2018版高中數學第三章不等式疑難規(guī)律方法學案蘇教版.doc

第三章 不等式1比較實數大小的方法實數比較大小是一種常見題型，解題思路較多，廣泛靈活多變，下面結合例子介紹幾種比較大小的方法供同學們學習時參考1利用作差法比較實數大小方法鏈接：作差比較法比較兩個實數大小，步驟可按如下四步進行，作差變形判斷差的符號得出結論比較法的關鍵在于變形，變形過程中，常用的方法為因式分解法和配方法例1已知abc，試比較a2bb2cc2a與ab2bc2ca2的大小解a2bb2cc2a(ab2bc2ca2)(a2bab2)(b2cbc2)(c2aca2)ab(ab)bc(bc)ca(ca)ab(ab)bc(ba)(ac)ca(ca)ab(ab)bc(ba)bc(ac)ca(ca)b(ab)(ac)c(ac)(ba)(ab)(ac)(bc)abc，ab0，ac0，bc0，(ab)(ac)(bc)0.a2bb2cc2ab1；abb1.a1；ab1.作商比較法的基本步驟：作商；變形；與1比較大??；下結論例2設a0，b0，且ab，試比較aabb，abba，(ab)三者的大小解aabbab.當ab0時，1，ab0，0，01，aabb(ab).當0ab時，01，ab0，01，aabb(ab).不論ab0還是0a(ab).同理：(ab)abba.綜上所述，aabb(ab)abba.3構造中間值比較實數大小方法鏈接：由傳遞性知ab，bcac，所以當兩個數直接比較不容易時，我們可以找一個適當的中間值為媒介來間接地比較例3設alog3，blog2，clog3，則a、b、c的大小關系為_解析alog3log331，a1，blog2log23log241，b1，clog3log32b，ac.又blog2log23，bc，abc.答案abc4特殊值法比較實數大小方法鏈接：一些比較實數大小的客觀性題目，先通過恰當地選取符合題目要求的一組特例，從而確定出問題的答案這種取特殊值法往往能避重就輕，避繁從簡，快速獲得問題的解一些解答題，也可以先通過特例為解答論證提供方向例4若0a1a2,0b1，最大的數應是a1b1a2b2.(注：本題還可以利用作差法比較大小，此答從略)答案5利用函數單調性比較實數大小方法鏈接：有些代數式的大小比較很難直接利用不等式性質完成，可以考慮構建函數，借助函數的單調性加以判斷例5當0ab(1a)b；(1a)a(1b)b；(1a)b(1a)；(1a)a(1b)b.解析對于，0abb，(1a)(1a)b，錯誤；對于，函數y(1a)x為R上的單調遞增函數，(1a)a(1a)b，又函數yxb在(0，)上為單調遞增函數，(1a)b(1b)b，從而(1a)a，(1a)b(1a)，錯誤；對于，函數y(1a)x為R上的單調遞減函數，且a(1a)b，又函數yxb為(0，)上的單調遞增函數，且1a1b0，從而(1a)b(1b)b，(1a)a(1b)b，正確答案6借助函數的圖象比較實數大小方法鏈接：借助函數的圖象比較實數大小，要從題目的條件與結論出發(fā)，著重分析其幾何含義，善于構造函數圖象，從圖象上找出問題的結論例6設a、b、c均為正數，且2aloga，blogb，clog2c，則a、b、c的大小關系為_解析由函數y2x，yx，ylog2x，ylogx的圖象(如圖所示)知0ab1c.答案ab0，方程x22x80有兩個根x12，x24.我們對此法熟練時，可將“二看”歸納為(x2)(x4)0.三看：口訣“大于取兩邊，小于取中間”“大于取兩邊”指“一看”中轉化后的不等式符號為大于時，其解集取根的兩邊：有兩不等實根x1，x2(x1x2)，其解集為x|xx1或xx2)，其解集為x|x2xx1；有兩相等實根或沒有實根，其解集為.如上例的解集為x|4x2例解不等式x23x20，(一看)所以(x4)(x1)0，(二看)故不等式的解集是x|x4或x0(aR)解對于方程x2ax10，a24.(1)當0，即a2或a2時，方程x2ax10有兩個不等實根x1，x2，且x1x2，所以原不等式的解集為；(2)當0，即a2時，若a2，則原不等式的解集為x|x1；若a2，則原不等式的解集為x|x1；(3)當0，即2a0(aR，且a0)解原不等式可變形為(xa)0，易求得方程(xa)0的兩個解分別為x1a和x2，所以(1)當a，即a(1,0)(1，)時，原不等式的解集為x|xa；(2)當a，即a1時，若a1，則原不等式的解集為x|x1；若a1，則原不等式的解集為x|x1；(3)當a，即a(，1)(0,1)時， 原不等式的解集為x|x3對二次項系數進行討論當含參數的不等式的二次項系數含有參數時，首先要對二次項系數進行討論；其次，有時要對判別式進行討論，有時還要對方程的解的大小進行討論例3解關于x的不等式ax222xax(aR)解原不等式可變形為ax2(a2)x20.