2018版高中數(shù)學(xué)第一章算法初步1.3中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例學(xué)案新人教B版.doc

1.3 中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析.2.理解割圓術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理.3.了解秦九韶算法及利用它提高計(jì)算效率的本質(zhì).4.對(duì)簡單的案例能設(shè)計(jì)程序框圖并寫出算法程序知識(shí)點(diǎn)一更相減損術(shù)更相減損術(shù)的運(yùn)算步驟第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是_若是，用_約簡；若不是，執(zhí)行_第二步，以_的數(shù)減去_的數(shù)，接著把所得的差與_的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)_為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)知識(shí)點(diǎn)二割圓術(shù)S1假設(shè)圓的半徑為1，面積為S，圓內(nèi)接正n邊形面積為Sn，邊長為xn，邊心距為hn，先從圓內(nèi)接正六邊形的面積開始算起，即n6，則正六邊形的面積S66；S2利用公式S2nSnnxn(1hn)重復(fù)計(jì)算，就可得到正十二邊形、正二十四邊形的面積因?yàn)閳A的半徑為1，所以隨著n的增大，S2n的值不斷趨近于圓周率，這樣不斷計(jì)算下去，就可以得到越來越精密的圓周率近似值2割圓術(shù)的算法思想劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些圓內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐漸遞增的數(shù)值，來一步一步地逼近圓面積，最后求出圓周率的近似值用劉徽自己的話概括就是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”知識(shí)點(diǎn)三秦九韶算法思考衡量一個(gè)算法是否優(yōu)秀的重要參數(shù)是速度把多項(xiàng)式f(x)x5x4x3x2x1變形為f(x)(x1)x1)x1)x1)x1，然后求當(dāng)x5時(shí)的值，為什么比常規(guī)逐項(xiàng)計(jì)算省時(shí)？梳理秦九韶算法的一般步驟：把一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)anxnan1xn1a1xa0改寫成如下形式：(anxan1)xan2)xa1)xa0，求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算_一次多項(xiàng)式的值，即v1_，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2_，v3_，vn_，這樣，求n次多項(xiàng)式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求_的值類型一更相減損術(shù)例1試用更相減損術(shù)求612、396的最大公約數(shù)反思與感悟用更相減損術(shù)的算法步驟：第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，不妨設(shè)mn.第二步，若m，n都是偶數(shù)，則不斷用2約簡，使它們不同時(shí)是偶數(shù)，約簡后的兩個(gè)數(shù)仍記為m，n.第三步，dmn.第四步，判斷“dn”是否成立，若是，則將n，d中的較大者記為m，較小者記為n，返回第三步；否則，2kd(k是約簡整數(shù)2的個(gè)數(shù))為所求的最大公約數(shù)跟蹤訓(xùn)練1用更相減損術(shù)求261和319的最大公約數(shù)類型二秦九韶算法的基本思想例2已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為f(x)4x52x43.5x32.6x21.7x0.8，用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x5時(shí)的值反思與感悟秦九韶算法之所以優(yōu)秀，一是其對(duì)所有多項(xiàng)式求值都適用，二是充分利用已有計(jì)算成果，效率更高跟蹤訓(xùn)練2用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)7x76x65x54x43x32x2x當(dāng)x3時(shí)的值1用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)6x65x54x43x32x2x7在x0.4時(shí)的值時(shí)，需做加法和乘法的次數(shù)的和為()A10 B9C12 D82已知f(x)2x3x3，用秦九韶算法求當(dāng)x3時(shí)v2的值3用更相減損術(shù)求1 734和816的最大公約數(shù)1更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)正整數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的減法，直到差和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)即為原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)2用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)當(dāng)xx0的值的思路為(1)改寫；(2)計(jì)算(3)結(jié)論f(x0)vn.答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一偶數(shù)2第二步較大較小較小相等知識(shí)點(diǎn)三思考從里往外計(jì)算，充分利用已有成果，可減少重復(fù)計(jì)算梳理最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)anxan1v1xan2v2xan3vn1xa0n個(gè)一次多項(xiàng)式題型探究類型一例1解方法一6122306,3962198,3062153，198299，1539954,995445,54459,45936,36927,27918,1899.所以612、396的最大公約數(shù)為92236.方法二612396216,396216180,21618036,18036144,14436108,1083672,723636.故36為612、396的最大公約數(shù)跟蹤訓(xùn)練1解31926158,26158203，20358145,1455887，875829,582929，319與261的最大公約數(shù)為29.類型二例2解將f(x)改寫為f(x)(4x2)x3.5)x2.6)x1.7)x0.8，由內(nèi)向外依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x5時(shí)的值：v04；v145222；v22253.5113.5；v3113.552.6564.9；v4564.951.72 826.2；v52 826.250.814 130.2.當(dāng)x5時(shí)，多項(xiàng)式的值等于14 130.2.跟蹤訓(xùn)練2解f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x，所以有v07，v173627，v2273586，v38634262，v426233789，v5789322 369，v62 369317 108，v77 108321 324.故當(dāng)x3時(shí)，多項(xiàng)式f(x)7x76x65x54x43x32x2x的值為21 324.當(dāng)堂訓(xùn)練1Cf(x)(6x5)x4)x3)x2)x1)x7，做加法6次，乘法6次，6612(次)，故選C.2解f(x)2x3x32x30x2x3(2x0)x1)x3，v02，v12306，v263119.3解因?yàn)? 734和816都是偶數(shù)，所以分別除以2得867和408.86740