關聯(lián)環(huán)境中量子關聯(lián)動力學行為分析.doc

山西大學本科畢業(yè)論文關聯(lián)環(huán)境中量子關聯(lián)動力學行為分析摘要 我們研究了關聯(lián)環(huán)境下的兩量子比特的量子關聯(lián)動力學行為，并與糾纏動力學行為作了比較，分析了系統(tǒng)初始參數(shù)、量子比特間耦合強度、環(huán)境參數(shù)對它們的影響。我們采用幾何量子失協(xié)關聯(lián)度量，量化了兩比特間的量子關聯(lián)行為，同時利用糾纏度量的概念量化了兩比特間的糾纏。通過分析發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)及環(huán)境各參數(shù)都對這兩種量子關聯(lián)動力學行為具有很大意義的影響。關鍵詞 量子糾纏 量子失協(xié) 密度矩陣 糾纏度1.引言 糾纏，作為量子關聯(lián)，在量子信息、凝聚態(tài)物理等多體物理系統(tǒng)中起著關鍵作用。由于它的基本重要性，糾纏態(tài)的相關研究引起了人們濃厚地興趣。 然而，近幾年人們發(fā)現(xiàn)，一些量子任務（如grover 搜索和單量子比特確定性量子計算等）即使在沒有糾纏的情況下也可以量子加速實現(xiàn)，這表明糾纏并不是量子計算的唯一有用資源。換句話說，量子態(tài)中存在其它形式的量子關聯(lián)，這些關聯(lián)也對量子計算起到加速作用，這一點已經被Lanyon等人在全光學實驗系統(tǒng)中得到證實1。為了量化比糾纏更為一般的量子關聯(lián)，Ollivier和Zurek2引入了一個被他們稱作量子失協(xié)的關聯(lián)度量。這種度量可以俘獲分離混合態(tài)中的量子關聯(lián)，這是糾纏所不能的。量子失協(xié)的定義基于這樣的事實，即兩個等價的經典互信息的定義被推廣到量子互信息時，它們并不相等。量子失協(xié)則定義為這兩個量子互信息的差值?？偟膩碚f，量子失協(xié)意在俘獲一個量子態(tài)中的所有非經典關聯(lián)，而糾纏度量只與非局域關聯(lián)相關。人們發(fā)現(xiàn)，對于純態(tài)來說量子失協(xié)等于糾纏和經典關聯(lián)，且數(shù)值取1。然而，對雙比特混合態(tài)來說卻并沒有這么簡單3。迄今為止，量子失協(xié)、糾纏和經典關聯(lián)之間的關系還不清楚。最近，量子失協(xié)被廣泛認為是比糾纏更為一般的量子關聯(lián)，且可以作為一種全新的量子計算資源來考慮。人們在許多方面研究了量子失協(xié)的行為，利用它可以研究物理中的一些基本問題如度量量子相變4、描述麥克斯韋妖5等等?，F(xiàn)今，有關量子失協(xié)的討論，成為了當前國際研究的熱門話題，正在引起越來越多人們的高度研究興趣6-15。由于任何一個量子系統(tǒng)不可避免的要與周圍的環(huán)境發(fā)生相互作用，從而造成了量子相關性的丟失，進而使得量子態(tài)變成無用的狀態(tài)，所以為了有效控制量子相干的目的，理解量子失協(xié)動力學行為自然成為一個十分有趣的研究話題16-20。最近，參考16和參考17,18，分別研究了馬爾科夫和非馬爾科夫環(huán)境中量子失諧的動力學行為。他們顯示出量子失諧在環(huán)境的影響下比起糾纏具有更強的生命力。另外，人們發(fā)現(xiàn)，量子關聯(lián)和經典關聯(lián)衰減可以發(fā)生突然轉變行為，在初始時間間隙量子關聯(lián)可以不受影響等22。本文，我們正是基于量子失協(xié)的重要性展開對關聯(lián)移相環(huán)境中的兩量子比特的量子關聯(lián)動力學的探討，并與糾纏作比較。分析系統(tǒng)初始參數(shù)、量子比特間耦合強度、環(huán)境參數(shù)對它們的影響。2. 正文 兩量子比特哈密頓量為了研究兩量子比特的動力學行為，我們需要獲得它的時間演化密度矩陣。為此，我們首先給出所采用的理論模型。我們所考慮的哈密頓量模型為 (1)是兩量子比特間的耦合強度，是泡利算符；它們可分別表示為。我們選取希爾伯特空間為 ， (2)那么系統(tǒng)的時間演化密度算符矩陣，可用量子劉維爾運動方程來表示： (3)其中，哈密頓量由方程（1）給出；算子為超算子，包含了與量子比特相互作用的環(huán)境的影響。當我們考慮的環(huán)境為關聯(lián)移相環(huán)境時，則變?yōu)?（4）這里 和 分別是量子比特和的衰減率。是的聯(lián)合衰減率。 在我們所選取的希爾伯特空間中，將上式（4）進行展開可得到它的矩陣微分方程：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 (5)由此，可以得到約化密度矩陣的最終形式。為了簡單，我們設，則， ， ， 。 (6)我們考慮系統(tǒng)的初始條件為，即， (7)將（7）式代入（6）式后可得， 。 (8) 兩量子比特中量子失協(xié)和糾纏動力學分析為了量化兩比特間的量子關聯(lián)行為，我們采用幾何量子失諧關聯(lián)度量23的概念。幾何量子失諧關聯(lián)度量采用Hilbert-Schmidt距離量化了給定量子態(tài)和零量子關聯(lián)態(tài)間的量子關聯(lián)。