浙江專用高考數學復習數列與數學歸納法7.4數列求和數列的綜合應用第2課時數列的綜合應用講義含解析.docx

第2課時數列的綜合應用題型一數列和解析幾何的綜合問題例1(2004浙江)已知OBC的三個頂點坐標分別為O(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，設P1為線段BC的中點，P2為線段CO的中點，P3為線段OP1的中點，對于每一個正整數n，Pn3為線段PnPn1的中點，令Pn的坐標為(xn，yn)，anynyn1yn2.(1)求a1，a2，a3及an的值；(2)求證：yn41，nN*；(3)若記bny4n4y4n，nN*，求證：bn是等比數列(1)解因為y1y2y41，y3，y5，所以a1a2a32，又由題意可知yn3，所以an1yn1yn2yn3yn1yn2ynyn1yn2an，所以an為常數列，所以ana12，nN*.(2)證明將等式y(tǒng)nyn1yn22兩邊除以2得yn1.又因為yn4，所以yn41，nN*.(3)證明因為bn1y4n8y4n4(y4n4y4n)bn，又因為b1y8y40，所以bn是首項為，公比為的等比數列思維升華利用題目中曲線或直線上點的坐標之間的關系，得到數列的遞推關系，然后利用數列的遞推關系尋求數列通項，從而求解題目跟蹤訓練1(2016浙江)如圖，點列An，Bn分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示點P與Q不重合)若dn|AnBn|，Sn為AnBnBn1的面積，則()ASn是等差數列BS是等差數列Cdn是等差數列Dd是等差數列答案A解析作A1C1，A2C2，A3C3，AnCn垂直于直線B1Bn，垂足分別為C1，C2，C3，Cn，則A1C1A2C2AnCn.|AnAn1|An1An2|，|CnCn1|Cn1Cn2|.設|A1C1|a，|A2C2|b，|B1B2|c，則|A3C3|2ba，|AnCn|(n1)b(n2)a (n3)，Snc(n1)b(n2)ac(ba)n(2ab)，Sn1Snc(ba)(n1)(2ab)(ba)n(2ab)c(ba)，數列Sn是等差數列題型二數列與不等式的綜合問題命題點1可求通項的裂項放縮例2已知數列滿足且a14(nN*)(1)求數列的通項公式；(2)設bnaan，且Sn為的前n項和，證明：12Sn0，故Sn是關于n的遞增數列，故SnS1b1aa112.當k2時，bkaak3，故當n2時，Snb1b2b3bn12b2b3bn1231515.又n1時，S11215，綜上有12Sn15.命題點2可求通項構造放縮例3(2018湖州調研)已知數列an滿足a1，an1，nN*.(1)求a2；(2)求的通項公式；(3)設an的前n項的和為Sn，求證：Sn.(1)解由條件可知a2.(2)解由an1，得，即1，又10，所以是首項為，公比為的等比數列，則1n1n，所以n1.(3)證明由(2)可得ann1.所以Sn1n1，故Sn成立另一方面ann，Sna1a2a3an34nn2，n3，又S1，S2，因此Sn，nN*.所以Sn.命題點3不可求通項裂項放縮例4(2018杭州模擬)設數列an滿足a1，an1an(nN*)(1)證明：anan10，所以an1anan，即ak1akak，kN*，所以3331，所以an1.又a11，a21，所以an1(nN*)，所以anan10，所以an1anan，由題意，得.則，即，累加得，12，即32，所以an11.所以anan11(nN*)(2)方法一當n1時，a1，顯然成立由an1，知ak1akak1，所以ak1akakakak1akakak1，所以，所以，當n2時，.所以an(nN*)方法二當n2時，1，即31，即an，又n1時，a1，所以an(nN*)命題點4不可求通項構造放縮例5(2018浙江模擬訓練沖刺卷)已知數列an滿足a10，an1，nN*.(1)求證：an1an，nN*；(2)求證：an1，nN*；(3)求證：n2時，an.