隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布.ppt

第四節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布,X 是分布已知的隨機(jī)變量，g ( ) 是一個(gè)已知 的連續(xù)函數(shù)，如何求隨機(jī)變量 Y =g(X ) 的分布？,比較常見的一些函數(shù) y = g(x) 的形式是 線性函數(shù) y = a + bx、冪函數(shù) y = xk (特別 k = 2 )、 指數(shù)函數(shù) y = e x、對(duì)數(shù)函數(shù) y = ln x 等等； 概率論中的很多重要的分布都是通過一些 簡單的分布變換得出來的。,一. 離散隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布,如果離散隨機(jī)變量 X 具有分布律： P X = xk = pk , k 1 ； 則 Y = g(X) 也是一個(gè)離散隨機(jī)變量，相應(yīng)分布律是 P Y = g(xk ) = pk , k 1 。 需要把可能重合的一些 g (xk ) 的概率相加,思考1 X B (1,p) ，則 Y = X2 服從什么分布？,例2.5.1 已知隨機(jī)變量 X 具有如下的分布律， X 1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 計(jì)算 Y = (X 1)2 的概率分布。,例2.5.2 (報(bào)童問題) 假定報(bào)童有 5 份報(bào)紙，賣出的數(shù)量 X 分布律如下,k 0 1 2 3 4 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1,他每賣掉一份報(bào)紙將獲得報(bào)酬 1 元，沒有賣出 而剩下的每份賠償 0.5 元。計(jì)算最終所得的分布。,解. 以 Y 記報(bào)童最終的所得，因此有 Y = 1X 0.5( 5 X) = 1.5 X 2.5,k 0 1 2 3 4 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1,X 的分布律,k 2.5 1 0.5 2 3.5 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1,Y = 1.5 X 2.5 的分布律,三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,解：設(shè)Y的分布函數(shù)為 FY(y)，,FY(y)=P Y y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),于是Y 的密度函數(shù),故,注意到 0 x 4 時(shí)，,即 8 y 16 時(shí)，,此時(shí),Y=2X+8,求導(dǎo)可得,當(dāng) y0 時(shí),注意到 Y=X2 0，故當(dāng) y 0時(shí)，,解： 設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為 和 ，,若,則 Y=X2 的概率密度為：,其中，,此定理的證明與前面的解題思路類似.,x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù),定理 設(shè) X是一個(gè)取值于區(qū)間a,b，具有概率 密度 f(x)的連續(xù)型r.v,又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，且 對(duì)于任意x, 恒有 或恒有 ，則 Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型r.v，它的概率密度為,下面我們用這個(gè)定理來解一個(gè)例題 .,例6 設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在區(qū)間(0,1)上,函數(shù)lnx0,故 y=-2lnx0,于是 y在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù),由前述定理得,注意取 絕對(duì)值,已知X在(0,1)上服從均勻分布，,代入 的表達(dá)式中,得,即Y服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.,如果 X N (, 2 ) ，常數(shù) b 0 ，則有 Y = a + bX N ( a + b , b2 2 ),一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的相互轉(zhuǎn)化,(1) 如果 X N (, 2 ) ， Y = N (0,1) ；,X ,正態(tài)分布的線性變換仍然服從正態(tài)分布,(2) 如果 X N ( 0,1 ) ， Y = + X N (, 2 ),練習(xí)2.5.3 X U (0,1) ，那么 Y = 1 X 服從什么分布？一般地，均勻分布的線性變換是否仍是均