形能不能一筆畫成，使得在每條線段上不重復(fù)？ 例如：日 ，中 可以一筆畫出 田 ，目 不能一筆畫出,6,7,歐拉的結(jié)論,歐拉考察了一筆畫圖形的結(jié)構(gòu)特征。發(fā)現(xiàn)，凡是能用一筆畫成的圖形，都有這樣一個(gè)特點(diǎn)：每當(dāng)你用筆畫一條線進(jìn)入中間的一個(gè)點(diǎn)時(shí)，你還必須畫一條線離開這個(gè)點(diǎn)。否則，整個(gè)圖形就不可能用一筆畫出。也就是說，單獨(dú)考察圖中的任何一個(gè)點(diǎn)（除起點(diǎn)和終點(diǎn)外），它都應(yīng)該與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，那么，連這個(gè)點(diǎn)也應(yīng)該與偶數(shù)條線相連。,8,一筆畫問題的特點(diǎn),該問題與線段的長短曲直、交點(diǎn)的準(zhǔn)確方位、面積、體積無關(guān)。重要的是圖形中點(diǎn)線之間的相關(guān)位置，或相互連結(jié)的情況不能變。,9,哥尼斯堡七橋問題,哥尼斯堡是位于波羅的海東岸一座古老而美麗的城市，布勒格爾河的兩條支流在這里匯合，然后橫貫全城，流入大海。河心有一個(gè)小島。河水把城市分成了塊，于是，人們建造了座各具特色的橋，把哥尼斯堡連成一體。 一天又一天，座橋上走過了無數(shù)的行人。不知從什么時(shí)候起，腳下的橋梁觸發(fā)了人們的靈感，一個(gè)有趣的問題在居民中傳開了：誰能夠一次走遍所有的座橋，而且每座橋都只通過一次？ 這個(gè)問題似乎不難，誰都樂意用它來測試一下自己的智力?？墒?，誰也沒有找到一條這樣的路線。以博學(xué)著稱的大學(xué)教授們，也感到一籌莫展?！捌邩騿栴}“難住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因“七橋問題“而出了名。,10,七 橋 問 題,11,歐拉的解法,哥尼斯堡七橋問題引起了大數(shù)學(xué)家歐拉的興趣。他知道，如果沿著所有可能的路線都走一次的話，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的時(shí)間。實(shí)際上，歐拉只用了幾天的時(shí)間就解決了七橋問題。,12,歐拉的想法是：兩岸的陸地與河中的小島，都是橋梁的連接點(diǎn)，它們的大小、形狀均與問題本身無關(guān)。因此，不妨把它們看作是4個(gè)點(diǎn)。7座橋是7條必須經(jīng)過的路線，它們的長短、曲直，也與問題本身無關(guān)。因此，不妨任意畫7條線來表示它們。就這樣，歐拉將七橋問題抽象成了一個(gè)“一筆畫”問題，從而否定了問題的答案。,13,對七橋問題的反思,七橋問題是一個(gè)幾何問題，然而，它卻是一個(gè)以前歐氏幾何學(xué)里沒有研究過的幾何問題。在以前的幾何學(xué)里，不論怎樣移動(dòng)圖形，它的大小和形狀都是不變的；而歐拉在解決七橋問題時(shí)，把陸地變成了點(diǎn)，橋梁變成了線，而且線段的長短曲直，交點(diǎn)的準(zhǔn)確方位、面積、體積等概念，都變得沒有意義了。不妨把七橋畫成別的什么類似的形狀，照樣可以得出與歐拉一樣的結(jié)論。 很清楚，圖中什么都可以變，唯獨(dú)點(diǎn)線之間的相關(guān)位置，或相互連結(jié)的情況不能變。,14,四 色 問 題,15,以上幾個(gè)問題顯示出幾何圖形的一類新的幾何性質(zhì)。這類性質(zhì)與幾何圖形的大小、形狀以及所含線段的曲直等等都無關(guān)，他們不能用歐氏幾何的方法來處理，它們的特點(diǎn)是：在“彈性變形” 下保持不變，研究這類新問題的幾何學(xué)，歐拉稱之為“位置幾何學(xué)”，人們通俗地把它叫做“橡皮幾何學(xué)”。后來，這門數(shù)學(xué)分支被正式命名為“拓?fù)鋵W(xué)”,16,拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù),歐氏幾何研究圖形在正交變換下的不變性和不變量。 拓?fù)鋵W(xué)研究更一般的圖形在“彈性變形” 下的不變性和不變量（例子）。 “彈性變形”的特點(diǎn)：可復(fù)原，把相近的點(diǎn)變成相近的點(diǎn)（連續(xù)）,17,基本概念的嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述,一般圖形：集合 變形：映射 彈性變形：可逆映射或一一映射 相近：鄰域，開集 相近變相近：連續(xù) 圖形全等：同胚 不變性：連通性，可數(shù)性，分離性等,18,拓?fù)鋵W(xué)的近代發(fā)展,點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué) 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué) 微分拓?fù)鋵W(xué) 幾何拓?fù)鋵W(xué) 思考題：設(shè)C代表平面上的圓周，“點(diǎn)A位于圓周的內(nèi)部”這一性質(zhì)是否在“彈性變形”下保持不變？,19,樸 素 集 合 論,20,集 合 的 基 本 概 念,21,集合的基本運(yùn)算,冪 等 律,分 配 律,交 換律,22,集合的基本運(yùn)算,De Morgan 律,23,集合的基本運(yùn)算,24,笛 卡 兒 積,25,關(guān)系與等價(jià)關(guān)系,關(guān) 系 相 關(guān),26,恒同關(guān)系 設(shè)X是一個(gè)集合，從X到X的關(guān)系簡 稱為X中的一個(gè)關(guān)系，集合X中的 關(guān)系(x,x)|xX稱為恒同關(guān)系或 對角線，記作(X)或.,27,自 反 的 對 稱 的 若 xRy 則有 yRx 傳 遞 的 如果xRy , yRz , 則有xRz .,28,等價(jià)關(guān)系 集合X中的一個(gè)關(guān)系如果同時(shí)是自反的，對稱的和傳遞的，則稱為集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.,29,映 射 的 性 質(zhì),30,常 用 映 射,單射、滿射、一一映射 常值映射 恒同映射（單位映射） 投射 自然投射,31,32,集族及其運(yùn)算,有標(biāo)集族 設(shè)是一個(gè)集合.如果對每一個(gè)，指定一個(gè)集合A，我們就說給定一個(gè)有標(biāo)集族A ,在不至于引起混淆的前提下就直接說給定一個(gè)集族A ，同時(shí)稱為集族