(1)當a0時，原不等式的解集為x|x1；(2)當a0時，原不等式可變形為(ax2)(x1)0，方程(ax2)(x1)0的解為x1，x21.當a0時，1，所以原不等式的解集為x|x或x1；當a0時，a當2a0時，1，所以原不等式的解集為x|x1；b當a2時，原不等式的解集為x|x1；c當a1，所以原不等式的解集為x|1x綜上：當a0時，原不等式的解集為x|x1；當a0時，原不等式的解集為x|x或x1；當2a0時，原不等式的解集為x|x1；當a2時，原不等式的解集為x|x1；當a2時，原不等式的解集為x|1x4對含參的分式不等式轉化后再討論對含有參數的分式不等式，利用不等式的同解原理等價轉化為一元二次不等式的形式后，再按照上面的方法分類討論，逐類求解例4解不等式：0(x2)(kx3k2)0，當k0時，原不等式的解集為x|x2；當k0時，(kx3k2)(x2)0，變形為(x2)0，因為332，所以2.所以x2.故不等式的解集為x|x2或x當k0時，原不等式(x2)0，由于(2).所以當2k0時，0，2，不等式的解集為x|2x；當k2時，2，原不等式(x2)20，不等式的解集為；當k0，2.不等式的解集為x|x2；當k0時，不等式的解集為x|x2；當2k0時，不等式的解集為x|2x；當k2時，不等式的解集為；當k2時，不等式的解集為x|x0的等價條件是或例1已知不等式2對任意xR恒成立，求k的取值范圍解x2x220.原不等式等價于kx2kx62x22x4，即(k2)x2(k2)x20.當k2時，20，結論顯然成立；當k2時，k滿足不等式組解得2k10.綜上所述，k的取值范圍是2k0對一切xR恒成立，求實數a的取值范圍解設f(x)sin2x2asin xa22a2，則f(x)(sin xa)222a.當a0顯然成立，a0，解得a1，1a1，1a1時，f(x)在sin x1時取到最小值，且f(x)mina24a3，由a24a30，解得a3，a1，a3.綜上所述，a的取值范圍為(，1)(3，)3利用直線型函數圖象的保號性求解函數f(x)kxb，x，的圖象是一條線段，此線段恒在x軸上方的等價條件是；此線段恒在x軸下方的等價條件是；此線段與x軸有交點的等價條件是f()f()0.例3已知當x0,1時，不等式2m10，x0,1恒成立ma恒成立，求a的取值范圍解不等式f(x)ax2ax3ax23a(1x)，x1,11x1，01x2.當x1時，1x0，x23a(1x)對一切aR恒成立；當x1時，01x2，則a.(1x)22 22.當且僅當1x，即x1時，取到等號min2.從而a0，a1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是_解析作二元一次不等式組的可行域如圖所示，由題意得A(1,9)，C(3,8)當yax過A(1,9)時，a取最大值，此時a9；當yax過C(3,8)時，a取最小值，此時a2，2a9.答案2,9點評準確作出可行域，熟知指數函數yax的圖象特征是解決本題的關鍵2線性規(guī)劃與概率交匯例2兩人約定下午4點到5點在某一公園見面，他們事先約定先到者等候另一個人20分鐘，過時就離去請問這兩個人能見面的概率有多大？解用x、y分別表示兩人到公園的時間，若兩人能見面，則有|xy|20，又0x60,0y60，即有作出點(x，y)的可行域如圖中陰影部分，由圖知，兩人能見面的概率為陰影部分的面積與大正方形的面積之比，所以所求概率為P.點評這是一道幾何概型的題目，關鍵在于確定兩人能見面的時間區(qū)域，利用線性規(guī)劃的思想簡潔、直觀、明了3線性規(guī)劃與一元二次方程交匯例3已知方程x2(2a)x1ab0的兩根為x1、x2，且0x11x2，則的取值范圍是_解析令f(x)x2(2a)x1ab，并且0x11x2，則由題意知函數f(x)在(0,1)及(1，)內各有一個零點，得即作出可行域，如圖所示而令k，則表示可行域內的點與原點連線的斜率設M(x0，y0)，則由得M(3,2)，kOM，結合圖可知2k0)，求實數m的取值范圍解設A(x，y)|，B(x，y)|x2y2m2(m0)，則集合A表示的區(qū)域為圖中陰影部分，集合B表示以坐標原點為圓心，m為半徑的圓及其內部，由AB，得mPO，由，解得，即P(3,4)，PO5，即m5.