證明(1)an1an，an11an1，(an11)(an1)(an1)210，故an11與an1同號又a1110，an10，an1an0，故an1an，nN*.(2)ak11ak1，kN*，(ak11)2(ak1)22(ak1)22，kN*，當n2時，(an1)2(an1)2(an11)2(an11)2(an21)2(a21)2(a11)2(a11)22(n1)12n1.又an10，故當n2時，an1，即當n2時，an1.又當n1時，a110，所以an1，nN*.(3)由(2)知ak1ak，kN*，所以當n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(an1an2)(anan1)，即當n2時，an1.當n3時，所以當n3時，an13，數列an中，a1a，an1，nN*.(1)求證：an3，且0，an1與an同號a1a，a3，a10，an0.an130，an13，an3.1.(2)an13，.由(1)知3ana1a，3an4，設an3t，則0t1.故，當n2時，n1，n1，an3(a13)n1n1，an3n1.又當n1時，a1a4滿足上式，an3成立2(2018溫州市適應性考試)數列an，bn的每一項都是正數，a18，b116，且an，bn，an1成等差數列，bn，an1，bn1成等比數列，n1,2,3，.(1)求a2，b2的值，并求數列an，bn的通項公式；(2)證明：對一切正整數n，有.(1)解由2b1a1a2，可得a22b1a124.由ab1b2，可得b236.因為an，bn，an1成等差數列，所以2bnanan1.因為bn，an1，bn1成等比數列，所以abnbn1，因為數列an，bn的每一項都是正數，所以an1，于是當n2時，an.將，代入式，可得2，因此數列是首項為4，公差為2的等差數列，所以(n1)d2n2，于是bn4(n1)2.由式，可得當n2時，an4n(n1)當n1時，a18，滿足該式子，所以對一切正整數n，都有an4n(n1)(2)證明由題意知，所證明的不等式為，首先證明(n2)7n27n0(n1)(n2)0，所以當n2時，.當n1時，.綜上所述，對一切正整數n，有.3已知數列an滿足a11，an1(nN*)(1)證明：數列為遞減數列；(2)記Sn為數列|an1an|的前n項和，證明：Sn0，故1，所以數列為遞減數列(2)因為a11，a2，所以當n3時，所以an(n3)，故an(n2)因為(n2)，當n1時，也滿足上式，故|an1an|a2a1|n1，所以Sn|a2a1|a3a2|an1an|a2a1|2x；(2)證明：xn10，函數g(x)在(0,1)上單調遞增，所以g(x)g(0)0，即f(x)2x.(2)由f(x)，知曲線在點(xn，f(xn)處的切線方程為y(xxn)f(xn)令y0，有xn1xnf(xn)(x1)，則xn1(x1)lnxn.由(1)及x10知，xn1(2xn)(x1)xnx.(3)令因為xnklogax，從而有bk12bk2kb0，所以b0b1bmb0b0b0.要證只需證b0n2，即證b0n1，即證logxnan1，即證xna3n1，由(2)及x1(0，a)可得綜上即可證得5已知正項數列an滿足a13，aan2，nN*.求證：(1)數列an是單調遞減數列；(2)|an12|an2|，nN*；(3)|a12|2|a22|3|a32|n|an2|0，所以an2an10，所以an2an1與an1an同號由aa125，得a2，a2a130，所以an1an0，即an10，知an20，即an2，故an124.所以，所以|an12|an2|，nN*.(3)由(2)知，當n2時，有|an2|a12|a12|，所以當n2時，有|a12|2|a22|3|a32|n|an2|1，令Sn1，則Sn，所以Sn1，所以Sn，故|a12|2|a22|3|a32|n|an2|，n2.又當n1時，|a12|1.綜上，|a12|2|a22|3|a32|n|an2|0，a2，且an，(*)所以0，所以an1an，即數列an是遞減數列，故ana11.當n2，nN*時，ana2.又由(*)知，an(n2)，累加可得(n2)n1，即an，