2018版高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義學(xué)案蘇教版.doc

2.5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義.2.能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題和實(shí)際問題知識點(diǎn)一圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡0e1時，它表示雙曲線；e1時，它表示拋物線知識點(diǎn)二準(zhǔn)線方程對于橢圓1 (ab0)和雙曲線1(a0，b0)中，與F(c,0)對應(yīng)的準(zhǔn)線方程是l：x，與F(c，0)對應(yīng)的準(zhǔn)線方程是l：x；如果焦點(diǎn)在y軸上，則兩條準(zhǔn)線方程為y.思考1橢圓上一點(diǎn)到準(zhǔn)線距離與它到對應(yīng)焦點(diǎn)距離之比等于多少？答案.2動點(diǎn)M到一個定點(diǎn)F的距離與到一條定直線l的距離之比為定值的軌跡一定是圓錐曲線嗎？答案當(dāng)Fl時，動點(diǎn)M軌跡是圓錐曲線當(dāng)Fl時，動點(diǎn)M軌跡是過F且與l垂直的直線題型一統(tǒng)一定義的簡單應(yīng)用例1橢圓1上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離等于2.5，那么，P到右焦點(diǎn)的距離為_答案8解析如圖所示，PF1PF22a10，e，而e，PF12，PF210PF11028.反思與感悟橢圓的兩個定義從不同角度反映了橢圓的特征，解題時要靈活運(yùn)用一般地，如果遇到有動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和的問題，應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓的定義；如果遇到有動點(diǎn)到一定點(diǎn)及一定直線距離的問題，應(yīng)自然聯(lián)想到統(tǒng)一定義；若兩者都涉及，則要綜合運(yùn)用兩個定義才行跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離為b(b1)，求P到左準(zhǔn)線的距離解方法一由1，得a2b，cb，e.由橢圓第一定義，PF1PF22a4b，得PF14bPF24bb3b.由橢圓第二定義，e，d1為P到左準(zhǔn)線的距離，d12b，即P到左準(zhǔn)線的距離為2b.方法二e，d2為P到右準(zhǔn)線的距離e，d2b.又橢圓的兩準(zhǔn)線的距離為2b，P到左準(zhǔn)線的距離為bb2b.題型二應(yīng)用統(tǒng)一定義轉(zhuǎn)化求最值例2已知橢圓1內(nèi)有一點(diǎn)P(1，1)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)M，使MP2MF之值為最小 解設(shè)d為M到右準(zhǔn)線的距離e，d，即d2MF(如圖)故MP2MFMPdPM.顯然，當(dāng)P、M、M三點(diǎn)共線時，所求的值為最小，從而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，1)反思與感悟本例中，利用統(tǒng)一定義，將橢圓上點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再利用圖形，形象直觀，使問題得到簡捷的解決跟蹤訓(xùn)練2已知雙曲線1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(9,2)，試在雙曲線上求一點(diǎn)M，使MAMF的值最小，并求這個最小值 解過M作MN垂直于雙曲線的右準(zhǔn)線l于N，由第二定義可知MN(如圖)又a3，b4，c5，e，MNMF，MAMFMAMN，顯然當(dāng)M、N、A三點(diǎn)共線時MAMNAN為最小，即MAMF取得最小值，此時AN99，MAMF的最小值為，此時點(diǎn)M(，2)題型三圓錐曲線統(tǒng)一定義的綜合應(yīng)用例3已知A、B是橢圓1上的點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，且AF2BF2a，AB的中點(diǎn)N到左準(zhǔn)線的距離等于，求此橢圓方程解設(shè)F1為左焦點(diǎn)，則根據(jù)橢圓定義有：AF1BF12aAF22aBF24a(AF2BF2)4aaa.再設(shè)A、B、N三點(diǎn)到左準(zhǔn)線距離分別為d1，d2，d3，由梯形中位線定理有d1d22d33，而已知b2a2，c2a2，離心率e，由統(tǒng)一定義AF1ed1，BF1ed2，AF1BF1e(d1d2)，又AF1BF1a，a1，橢圓方程為x21.反思與感悟在圓錐曲線有關(guān)問題中，充分利用圓錐曲線的共同特征，將曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相互轉(zhuǎn)化是一種常用方法跟蹤訓(xùn)練3設(shè)P(x0，y0)是橢圓1(ab0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1為其左焦點(diǎn)(1)求PF1的最小值和最大值；(2)在橢圓1上求一點(diǎn)P，使這點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)的連線互相垂直解(1)對應(yīng)于F1的準(zhǔn)線方程為x，根據(jù)統(tǒng)一定義：e，PF1aex0.又ax0a，當(dāng)x0a時，(PF1)mina(a)ac；當(dāng)x0a時，(PF1)maxaaac.(2)a225，b25，c220，e2.PFPFF1F，(aex0)2(aex0)24c2.將數(shù)據(jù)代入得25x40.x0.代入橢圓方程得P點(diǎn)的坐標(biāo)為，.1已知方程(1k)x2(1k)y21表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍為_答案1k1解析由題意得解得即1kc恒成立，由橢圓性質(zhì)知OPb，其中b為橢圓短半軸長，bc，c22c2，()2，e.又0e1，0e.4已知橢圓1(ab0)與雙曲線1(m0，n0)，有相同的焦點(diǎn)(c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中項(xiàng)，n2是2m2與c2的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率是_答案解析由題意，得由可得m2n22n22m2，即n23m2，代入得4m2c2c2m，代入得4m2ama4m.所以橢圓的離心率e.5已知拋物線y24x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為_答案4解析由拋物線定義知點(diǎn)