高等數(shù)學(xué)上31中值定理.ppt

3.1 中值定理,洛爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理,第三章 微分中值定理,引理 設(shè)函數(shù) f (x)在a , b上有定義，并且在點(diǎn) x0(a , b)取到最值， f (x)在點(diǎn)x0 可導(dǎo)，則 f (x0 )=0。,證: 設(shè) f(x0)值最大,則,證畢,費(fèi)馬,一、羅爾(Rolle)定理 P128,幾何解釋:,A,B,羅爾(Rolle)定理 如果函數(shù) f(x)滿足：,（1）在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；,（2）在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；,（3）在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即 f(a)= f(b),那么在(a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)( ab),使得函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即： f ()= 0.,物理解釋:,變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速度等于零.,證明,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 則,因此,若M m , 則 M 和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè),則至少存在一點(diǎn),使,則由費(fèi)馬引理得,證畢,注:,定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立.,例如,零點(diǎn)定理用不上!,? !,證畢,例2. 證明方程,有且僅有一個(gè)小于1 的,正實(shí)根 .,證: 1) 存在性 .,則,在 0 , 1 連續(xù) ,且,由零點(diǎn)定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根 x0 .,設(shè),例2. 證明方程,有且僅有一個(gè)小于1 的,正實(shí)根 .,2) 唯一性 .,假設(shè)另有,為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,至少存在一點(diǎn),但,矛盾,故假設(shè)不真!,證畢,證: 1) 存在性 .,存在 使,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 P129,思考:,表示直線AB的斜率.,拉格朗日中值定理 如果函數(shù) f(x)滿足：,（1）在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；,（2）在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)；,那么 在(a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)( ab),使得,幾何解釋:,證明分析:,(1)比較L-定理與R-定理不同?,作輔助函數(shù),證1:,直線AB方程:,應(yīng)用Rolle定理即可.,思路: 利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù),作輔助函數(shù),顯然 ,在 a , b 上連續(xù) ,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),且,證2:,問題轉(zhuǎn)化為證,由羅爾定理知至少存在一點(diǎn),即定理結(jié)論成立 .,證畢,推論,證明：設(shè)區(qū)間I為 (a,b)，x1,x2是(a, b)內(nèi)任意兩點(diǎn)，,，(在x1,x2之間),由x1, x2的任意性知: f (x)=常數(shù), x(a, b) . 證畢!,由拉格朗日中值定理,例3P134-6,證,證畢,例4P132-1,證,證畢,拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.,微分中值定理,拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：,三、柯西(Cauchy)中值定理,幾何解釋:,證明分析,要證,證明,作輔助函數(shù),且,使,即,由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn),思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?,兩個(gè) 不 一定相同,錯(cuò)!,上面兩式相比即得結(jié)論.,特別地,例5,證,結(jié)論可變形為,四、小結(jié),Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；,(1) 注意定理成立的條件；,(3)利用中值定理證明等式與不等式的步驟.,(2) Rolle定理判斷根；,費(fèi)馬(Fermat,1601？-1665 ),法國人 律師， 業(yè)余研究數(shù)學(xué) 他是幾何學(xué)、坐標(biāo)幾何、概率論、微積分、數(shù)論等學(xué)問的先驅(qū)。 一生從未發(fā)表過數(shù)學(xué)論文，只在書信和筆記中，紀(jì)錄了他的數(shù)學(xué)思想。,當(dāng) n 2 時(shí)，方程 xn+ yn = zn 又有沒有整數(shù)解呢？ “這是不可能的。我對這個(gè)命題有一個(gè)美妙的證明，這里空白太小，寫不下“(約 1637 年)。 歐拉1770年提出 n = 3 的證明，但其中有一點(diǎn)錯(cuò)誤。 高斯完成歐拉的證明.,費(fèi)馬(Fermat,1601？-1665 ),費(fèi)馬大定理,狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859),德國人 1828 年，獨(dú)立地證明了 n = 5。 1832 年，解決了 n = 14 的情況。 柯西Cauchy (1789-1857)、拉梅Lam (1795 - 1870) 1847年，兩位法國數(shù)學(xué)家分別表示他們證明了費(fèi)馬大定理。 5 月 24 日，德國數(shù)學(xué)家?guī)禧湢栔赋隼泛涂挛鞯姆椒ㄊ切胁煌ǖ?，從而平息了二人的爭論?,費(fèi)馬大定理,1995 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜志數(shù)學(xué)年鑒中發(fā)表。,1997 年 6 月 27 日，懷爾斯獲得價(jià)值五萬美元的“沃爾夫斯凱爾獎(jiǎng)金“。,xn + yn = zn, (n 2) 無整數(shù)解(1637),這是真的 (1995),作業(yè) P134: 5、6、7、8、10、11-（2）、12、14,P134 習(xí)題12,證,由介值定理,即為方程的小于1的正實(shí)根.,矛盾,例6 設(shè)f(x)在a, b上可微，且ab0，求證：,(ab),證明 令, a, b同號，故x=0不在(a, b)內(nèi);,(x),g(x)在(a, b)內(nèi)可微。,由柯西中值定理,思考,2、證明,解答,2o 對f(