湖北省武漢市為明實驗學校九年級數學《二次函數yax2k圖象和性質》.ppt

26.1二次函數y=ax2+k圖象和性質（2）,y=x2-1,y=x2+1,二次函數y=ax2的性質,開口向上,開口向下,a的絕對值越大，開口越小,關于y軸對稱,頂點坐標是原點（0，0）,頂點是最低點,頂點是最高點,在對稱軸左側遞減 在對稱軸右側遞增,在對稱軸左側遞增 在對稱軸右側遞減,二次函數的圖像,例2. 在同一直角坐標系中,畫出二次函數y=x2+1和y=x2 1的圖像,解: 先列表,然后描點畫 圖,得到y(tǒng)= x21,y=x21的圖像.,(1) 拋物線y=x2+1,y=x21的開口方向、對稱軸、頂點各是什么? (2)拋物線y=x2+1,y=x21與拋物線y=x2有什么關系?,討論,拋物線y=x2+1:,開口向上,頂點為(0,1).,對稱軸是y軸,拋物線y=x21:,開口向上,頂點為(0, 1).,對稱軸是y軸,y=x2+1,y=x21,二次函數的圖像,拋物線y=x2+1,y=x21與拋物線y=x2的關系:,y=x2+1,拋物線y=x2,拋物線 y=x21,向上平移 1個單位,把拋物線y=2x2+1向上平移5個單位,會得到那條拋物線?向下平移3.4個單位呢?,拋物線y=x2,向下平移 1個單位,思考,(1)得到拋物線y=2x2+6,(2)得到拋物線y=2x22.4,y=x21,y=x2,拋物線 y=x2+1,歸納,一般地,拋物線y=ax2+k有如下特點:,(1)當a0時, 開口向上;,當a0時,開口向下;,(2)對稱軸是y軸;,(3)頂點是(0,k).,拋物線y=ax2+k可以由拋物線y=ax2向上或向下平移|k|得到.,(k0,向上平移;k0向下平移.),二次函數y=ax2+k的性質,開口向上,開口向下,a的絕對值越大，開口越小,關于y軸對稱,頂點是最低點,頂點是最高點,在對稱軸左側遞減 在對稱軸右側遞增,在對稱軸左側遞增 在對稱軸右側遞減,（1）拋物線y= 2x2+3的頂點坐標是 ,對稱軸是 ，在_ 側，y隨著x的增大而增大；在 側，y隨著x的增大而減小，當x= _ 時，函數y的值最大，最大值是 ,它是由拋物線y= 2x2線怎樣平移得到的_.,練習,（ 2）拋物線 y= x-5 的頂點坐標是_，對稱軸是_,在對稱軸的左側，y隨著x的 ；在對稱軸的右側，y隨著x的 ，當x=_時，函數y的值最_，最小值是 .,1、按下列要求求出二次函數的解析式： （1）已知拋物線y=ax2+c經過點（-3，2）（0，-1）,求該拋物線線的解析式。,（2）形狀與y=-2x2+3的圖象形狀相同，但開口方向不同，頂點坐標是（0，1）的拋物線解析式。,（3）對稱軸是y軸，頂點縱坐標是-3，且經過（1，2）的點的解析式，,做一做：,2、在同一直角坐標系中，一次函數y=ax+c和二次函數y=ax2+c的圖象大致是如圖中的（ ）,二次函數y=ax2+k的性質,開口向上,開口向下,a的絕對值越大，開口越小,關于y軸對稱,頂點是最低點,頂點是最高點,在對稱軸左側遞減 在對稱軸右側遞增,在對稱軸左側遞增 在對稱軸右側遞減,小結,再見,例：畫出函數 的圖像,x,y=-1/2(x+1)2,.,.,.,.,.,.,0,-3,-2,-1,2,3,1,y=-1/2(x-1)2,-2,-0.5,0,-0.5,-2,-4.5,-4.5,-2,-0.5,0,-0.5,-2,x= -1,x=1,想一想：三條拋物線 有什么關系？,答：形狀相同，位置不同。 三個圖象之間通過沿x軸平 移可重合。,小 結,向上,向上,向下,向下,Y軸,X = -h,Y軸,X = h,（0，0）,（h，0）,（0，0）,（-h，0）,26二次函數y=a (x+m)2+k的圖像,y=ax2,y=a(x-h)2,y=ax2+c,y=ax2,c0,c0,上移,下移,左 加,右 減,說出平移方式，并指出其頂點與對稱軸。,頂點x軸上:(h,0),頂點y軸上:(0,c),問題:頂點不在坐標軸上的二次函數又如何呢？,1把二次函數y =6(x+3)2的圖像，沿y 軸向下平移2個單位，向左平移個單位，得到_的圖像. 2把二次函數_的圖像，沿x 軸向右平移2個單位，沿y 軸向下平移3個單位，得到y(tǒng) =6(x-3)2+5的圖像. 3把二次函數y =6(x-3)2+5的圖像，沿x 軸_平移_個單位，再沿y 軸向_平移_個單位，圖像過原點.,自測：,例題,例3.畫出函數 的圖像.指出它的開口方向、頂點與對稱軸、,解: 列表,描點、連線,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,直線x=1,拋物線 的開口方向、對稱軸、頂點?,拋物線 的開口向下,對稱軸是直線x=1,頂點是(1, 1).,向左平移1個單位,向下平移1個單位,向左平移1個單位,向下平移1個單位,平移方法1:,平移方法2:,二次函數圖像平移,x=1,(2)拋物線 與 有什么關系?,歸納,一般地,拋物線y=a(xh)2k與y=ax2形狀相同,位置不同.