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4導(dǎo)數(shù)的四則運算法則導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則已知f(x)x,g(x)x2.問題1:f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是什么?提示:f(x)1,g(x)2x.問題2:試求Q(x)xx2的導(dǎo)數(shù)提示:因yx2xx(x)2,12xx,當x0時,f(x)12x.問題3:Q(x)的導(dǎo)數(shù)與f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系?提示:Q(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù)和問題4:對于任意函數(shù)f(x),g(x)都滿足(f(x)g(x)f(x)g(x)嗎?提示:滿足導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則兩個函數(shù)和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(差),即f(x)g(x)f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x).導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則已知函數(shù)f(x)x3,g(x)x2.問題1:f(x)g(x)f(x)g(x)成立嗎?提示:不成立,因為f(x)g(x)(x5)5x4,而f(x)g(x)3x22x6x3.問題2:能否用f(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)表示f(x)g(x)的導(dǎo)數(shù)?如何表示?提示:能因f(x)3x2,g(x)2x,(f(x)g(x)5x4,有(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)問題3:對于其他函數(shù)還滿足上述關(guān)系嗎?提示:滿足導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則(1)若兩個函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是f(x)和g(x),則f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).(2)kf(x)kf(x)1注意f(x)g(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)g(x)與f(x)g(x)之和;的導(dǎo)數(shù)的分子是f(x)g(x)與f(x)g(x)之差,分母是g(x)的平方2f(x)g(x)f(x)g(x),.3常數(shù)與函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之積利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)yx43x25x6;(2)yx2log3x;(3)yx2sin x;(4)y.思路點撥結(jié)合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運算法則直接求導(dǎo)精解詳析(1)y(x43x25x6)(x4)3(x2)5x64x36x5.(2)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(3)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(4)y.一點通解決函數(shù)的求導(dǎo)問題,應(yīng)先分析所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點,選擇正確的公式和法則,對較為復(fù)雜的求導(dǎo)運算,一般綜合了和、差、積、商幾種運算,在求導(dǎo)之前應(yīng)先將函數(shù)化簡,然后求導(dǎo),以減少運算量1下列求導(dǎo)運算中正確的是()A.1B(lg x)C(ln x)x D(x2cos x)2xsin x解析:選B1,故A錯;(ln x),故C錯;(x2cos x)2xcos xx2sin x,故D錯,故選B.2設(shè)f(x)ax33x22,若f(1)4,則a的值等于()A. B.C. D.解析:選Df(x)3ax26x,f(1)3a64,解得a.3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y3x2xcos x;(2)ylg x;(3)y(x1)(x2)(x3)解:(1)y(3x2xcos x)(3x2)(xcos x)6xcos xxsin x.(2)y(lg x).(3)y(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6,y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11.導(dǎo)數(shù)與曲線的切線問題例2已知函數(shù)f(x)x3x16.(1)求曲線yf(x)在點(2,6)處的切線方程;(2)直線l為曲線yf(x)的切線,且經(jīng)過原點,求直線l的方程及切點坐標精解詳析(1)可判定點(2,6)在曲線yf(x)上f(x)(x3x16)3x21,f(x)在點(2,6)處的切線的斜率為kf(2)13.切線的方程為y13(x2)(6),即y13x32.(2)設(shè)切點為(x0,y0),則直線l的斜率為f(x0)3x1,直線l的方程為y(3x1)(xx0)xx016,又直線l過點(0,0),0(3x1)(x0)xx016,整理得,x8,x02.y0(2)3(2)1626,k3(2)2113.直線l的方程為y13x,切點坐標為(2,26)一點通(1)求曲線在某點處的切線方程的步驟:(2)求曲線的切線方程時,一定要注意已知點是否為切點若切點沒有給出,一般是先把切點設(shè)出來,然后根據(jù)其他條件列方程,求出切點,再求切線方程4曲線yx23x在點A(2,10)處的切線的斜率是()A4 B5C6 D7解析:選D由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,曲線yx23x在點A(2,10)處的切線的斜率就是函數(shù)yx23x在x2時的導(dǎo)數(shù),yx=27,故選D.5若曲線f(x)xsin x1在x處的切線與直線ax2y10互相垂直,則實數(shù)a_.解析:因為f(x)sin xxcos x,所以fsincos1.又直線ax2y10的斜率為,所以根據(jù)題意得11,解得a2.答案:26設(shè)函數(shù)f(x)x3x2bxc,其中a0,曲線yf(x)在點P(0,f(0)處的切線方程為y1,則b_,c_.解析:由題意得f(x)x2axb,由切點P(0,f(0)既在函數(shù)f(x)x3x2bxc上又在切線y1上,得即解得b0,c1.答案:017已知函數(shù)f(x)xb(x0),其中a,bR.若曲線yf(x)在點P(2,f(2)處的切線方程為y3x1,求函數(shù)f(x)的解析式解:f(x)1,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f(2)3,于是a8.由切點P(2,f(2)在直線y3x1上,可得f(2)2b2b7,解得b9.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x9.運用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)的運算法則時,要認真分析函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點,較復(fù)雜的要先化簡,再求導(dǎo),盡量避免使用積或商的求導(dǎo)法則1若f(x)f(x),且f(x)0,則f(x)()AaxBlogaxCex Dex答案:C2曲線yx33x21在點(1,1)處的切線方程為()Ay3x4By3x2Cy4x3Dy4x5解析:選B點(1,1)在曲線yx33x21上,該點處切線的斜率為ky(3x26x)363,切線方程為y13(x1),即y3x2.3若過函數(shù)f(x)ln xax上的點P的切線與直線2xy0平行,則實數(shù)a的取值范圍是()A(,2 B(,2)C(2,) D(0,)解析:選B設(shè)過點P(x0,y0)的切線與直線2xy0平行,因為f(x)a,故f(x0)a2,得a2,由題意知x00,所以a20,且a1)解:(1)y1,y.(2)y(xtan x).(3)y1cos x.(4)y(3ln xax)axln a.8偶函數(shù)f(x)ax4bx3cx2dxe的圖像過點P(0,1),且在x1處的切線方程為yx2,求f(x)的解析式解:f(x)的圖像過點P(0
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