（浙江專用）高考數(shù)學(xué)第三章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第八節(jié)函數(shù)與方程教案（含解析）.docx

第八節(jié) 函數(shù)與方程1函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)yf(x)，我們把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(2)幾個等價關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根2二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點的關(guān)系000圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)210小題體驗1函數(shù)f(x)ln x的零點所在的大致范圍是()A(1,2)B(2,3)C.和(3,4) D(4，)解析：選B易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)ln 210，f(3)ln 30，得f(2)f(3)0.故選B.2函數(shù)f(x)ex3x的零點個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選B函數(shù)f(x)ex3x在R上是增函數(shù)，f(1)30，f(0)10，f(1)f(0)0，函數(shù)f(x)有唯一零點，且在(1,0)內(nèi)，故選B.3函數(shù)f(x)kx1在1,2上有零點，則k的取值范圍是_答案：1函數(shù)f(x)的零點是一個實數(shù)，是方程f(x)0的根，也是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標2函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象小題糾偏1(2018諸暨模擬)函數(shù)f(x)按照下述方法定義：當x2時，f(x)x22x；當x2時，f(x)(x2)2，則方程f(x)的所有實數(shù)根之和是()A2 B3C5 D8解析：選C畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示：結(jié)合圖象x2時，兩根之和是2，x2時，由(x2)2，解得x3，故方程f(x)的所有實數(shù)根之和是5，故選C.2給出下列命題：函數(shù)f(x)x21的零點是(1,0)和(1,0)；函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則一定有f(a)f(b)0；二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點其中正確的是_(填序號)答案：題組練透1已知實數(shù)a1,0b1，則函數(shù)f(x)axxb的零點所在的區(qū)間是()A(2，1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：選Ba1,0b1，f(x)axxb，f(1)1b0，f(0)1b0，由零點存在性定理可知f(x)在區(qū)間(1,0)上存在零點2設(shè)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4) 解析：選B函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點的橫坐標所在的范圍作出兩函數(shù)大致圖象如圖所示，可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)故選B.3函數(shù)f(x)x23x18在區(qū)間1,8上_(填“存在”或“不存在”)零點解析：法一：f(1)123118200，f(8)823818220，f(1)f(8)0，又f(x)x23x18在區(qū)間1,8的圖象是連續(xù)的，故f(x)x23x18在區(qū)間1,8上存在零點法二：令f(x)0，得x23x180，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18在區(qū)間1,8上存在零點答案：存在謹記通法確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的2種常用方法(1)定義法：使用零點存在性定理，函數(shù)yf(x)必須在區(qū)間a，b上是連續(xù)的，當f(a)f(b)0時，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點(2)圖象法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)g(x)h(x)，作出yg(x)和yh(x)的圖象，其交點的橫坐標即為函數(shù)f(x)的零點典例引領(lǐng)1(2019溫州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)xcos x，則f(x)在0,2上的零點個數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選C如圖，作出g(x)x與h(x)cos x的圖象，可知其在0,2上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在0,2上的零點個數(shù)為3.2已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1的零點的個數(shù)是()A4 B3C2 D1解析：選A由f(f(x)10得f(f(x)1，由f(2)f1得f(x)2或f(x).若f(x)2，則x3或x；若f(x)，則x或x.綜上可得函數(shù)yf(f(x)1的零點的個數(shù)是4，故選A.