2018版高中數學第三章三角恒等變換疑難規(guī)律方法學案蘇教版.doc

第三章 三角恒等變換1三角恒等變換中角的變換的技巧三角函數是以角為自變量的函數，因此三角恒等變換離不開角之間的變換.觀察條件及目標式中角之間的聯系，消除角之間存在的差異，或改變角的表達形式以便更好地利用條件得出結論，或有利于公式的運用，化角是三角恒等變換的一種常用技巧.一、利用條件中的角表示目標中的角例1設、為銳角，且滿足cos ，tan()，求cos 的值.分析利用變換()尋找條件與所求之間的關系.解、為銳角，且tan()0，0.sin() ，cos()，sin .cos cos()cos cos()sin sin()().二、利用目標中的角表示條件中的角例2設為第四象限的角，若，則tan 2_.分析要求tan 2的值，注意到sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin ，代入到，首先求出cos 2的值后，再由同角三角函數之間的關系求出tan 2.解析由2cos2cos 2.2cos2cos 212cos 2.cos 2.為第四象限的角，2k2k2(kZ)，4k324k4(kZ)，2可能在第三、四象限，又cos 2，2在第四象限，sin 2，tan 2.答案三、注意發(fā)現互余角、互補角，利用誘導公式轉化角例3已知sin，0x，求的值.分析轉化為已知一個角的三角函數值，求這個角的其余三角函數值的問題.這樣可以將所求式子化簡，使其出現這個角的三角函數.解原式2sin2cos，sin，且0x，x.cos，原式2.四、觀察式子結構特征，靈活湊出特殊角例4求函數f(x)sin(x20)cos(x40)的最大值.分析觀察角(x40)(x20)60，可以把x40看成(x20)60后運用公式展開，再合并化簡函數f(x).解f(x)sin(x20)cos(x20)60sin(x20)sin(x20)cos(x20)cos 60sin(x20)sin 60sin(x20)cos(x20)sin(x65)，當x65k36090，即xk360155(kZ)時，f(x)有最大值.2三角函數化簡求值的“主角”三角函數化簡求值是學習三角的一個重要內容，而“變角”是化簡的重要形式，是化簡求值這場大戲中的主角，它的表演套路主要有以下幾招：第一招單角化復角例1已知sin ，是第二象限的角，且tan()，則tan 的值為_.解析因為sin ，為第二象限的角，所以cos ，所以tan .所以tan tan().答案點評將單角用已知復角表示時，需要將復角進行適當的組合、拆分，常見的拆分組合形式，如：()，()，(2)()，()()，()()等.第二招復角化單角例2化簡：2cos().解原式.點評由于該式含有2和，這兩個角都是復角，而化簡的要求為最終結果皆為單角，所以化簡的思路就是利用兩角和的正弦或余弦公式展開即可.第三招復角化復角例3已知，0，cos()，sin()，求sin()的值.解因為，所以sin().又因為0，0，sin0，故原式sin.點評一般地，在化簡求值時，遇到1cos 2、1cos 2、1sin 2、1sin 2常?；癁槠椒绞剑?cos2、2sin2、(sin cos )2、(sin cos )2.三、靈活變角例3已知sin()，則cos(2)_.解析cos(2)2cos2()12sin2()12()21.答案點評正確快速求解本題的關鍵是靈活運用已知角“”表示待求角“2”，善于發(fā)現前者和后者的一半互余.四、構造齊次弦式比，由切求弦例4已知tan ，則的值是_.解析3.答案3點評解本題的關鍵是先由二倍角公式和平方關系把“”化為關于sin 和cos 的二次齊次弦式比.五、分子、分母同乘以2nsin 求cos cos 2cos 4cos 8cos 2n1的值例5求值：sin 10sin 30sin 50sin 70.解原式cos 20cos 40cos 80.點評這類問題的解決方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍數即可.4聚焦三角函數最值的求解策略一、化為yAsin(x)B的形式求解例1求函數f(x)的最值.解原函數變形得：f(x)sin 2x.f(x)max，f(x)min.例2求函數ysin2x2sin xcos x3cos2x的最小值，并寫出y取最小值時x的集合.解原函數化簡得：ysin 2xcos 2x2sin2.