它被定義為23： (9) 其中表示零量子關聯(lián)態(tài)的集合，并且是Hilbert-Schmidt規(guī)范。指標暗示了對子系統(tǒng)進行測量。對兩比特系統(tǒng)而言，零量子關聯(lián)態(tài)可表 (10)是子系統(tǒng)的正交基。是密度矩陣是子系統(tǒng)的量子態(tài)。和是幾率分布。 對于一般形式的量子態(tài) (11)而言，幾何量子失諧可以寫成如下形式 , (12) 其中，,是局域布拉赫矢量 是關聯(lián)張量的元素；是泡利矩陣；是矩陣的最大本征值。對于我們所考慮的量子態(tài)，不難證實可進一步寫成 , (13) , ,但為了方便表示，我們這里考慮歸一化的幾何量子失諧形式，滿足 , (14)為了量化兩量子比特間的糾纏，我們采用糾纏度量concurrence的概念24,可定義為， (15)其中代表矩陣的本征值。的變化范圍是,0是對分離態(tài)而言，1是指最大糾纏態(tài)。在圖1我們畫出了中心系統(tǒng)取不同純度時的量子失諧隨時間變化的圖形。實線對應于的情形，虛線對應于的情況。其余共同參數(shù)為，。圖1從圖形可知，系統(tǒng)純度對量子失諧有非常大的影響。純度越大，越大，衰減也越緩慢。另外，我們注意到在時，即量子比特間沒有直接耦合時，量子失諧單調衰減，直到時完全消失。這一點不同于時的情況，具體見下面的圖形所示。圖2圖2我們畫出了時的的時間演化圖形。實線為，虛線為，其余參數(shù)與圖1相同。由上圖可知越大，振蕩越快；震蕩振幅隨時間的進行越來越小，且振蕩變緩；較時而言，可以在更長的時間被更好的保持。 圖3我們分析了相位角對的影響。實線為，沖線為，虛線為，其余參數(shù)為，。由圖可知，相位角對的動力學行為也具有很大的影響：相位角時，單調衰減；隨著的增大，出現(xiàn)了振蕩行為。較大的比較小的的振蕩振幅更大，且振蕩振幅隨時間逐漸變小。另外，時的比的在大時間尺度上的量值更大，表現(xiàn)的生命力更強。 圖3 另外，我們通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)，的取值對也有非常大的影響。越大具有更強的生命力，其幅度和振幅都增強，具體圖型略。下面，我們來分析量子比特間的糾纏動力學行為。采用與圖1相同的參數(shù)，我們在圖4畫出了糾纏度隨時間變化的圖形?？梢钥闯觯敃r，單調衰減，其衰減速率較量子失協(xié)要緩慢的多。而當時，糾纏卻發(fā)生了糾纏猝死現(xiàn)象，這一點大大不同于量子失協(xié)。的大小對糾纏動力學行為的影響可從圖4很容易看出來。圖4采用與圖2相同的參數(shù)，我們畫出了隨不同的變化的圖形。從圖5可知，對動力學行為具有很有意義的影響。時，也發(fā)生了振蕩演化。越大振蕩行為越快，振幅隨時間的進行越來越小，且振蕩變緩，較時而言，可以在更長的時間被更好的保持，這一點非常類似于量子失協(xié)的行為。除此之外，我們還能從圖5看出來，當時（虛線所示），發(fā)生了突然死亡現(xiàn)象以及重生現(xiàn)象。死亡時間隨著時間的進行越來越長，直到某個閾值時間徹底完全消失。這一點不同于，僅僅在某些時間點消失。圖5最后，我們通過驗證發(fā)現(xiàn)，相位角和參數(shù)對也具有非常有意義的影響。采用與圖3相同的參數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)相位角引起的動力學變化非常類似于 ，具體圖形略。3.總結 總而言之，我們研究了環(huán)境影響下的兩量子比特中的量子關聯(lián)動力學行為。通過分析發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)純度對于量子失協(xié)和糾纏行為都有著重要影響。隨著純度r的增大量子失協(xié)與糾纏度無論呈單調還是震蕩趨勢衰減，其值都隨r的增大而增大，且衰減隨r的增大而趨于緩慢。但糾纏度的衰減速率較量子失協(xié)要緩慢的多。更重要的是當時，糾纏發(fā)生了糾纏猝死現(xiàn)象，這一點大大不同于量子失協(xié)。耦合強度對與量子失諧糾纏度也有非常大的影響。我們注意到在時，即量子比特間沒有直接耦合時，量子失協(xié)與糾纏度均呈單調衰減形式，直到時完全消失。時，量子失諧糾纏度都發(fā)生了振蕩演化。越大它們的振蕩行為越快，振幅隨時間的進行越來越小，且振蕩變緩，較時而言，量子失協(xié)與糾纏度都可以在更長的時間被更好的保持。但是當時，糾纏度卻發(fā)生了糾纏猝死現(xiàn)象以及重生現(xiàn)象。死亡時間隨著時間的進行越來越長，直到某個閾值時間徹底完全消失。這一點不同于量子失協(xié)，僅僅在某些時間點消失。相位角對量子失協(xié)與糾纏度的動力學行為也具有很大的影響：相位角時，量子失協(xié)與糾纏度均單調衰減；隨著的增大，它們都出現(xiàn)了振蕩行為。越大振蕩振幅越大，且振蕩振幅隨時間逐漸變小。時量子失協(xié)與糾纏度在大時間尺度上的量值均更大，表現(xiàn)的生命力更強。參考文獻1 B. 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