浙江專用高考數(shù)學大一輪復(fù)習第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的計算習題含解析.docx

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的計算考試要求1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景；2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，y，yx2，yx3，y的導(dǎo)數(shù)；4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如yf(axb)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).知 識 梳 理1.函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義：稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率 為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)幾何意義：函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(x0，f(x0)處的切線的斜率.相應(yīng)地，切線方程為yy0f(x0)(xx0).2.函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).記作f(x)或y.3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(Q)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1) f(x)4.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f(x)，g(x)存在，則有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.常用結(jié)論與易錯提醒1.f(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0，其導(dǎo)數(shù)值一般也不同.2.f(x0)不一定為0，但f(x0)一定為0.3.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).4.函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.基 礎(chǔ) 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)f(x0)與(f(x0)表示的意義相同.()(2)曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點.()(3)(2x)x2x1.()(4)若f(x)e2x，則f(x)e2x.()解析(1)f(x0)是函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，(f(x0)是常數(shù)f(x0)的導(dǎo)數(shù)即(f(x0)0；(3)(2x)2xln 2；(4)(e2x)2e2x.答案(1)(2)(3)(4)2.函數(shù)yxcos xsin x的導(dǎo)數(shù)為()A.xsin x B.xsin x C.xcos x D.xcos x解析y(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.答案B3.(2018全國卷)曲線y2ln(x1)在點(0，0)處的切線方程為_.解析y2ln(x1)，y.當x0時，y2，曲線y2ln(x1)在點(0，0)處的切線方程為y02(x0)，即y2x.答案y2x4.(2019南通一調(diào))若曲線yxln x在x1與xt處的切線互相垂直，則正數(shù)t的值為_.解析因為yln x1，所以(ln 11)(ln t1)1，ln t2，te2.答案e25.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(1)e2x2x22f(0)x，則f(0)_；f(x)_.解析f(x)f(1)e2x2x22f(0)x，f(x)f(1)e2x22x2f(0)，f(1)f(1)22f(0)，f(0)1，即1f(1)e2，f(1)2e2，f(x)e2xx22x.答案1e2xx22x6.已知曲線yex，則其圖象上各點處的切線斜率的取值范圍為_；該曲線在點(0，1)處的切線方程為_.解析由題意得yex，則由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)易得yex(，0)，即曲線yex的圖象上各點處的切線斜率的取值范圍為(，0).當x0時，ye01，則曲線yex在(0，1)處的切線的斜率為1，則切線的方程為y11(x0)，即xy10.答案(，0)xy10考點一導(dǎo)數(shù)的運算【例1】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx2sin x；(2)y；(3)yxsincos；(4)yln(2x5).解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.(3)yxsincosxsin(4x)xsin 4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x.(4)令u2x5，yln u.則y(ln u)u2，即y.規(guī)律方法求導(dǎo)一般對函數(shù)式先化簡再求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯，常用求導(dǎo)技巧有：(1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)；(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；(3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；(4)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；(6)復(fù)合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo).【訓練1】 分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)yln.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)ylnln(12x)，y(12x).考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義多維探究角度1求切線的方程【例21】 (1)(2019紹興一中模擬)已知函數(shù)f(x)ex2sin x，則f(x)在點(0，f(0)處的切線方程為()A.xy10 B.xy10C.3xy10 D.3xy10(2)已知曲線yx3上一點P，則過點P的切線方程為_.解析(1)因為f(x)ex2sin x，所以f(x)ex2cos x.所以f(0)3，f(0)1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)f(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y13x，即為3xy10，故選C.(2)設(shè)切點坐標為，由yx2，得y|xx0x，即過點P的切線的斜率為x，又切線過點P，若x02，則x，解得x01，此時切線的斜率為1；若x02，則切線的斜率為4.故所求的切線方程是yx2或y4(x2)，即3x3y20或12x3y160.答案(1)C(2)3x3y20或12x3y160角度2求參數(shù)的值【例22】 (1)(2019嘉興檢測)函數(shù)yx3x的圖象與直線yax2相切，則實數(shù)a()A.1 B.1 C.2 D.4(2)(2019杭州質(zhì)檢)若直線yx與曲線yexm(mR，e為自然對數(shù)的底數(shù))相切，則m()A.1 B.2 C.1 D.2解析(1)由題意得將代入，消去a得x3x(3x21)x2，解得x1，則a2，故選C.(2)設(shè)切點坐標為(x0，ex0m).由yexm，得yexm，則切線的方程為yex0mex0m (xx0)，又因為切線yx過點(0，0)，代入得x01，則切點坐標為(1，1)，將(1，1)代入yexm中，解得m1，故選C.答案(1)C(2)C角度3公切線問題【例23】 (一題多解)已知曲線yxln x在點(1，1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.解析法一yxln x，y1，y|x12.曲線yxln x在點(1，1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1.y2x1與曲線yax2(a2)x1相切，a0(當a0時曲線變?yōu)閥2x1與已知直線平行).由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二同法一得切線方程為y2x1.