點評集合(x，y)|x2y2m2(m0)的幾何含義是以原點(0,0)為圓心，m為半徑的圓及其內部區(qū)域5線性規(guī)劃與平面向量交匯例5已知O為坐標原點，定點A(3,4)，動點P(x，y)滿足約束條件，則向量在上的投影的取值范圍是_解析畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，向量在向量上的投影為|cosAOP|，令z3x4y，易知直線3x4yz過點G(1,0)時，zmin3；直線3x4yz過點N(1,2)時，zmax11.min，max.答案點評向量在上的投影：|cos，|.清楚這一點對解答本題至關重要8a2b22ab的四“變”如果a，bR，那么a2b22ab(當且僅當ab時，等號成立)該結論利用作差法極易證明下面給出其四個重要的變式及應用變式1如果a，b是正數，那么(當且僅當ab時，等號成立)證明見教材證明例1若實數a，b滿足ab2，則3a3b的最小值是_解析3a3b2226.當且僅當ab1時，等號成立答案6變式2如果a，bR，那么a2b22|ab|(當且僅當|a|b|時，等號成立)證明因為a2b2|a|2|b|22|a|b|2|ab|，所以a2b22|ab|，當且僅當|a|b|時，等號成立例2若實數x，y滿足4x25xy4y25，設Sx2y2，則_.解析由x2y22|xy|，得xy，則5xy，當且僅當|x|y|時，等號成立則4x25xy4y2，即S5S，所以S，于是Smax，Smin，故.答案變式3若a，bR，那么(ab)24ab(當且僅當ab時，等號成立)證明因為a2b22ab，所以a2b22ab4ab，即(ab)24ab，當且僅當ab時，等號成立例3若正數a，b滿足ab8ab，則ab的最小值為_解析由條件，得ab8ab0，則(ab)216ab64(ab)2，又因為(ab)24ab，則(ab)220ab640，又ab8，解得ab16，當且僅當ab4時，等號成立，所以ab的最小值為16.答案16變式4若a，bR，則a2b2(當且僅當ab時，等號成立)證明a2b20，當且僅當ab時，等號成立，所以a2b2.例4若a，b，c是正實數，且abc1，則的最小值是_解析由變式4，得(ab)，(bc)，(ca)，所以(abbcca)2.當且僅當abc時，等號成立故最小值為.答案9運用基本不等式求最值的7種常見技巧在利用基本不等式求最大值或最小值時，為滿足“一正、二定、三相等”的條件，需要作一些適當的變形，用到一些變換的技巧，下面舉例說明1湊和為定值例1若a、b、c0，且2abc，則a(abc)bc的最大值為_分析注意a(abc)bc(ab)(ac)，而2abc(ab)(ac)，從而溝通了問題與已知的聯系，然后利用基本不等式求最值解析a(abc)bca2abacbc(a2ac)(abbc)a(ac)b(ac)(ab)(ac)222.當且僅當abac時，取“”，a(abc)bc的最大值為.答案2湊積為定值例2設abc0，則2a210ac25c2的最小值是_分析注意到2a210ac25c2a2ababa210ac25c2(a5c)2然后分別利用基本不等式和平方數的性質求最值由于代數式比較復雜，要注意等號取到的條件解析abc0，原式a210ac25c2a2a2abab(a5c)22204，當且僅當a(ab)1，ab1，a5c0時取等號即當a，b，c時，所求代數式的最小值為4.答案43化負為正例3已知x，求函數y4x2的最大值分析因為4x50，所以要先“調整”符號，又(4x2)不是常數，所以對4x2要添項“配湊”解x0，y4x23231，當且僅當54x，即x1時，上式等號成立，故當x1時，ymax1.4和積互“化”例4若正實數x，y滿足2xy6xy，則2xy的最小值是_分析可以利用基本不等式的變形形式ab2進行和或積的代換，這種代換目的是消除等式兩端的差異，屬不等量代換，帶有放縮的性質解析方法一x0，y0，xy(2x)y2，2xy6(2xy)6(2xy)2，(2xy)28(2xy)480，令2xyt，t0，則t28t480，(t12)(t4)0，t12，即2xy12.方法二由x0，y0,2xy6xy，得xy26(當且僅當2xy時，取“”)，即()2260，(3)()0.又0，3，即xy18.xy的最小值為18，2xyxy6，2xy的最小值為12.答案125消元法例5若正實數a，b滿足abab3，則ab的最小值為_分析從abab3中解出b，即用a的代數式表示b，則ab可以用a來表示，再求關于a的代數式的最值即可解析abab3，b(a1)a3.a0，b0，a10，a1.b.aba(a1)5.a1，a12 4，當且僅當a1，即a3時，取等號，此時b3，ab9.ab的最小值為9.答案