當2x2k，kZ，即xk，kZ時，ymin2.此時x的集合為x|xk，kZ.點評形如yasin2xbsin xcos xccos2xd(a，b，c，d為常數)的式子，都能轉化成yAsin(x)B的形式求最值.二、利用正弦、余弦函數的有界性求解例3求函數y的值域.解原函數整理得：sin x.|sin x|1，1，解出y或y3.例4求函數y的值域.解原函數整理得：sin xycos x4y3，sin(x)4y3，sin(x).|sin(x)|1，解不等式1得：y.點評對于形如y或y的這類函數，均可利用三角函數中弦函數的有界性去求最值.三、轉化為一元二次函數在某確定區(qū)間上求最值例5設關于x的函數ycos 2x2acos x2a的最小值為f(a)，寫出f(a)的表達式.解ycos 2x2acos x2a2cos2x2acos x(2a1)22.當1，即a1，即a2時，f(a)ymin14a，此時cos x1.綜上所述，f(a).點評形如yasin2xbsin xc的三角函數可轉化為二次函數yat2btc在區(qū)間1，1上的最值問題解決.例6試求函數ysin xcos x2sin xcos x2的最值.解設sin xcos xt，t， ，則2sin xcos xt21，原函數變?yōu)閥t2t1，t， ，當t時，ymin；當t時，ymax3.點評一般地，既含sin xcos x(或sin xcos x)又含sin xcos x的三角函數采用換元法可以轉化為t的二次函數解最值.注意以下結論的運用，設sin xcos xt，則sin xcos x(t21)；sin xcos xt，則sin xcos x(1t2).四、利用函數的單調性求解例7求函數y的最值.解y(sin x2)，令tsin x2，則t1，3，yt.利用函數單調性的定義易證函數yt在1，3上為增函數.故當t1即sin x1時，ymin0；當t3即sin x1時，ymax.例8在RtABC內有一內接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，設ABa，ABC，ABC的面積為P，正方形面積為Q.求的最小值.解ACatan ，PABACa2tan .設正方形邊長為x，AGxcos ，BC.BC邊上的高hasin ，即，x，Qx2.從而1.易知函數y在區(qū)間(0，1上是單調減函數，從而，當sin 21時，min.點評一些復雜的三角函數最值問題，通過適當換元轉化為簡單的代數函數后，可利用函數單調性巧妙解決.5行百里者半九十 三角恒等變換一章易錯問題盤點一、求角時選擇三角函數類型不當而致錯例1已知sin ，sin ，和都是銳角，求的值.錯解因為和都是銳角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，sin()sin cos cos sin .因為，則(0，).所以或.剖析由sin ，sin ，和都是銳角，可以知道和都是定值，因此也是定值，因此上述解法出現兩個答案，其中就有一個是錯誤的.這是因為sin()在第一、第二象限沒有區(qū)分度，應選擇計算cos()的值.正解因為和都是銳角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，cos()cos cos sin sin .因為，則(0，)，所以.溫馨點評根據條件求角，主要有兩步：(1)求角的某種三角函數值；(2)確定角的范圍，從而確定所求角的值.完成第一步一般要選擇相對角的范圍區(qū)分度比較大的三角函數，且確定范圍要盡量縮小.二、忽視條件中隱含的角的范圍而致錯例2已知tan26tan 70，tan26tan 70，、(0，)，且，求的值.錯解由題意知tan 、tan 是方程x26x70的兩根，由根與系數的關系得：tan()1.0，0，02，或.剖析由知tan 0，tan 0.角、都是鈍角.上述解法忽視了這一隱含條件.正解由易知tan 0，tan 0.、(0，)，.0，B，且sin B.由sin A，得cos A，當cos A時，cos A.sin B，B，B.故當cos A時，AB，與A、B是ABC的內角矛盾.cos A，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B.溫馨點評涉及三角形中的內角問題時，一定要注意內角和ABC180這一隱含條件.尤其是由內角正弦值確定角的大小時，要防止增解出現.