設(shè)y2x1與曲線yax2(a2)x1相切于點(x0，ax(a2)x01).y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).由解得答案8規(guī)律方法(1)求切線方程的方法：求曲線在點P處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在點P處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程；求曲線過點P的切線，則P點不一定是切點，應(yīng)先設(shè)出切點坐標，然后列出切點坐標的方程解出切點坐標，進而寫出切線方程.(2)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；切點在切線上；切點在曲線上.【訓練2】 (1)(2019蘇州調(diào)研)已知曲線f(x)ax3ln x在(1，f(1)處的切線的斜率為2，則實數(shù)a的值是_.(2)若存在過點(1，0)的直線與曲線yx3和yax2x9(a0)都相切，則a的值為()A.1或 B.1或C.或 D.或7解析(1)f(x)3ax2，則f(1)3a12，解得a.(2)由yx3得y3x2，設(shè)曲線yx3上任意一點(x0，x)處的切線方程為yx3x(xx0)，將(1，0)代入得x00或x0.當x00時，切線方程為y0，由得ax2x90，4a90得a.當x0時，切線方程為yx，由得ax23x0，324a0得a1.綜上知，a1或a.答案(1)(2)A基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.若f(x)2xf(1)x2，則f(0)等于()A.2 B.0 C.2 D.4解析f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2，f(0)2f(1)4.答案D2.設(shè)曲線yeaxln(x1)在x0處的切線方程為2xy10，則a()A.0 B.1 C.2 D.3解析yeaxln(x1)，yaeax，當x0時，ya1.曲線yeaxln(x1)在x0處的切線方程為2xy10，a12，即a3.故選D.答案D3.曲線f(x)x3x3在點P處的切線平行于直線y2x1，則P點的坐標為()A.(1，3) B.(1，3)C.(1，3)或(1，3) D.(1，3)解析f(x)3x21，令f(x)2，則3x212，解得x1或x1，P(1，3)或(1，3)，經(jīng)檢驗，點(1，3)，(1，3)均不在直線y2x1上，故選C.答案C4.(2019諸暨統(tǒng)考)已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若滿足xf(x)f(x)x2x，且f(1)1，則f(x)的解析式可能是()A.x2xln xx B.x2xln xxC.x2xln xx D.x22xln xx解析由選項知f(x)的定義域為(0，)，由題意得1，即1，故xln xc(c為待定常數(shù))，即f(x)x2(ln xc)x.又f(1)1，則c0，故選C.答案C5.(一題多解)(2018全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為()A.y2x B.yxC.y2x D.yx解析法一因為函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20.因為xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為yx.故選D.法二因為函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得a1，此時f(x)x3x(經(jīng)檢驗，f(x)為奇函數(shù))，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為yx.故選D.法三易知f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因為f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)x2(a1)xa為偶函數(shù)，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為yx.故選D.答案D6.已知yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)()A.1 B.0C.2 D.4解析由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，所以g(3)130.答案B二、填空題7.(2018天津卷)已知函數(shù)f(x)exln x，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(1)的值為_.解析由題意得f(x)exln xex，則f(1)e.答案e8.(2018全國卷)曲線y(ax1)ex在點(0，1)處的切線的斜率為2，則a_.解析y(ax1a)ex，由曲線在點(0，1)處的切線的斜率為2，得y|x0(ax1a)ex|x01a2，所以a3.答案39.(2018臺州調(diào)考)已知函數(shù)f(x)axln x，x(0，)，其中a為實數(shù)，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(1)3，則a的值為_；f(x)在x1處的切線方程為_.解析f(x)aa(1ln x)，由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.f(x)3xln x，f(1)0，f(x)在x1處的切線方程為y3(x1)，即為3xy30.答案33xy3010.設(shè)曲線yex在點(0，1)處的切線與曲線y(x0)在點P處的切線垂直，則P的坐標為_.解析yex，曲線yex在點(0，1) 處的切線的斜率k1e01.設(shè)P(m，n)，y(x0)的導(dǎo)數(shù)為y(x0)，曲線y(x0)在點P處的切線斜率k2(m0)，因為兩切線垂直，所以k1k21，所以m1，n1，則點P的坐標為(1，1).答案(1，1)三、解答題11.已知點M是曲線yx32x23x1上任意一點，曲線在M處的切線為l，求：(1)斜率最小的切線方程；(2)切線l的傾斜角的取值范圍.解(1)yx24x3(x2)211，當x2時，ymin1，y，斜率最小的切線過點，斜率k1，切線方程為3x3y110.(2)由(1)得k1，tan 1，又0，)，.故的取值范圍為.12.已知曲線yx3.(1)求曲線在點P(2，4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2，4)的切線方程.解(1)P(2，4)在曲線yx3上，且yx2，在點P(2，4)處的切線的斜率為y|x24.曲線在點P(2，4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過點P(2，4)的切線相切于點A，則切線的斜率為y|xx0x.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點P(2，4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切線方程為xy20或4xy40.能力提升題組13.(2018蕭山月考)已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，則f2 018(x)等于()A.sin xcos x B.sin xcos xC.sin xcos x D.sin xcos x解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4為周期的函數(shù)，f2 018(x)f2(x)sin xcos x，故選C.答案C14.(2019無錫模擬)關(guān)于x的方程2|xa|ex有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為_.解析由題意，臨界情況為y2(xa)與yex相切的情況，yex2，則xln 2，所以切點坐標為(ln 2，2)，則此時a1ln 2，所以只要y2|xa|圖象向左移動，都會產(chǎn)生3個交點，所以a1ln 2，即a(1ln 2，).答案(1ln 2，)15.若直線ykxb是曲線yln x2的切線，也是曲線yln(x1)的切線，則b_.解析yln x2的切線為：yxln x11(設(shè)切點橫坐標為x1).yln(x1)的切線為：yxln(x21)(設(shè)切點橫坐標為x2).解得x1，x2，bln x111ln 2.答案1ln 216.(2019湖州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)|x3axb|(a，bR)，若對任意的x1，x20，1，f(x1)f(x2)2|x1x2|恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.解析當x1x2時，f(x1)f(x2)2|x1x2|恒成立；當x1x2時，由f(x1)f(x2)2|x1x2|得2，故函數(shù)f(x)在(0，1)上的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足|f(x)|2，函數(shù)yx3axb的導(dǎo)函數(shù)為y3x2a，其中0，1上的值域為a，a3，則有解得2a1.綜上