把拋物線y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到拋物線y=a(x h)2k.平移的方向、距離要根據h、k的值來決定.,向左(右)平移|h|個單位,向上(下)平移|k|個單位,y=ax2,y=a(xh)2,y=a(xh)2+k,y=ax2,y=a(xh)2+k,向上(下)平移|k|個單位,y=ax2+k,向左(右)平移|h|個單位,平移方法:,拋物線y=a(xh)2+k有如下特點:,(1)當a0時, 開口向上;當a0時,開口向上;,(2)對稱軸是直線x=h;,(3)頂點是(h,k).,練習,向上,(1,2),向下,向下,(3,7),(2,6),向上,直線x=3,直線x=1,直線x=3,直線x=2,(3,5),y=3(x1)22,y = 4(x3)27,y=5(2x)26,1.完成下列表格:,2.請回答拋物線y = 4(x3)27由拋物線y=4x2怎樣平移得到?,3.拋物線y =4(x3)27能夠由拋物線y=4x2平移得到嗎?,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x - h )2,y = a( x - h )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,結論: 拋物線 y = a(x-h)2+k與y = ax2形狀相同，位置不同。,各種形式的二次函數的關系,如何平移：,一個運動員推鉛球，鉛球出手點在A處，出手時球離地面 ，鉛球運行所經過的路線是拋物，已知鉛球在運動員前4處達到最高點，最高點高為3，你能算出該運動員的成績嗎？,4米,3米,一場籃球賽中,小明跳起投籃,已知球出手時離地面高 米,與籃圈中心的水平距離為8米,當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米,設籃球運行的軌跡為拋物線,籃圈中心距離地面3米。,問此球能否投中？,3米,8米,4米,4米,（4，4）,（8，3）,在出手角度和力度都不變的情況下,小明的出手高度為多少時能將籃球投入籃圈?,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,（8，3）,（5，4）,（4，4）,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,在出手角度、力度及高度都不變的情況下，則小明朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃也能將籃球投入籃圈？,(，）,練習,y= 2（x+3）2-2,畫出下列函數圖象，并說出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點，最大值或最小值各是什么及增減性如何？,y= 2（x-3）2+3,y= 2（x-2）2-1,y= 3（x+1）2+1,練習1,在平面直角坐標系xoy中畫出 二次函數y= (x6)2+3的圖像； 此圖象與x軸、y軸交點坐標各是多少？ 根據圖像，說出x取哪些值，函數值y=0？y0？y0？,例題2,已知拋物線 ，將這條拋物線平移，當它的頂點移到點M（2，4）的位置時，所得新拋物線的表達式是什么？,練習2 與二次函數y=2(x+3)21的圖像形狀相同，方向相反，且過點（-2，0）,(-3,-10)的是函數_的圖像.,例3,拋物線y=x2+mx-n的對稱軸為x=3，且過點（0，4）求m、n的值 練習3 拋物線 向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線 ，求b、c的值,拓展：求解析式,1、已知二次函數的圖像的對稱軸是直線x=4，在y軸上的截距為6，且過點（2，0）求它的解析式。 2、在同一直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c的圖像與一次函數y=kx+m的圖像交于點（3，13），若一次函數的圖像在y軸上截距是1，當x=1時二次函數的最小值是5，求這兩個函數的解析式。,3、已知二次函數的圖像經過點（1，9）和（2，4）且它與x軸只有一個交點，求這個二次函數。 4、如圖所示的拋物線是把y=-x2經過平移而得到的，這時拋物線經過原點O和X軸正方向上一點A，頂點為P，當OPA=90時，求拋物線的頂點P的坐標及解析式,5、已知A為拋物線 的頂 點，B為拋物線與y軸的交點。C為X軸上一點，設線段BC，AC，AB的長度分別為a，b，c當a+c=2b時求經過B、C兩點直線的解析式。,例題,C(3,0),B(1，3),例4.要修建一個圓形噴水池,在池中心豎直安裝一根水管.在水管的