四、忽略三角函數的定義域而致錯例4判斷函數f(x)的奇偶性.錯解f(x)tan ，由此得f(x)tantan f(x)，因此函數f(x)為奇函數.剖析運用公式后所得函數f(x)tan 的定義域為.兩函數的定義域不同，變形后的函數定義域擴大致錯.正解事實上，由1sin xcos x0可得sin xcos x1，即sin1，從而sin，所以x2k且x2k(kZ)，故函數f(x)的定義域是，顯然該定義域不關于原點對稱.因此，函數f(x)為非奇非偶函數.溫馨點評判斷函數的奇偶性，首先要看定義域，若定義域不關于原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數.上述解法正是由于忽視了對函數定義域這一隱含條件的考慮致錯.五、誤用公式asin xbcos xsin(x)而致錯例5若函數f(x)sin(x)cos(x)，xR是偶函數，求的值.錯解f(x)sin(x)cos(x)，f(0)sin cos sin.f(x)sin(x)cos(x)是偶函數.|f(0)|f(x)max.f(0)sin，sin1，k，kZ.即k，kZ.剖析x與x是不同的角.函數f(x)的最大值不是，上述解答把f(x)的最大值誤當作來處理.正解f(x)sin(x)cos(x)是偶函數.f(x)f(x)對一切xR恒成立.即sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)恒成立.sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)0.2sin xcos 2sin xsin 0恒成立.即2sin x(cos sin )0恒成立.cos sin 0.cos sin sin0.k，即k，kZ.溫馨點評注意公式asin xbcos x的左端是同角x.當三角函數式不符合這一特征時，不能使用該公式.例如：函數f(x)sin(x)r(3)cos(x)(xR)的最大值不是2.6平面向量與三角函數的交匯題型大全平面向量與三角函數的交匯是當今高考命題的一個熱點，這是因為此類試題既新穎而精巧，又符合在知識的“交匯處”構題的命題思想.這類試題解答的關鍵是利用向量的平行、垂直、夾角、模、數量積公式將問題轉化為三角問題，然后聯想相關的三角函數知識求解.一、平面向量平行與三角函數交匯例1 已知a(2cos x2sin x，1)，b(y，cos x)，且ab.若f(x)是y關于x的函數，則f(x)的最小正周期為_.解析由ab得2cos2x2sin xcos xy0，即y2cos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x12sin(2x)1，所以f(x)2sin(2x)1，所以函數f(x)的最小正周期T.答案點評解答平面向量平行與三角函數的交匯試題一般先用平面向量平行的條件求涉及到三角函數的解析式或某角的函數值，然后再利用三角知識求解.二、平面向量垂直與三角函數交匯例2 已知向量a(4，5cos )，b(3，4tan )，(0，)，若ab，則cos(2)_.解析因為ab，所以435cos (4tan )0，解得sin .又因為(0，)，所以cos .cos 212sin2，sin 22sin cos ，于是cos(2)cos 2cossin 2sin.答案點評解答平面向量垂直與三角函數的交匯試題通常先利用平面向量垂直的條件將向量問題轉化為三角函數問題，再利用三角函數的知識進行處理.三、平面向量夾角與三角函數交匯例3 已知向量m(sin ，1cos )(0)與向量n(2，0)的夾角為，則_.解析由條件得|m|，|n|2，mn2sin ，于是由平面向量的夾角公式得cos ，整理得2cos2 cos 10，解得cos 或cos 1(舍去).因為0，所以.答案點評解答平面向量的夾角與三角函數的交匯試題主要利用平面向量的夾角公式建立某角的三角函數的方程或不等式，然后由三角函數的知識求解.四、平面向量的模與三角函數交匯例4 若向量a(cos ，sin )，b(，1)，則|2ab|的最大值為_.解析由條件可得|a|1，|b|2，abcos sin ，則|2ab|4，所以|2ab|的最大值為4.答案4點評解答平面向量的模與三角函數交匯的題目一般要用到向量的模的性質|a|2a2.如果是求模的大小，則一般可直接求解；如果是求模的最值，則常常先建立模關于某角的三角函數，然后利用三角函數的有界性求解.五