由題悟法判斷函數(shù)零點個數(shù)的3種方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì)(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點即時應(yīng)用1已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(x)x4的零點個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選B函數(shù)yf(x)x4的零點，即函數(shù)yx4與yf(x)的交點的橫坐標如圖所示，函數(shù)yx4與yf(x)的圖象有兩個交點，故函數(shù)yf(x)x4的零點有2個故選B.2函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選C當x0時，令f(x)0，即x22x0，解得x2或x0(舍去)，所以當x0時，只有一個零點；當x0時，f(x)exx2，而f(x)ex1，顯然f(x)0，所以f(x)在0，)上單調(diào)遞增，又f(0)e00210，f(2)e240，所以當x0時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點綜上，函數(shù)f(x)只有2個零點，故選C.典例引領(lǐng)(2018杭州七校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)mx22ln x在上有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：令f(x)mx22ln x0，則mx22ln x令g(x)x22ln x，則g(x)2x，g(x)在上單調(diào)遞減，在(1，e上單調(diào)遞增，g(x)ming(1)1，又g4，g(e)e22，45e22，gg(e)，數(shù)形結(jié)合知，若函數(shù)f(x)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為.答案：由題悟法已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用3方法直接法直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍分離參數(shù)法先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決數(shù)形結(jié)合法先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解即時應(yīng)用1(2018浙江名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)k(x1)在(，1上恰有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A1,3)B(1,3C2,3) D1，)解析：選A函數(shù)g(x)f(x)k(x1)在(，1上恰有兩個不同的零點，等價于直線yk(x1)與函數(shù)yf(x)的圖象在(，1上有兩個不同的交點作出f(x)的大致圖象如圖所示，因為直線yk(x1)過定點(1,0)，定點(1,0)與點(1,2)和(0,3)連線的斜率分別為1和3，結(jié)合f(x)的圖象可知k的取值范圍是1,3)2若函數(shù)f(x)4x2xa，x1,1有零點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：函數(shù)f(x)4x2xa，x1,1有零點，方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解方程a4x2x可變形為a2，x1,1，2x，2.實數(shù)a的取值范圍是.答案：一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1下列函數(shù)中，在(1,1)內(nèi)有零點且單調(diào)遞增的是()AylogxBy2x1Cyx2 Dyx3解析：選B函數(shù)ylogx在定義域上是減函數(shù)，yx2在(1,1)上不是單調(diào)函數(shù)，yx3在定義域上單調(diào)遞減，均不符合要求對于y2x1，當x0(1,1)時，y0且y2x1在R上單調(diào)遞增故選B.2(2018豫南十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)x32x1的零點所在的大致區(qū)間是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：選A因為f(0)10，f(1)20，則f(0)f(1)20，且函數(shù)f(x)x32x1的圖象是連續(xù)曲線，所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點3(2018寧波期末)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)exx3，則f(x)的零點個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選C因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(0)0，即0是函數(shù)f(x)的一個零點，當x0時，f(x)exx3為增函數(shù)因為f(1)e113e20，fe3e0，所以當x0時，f(x)有一個零點根據(jù)對稱性知，當x0時，函數(shù)f(x)也有一個零點綜上所述，f(x)的零點的個數(shù)為3.4已知函數(shù)f(x)g(x)則函數(shù)f(g(x)的所有零點之和是_解析：由f(x)0，得x2或x2，由g(x)2，得x1，由g(x)2，得x，所以函數(shù)f(g(x)的所有零點之和是1.答案：5已知關(guān)于x的方程x2(k3)xk20的一根小于1，另一根大于1，則k的取值范圍是_解析：設(shè)f(x)x2(k3)xk2，則函數(shù)f(x)為開口向上的拋物線，且f(0)k20，關(guān)于x的方程x2(k3)xk20的一根小于1，另一根大于1，即函數(shù)f(x)的零點位于0,1)，(1，)上故只需f(1)0即可，即1k3k20，解得2k1.答案：(2,1)二保高考，全練題型做到高考達標1(2018寧波高考模擬)設(shè)f(x)則函數(shù)yf(f(x)的零點之和為()A0 B1C2 D4解析：選C令f(x)0，得x0或x1，f(f(x)0，f(x)0或f(x)1，由以上過程可知f(x)0的解為0,1，令f(x)1，得x1或x2，f(f(x)的零點之和為01(1)22.故選C.2(2019紹興模擬)設(shè)函數(shù)f(x)ln x2x6，則f(x)零點的個數(shù)為()A3 B2C1 D0解析：選B法一：函數(shù)f(x)ln x2x6的定義域為(0，)f(x)2，令f(x)0，得x，當0x時，f(x)0，當x時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減因為f40，f5ln 20，f(e2)82e20，所以函數(shù)f(x)在，上各有一個零點，所以函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.法二：令f(x)0，則ln x2x6，令g(x)ln x(x0)，h(x)2x6(x0)，在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)就等于函數(shù)f(x)零點的個數(shù)，容易看出函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為2.3(2017金華期中)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x0時，f(x)(x2)(x3)0.02，則關(guān)于yf(x)在R上零點的說法正確的是()A有4個零點其中只有一個零點在(3，2)內(nèi)B有4個零點，其中兩個零點在(3，2)內(nèi)，兩個在(2,3)內(nèi)C有5個零點都不在(0,2)內(nèi)D有5個零點，正零點有一個在(0,2)內(nèi)，一個在(3，)內(nèi)解析：選C根據(jù)對稱性可以分三種情況研究：x0的情況，f(x)是把拋物線y(x2)(x3)(與x軸交點為2,3)向上平移了0.02，則與x軸交點變到(2,3)之間了，所以在(2,3)之間有兩個零點當x0時，f(x)(x2)(x3)0.02，根據(jù)對稱性(3，2)之間也有兩個零點f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故f(0)0(奇函數(shù)特性)，所以有五個零點，故選C.4已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)kx恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D若關(guān)于x的方程f(x)kx恰有4個不相等的實數(shù)根，則yf(x)的圖象和直線ykx有4個交點作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖，故點(1,0)在直線ykx的下方k10，解得k.當直線ykx和yln x相切時，設(shè)切點橫坐標為m，則k，m.此時，k，f(x)的圖象和直線ykx有3個交點，不滿足條件，故所求k的取值范圍是.5(2018湖南考前演練)設(shè)x0是函數(shù)f(x)2x|log2x|1的一個零點，若ax0，則f(a)滿足()Af(a)0 Bf(a)0Cf(a)0 Df(a)0解析：選A當x1時，f(x)2xlog2x1，易證2xx1x.又函數(shù)y2x的圖象與ylog2x的圖象關(guān)于直線yx對稱，所以2xx1xlog2x，從而f(x)0.故若a1，有f(a)0；若0a1，因為當0x1時，f(x)2xlog2x1，顯然f(x)單調(diào)遞增，又f(1)10，f20，所以x0是f(x)唯一的零點，且0x01，所以f(a)0，故選A.6(2018余杭地區(qū)部分學(xué)校測試)已知函數(shù)f(x)若方程f(x)a有三個不等的實數(shù)根，則a的取值范圍為_；不等式f(f(x)1的解集為_解析：作出函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，方程f(x)a有三個不等的實數(shù)根，即直線ya與函數(shù)yf(x)的圖象有三個不同的交點，結(jié)合圖象知a(0,1)設(shè)f(x)t，則不等式f(f(x)1可轉(zhuǎn)化為f(t)1，故得t0或t2，由f(x)0得x1，由f(x)2得xlog231，所以f(f(x)1的解集為1,1log231，)答案：(0,1)1,1log231，)7已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，轉(zhuǎn)化為f(x)m0的根有3個，進而轉(zhuǎn)化為yf(x)，ym的交點有3個畫出函數(shù)yf(x)的圖象，則直線ym與其有3個公共點又拋物線頂點為(1,1)，由圖可知實數(shù)m的取值范圍是(0,1)答案：(0,1)8(2019臺州三校適考)已知f(x)x2，若關(guān)于x的方程f(|2x1|)k0有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為_解析：令t|2x1|(x0)，則方程f(|2x1|)k0可化為方程f(t)k0，作出函數(shù)y|2x1|(x0)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象分析可知，關(guān)于t的方程f(t)k0在(0,1)上有兩個不同的實數(shù)解f(t)k0可化為t2(3k2)t12k0，記g(x)x2(3k2)x12k，則g(x)在(0,1)上有兩個不同的零點，所以解得所以實數(shù)k的取值范圍為.答案：9已知函數(shù)f(x)x3x2.證明：存在x0，使f(x0)x0.證明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0.又函數(shù)g(x)在上是連續(xù)曲線，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.10(2018杭州模擬)已知函數(shù)f(x)x22axa2，(1)若f(x)0的解集Ax|0x3，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若g(x)f(x)|x21|在區(qū)間(0,3)內(nèi)有兩個零點x1，x2(x1x2)，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)若A，則4a24(a2)4(a2)(a1)0，解得1a2；若A，則2a.綜上得1a.故實數(shù)a的取值范圍為.(2)g(x)x22axa2|x21|若a0時，g(x)無零點；若a0時，由于h(x)2axa3在(0,1)單調(diào)，所以在(0,1)內(nèi)h(x)至多只有一個零點記(x)2x22axa1.若0x11,1x23，