走進(jìn)數(shù)學(xué)思維·鄭毓信.ppt

走進(jìn)數(shù)學(xué)思維,鄭毓信 2008，12于廣東,引入：從一篇文章談開去,“關(guān)于數(shù)學(xué)教育若干重要問題的探討對(duì)話特級(jí)教師王凌的讀書筆記”（王凌、余慧娟，人民教育，2008第七期），第39-45頁） 主要內(nèi)容：對(duì)于若干“語錄”的解讀。,背景（按）,前一段時(shí)間，我在網(wǎng)上神游，忽然發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)教育網(wǎng)站、數(shù)學(xué)教師的博客上都流傳首“王凌的35條精彩語錄”，而且點(diǎn)擊率很高。如今能成為“語錄”的東西該是稀罕物了。打開仔細(xì)一看，真是“精彩”！濃縮了不少數(shù)學(xué)教育的思想精華。能寫如此“精彩語錄”的人，不用管“語錄”從何而來，都代表了一種學(xué)養(yǎng)，一種品位。我決定見識(shí)見識(shí)這位隱藏著的智者，就其中的某些“語錄”向王老師發(fā)問。經(jīng)過兩輪挑戰(zhàn)和對(duì)話，形成了如下的文字，,一個(gè)值得思考的問題,一篇讀書筆記為什么會(huì)引起人們?nèi)绱说呐d趣？ 這一事件又給了我們什么樣的啟示？,按,我決定見識(shí)見識(shí)這位隱藏著的智者經(jīng)過兩輪挑戰(zhàn)和對(duì)話，形成了如下的文字，也拿來與更多的讀者分享數(shù)學(xué)教師該讀什么書，數(shù)學(xué)教育的精髓是什么？數(shù)學(xué)理論該如何用實(shí)踐來解讀這一系列困擾每一個(gè)教師的問題的答案。,另一段對(duì)話,“這些筆記的確很精辟，但是我覺得您的解讀更精彩，從某種角度講，能用恰到好處的實(shí)例來解讀理論的人，比只會(huì)給出抽象理論的人更偉大，因?yàn)檫@不但表明消化理論的能力，也代表了思考的透徹與思想的成熟。您讓我們看到了濃縮的理論后面豐富的實(shí)踐風(fēng)景，同時(shí)也引發(fā)了新的思維風(fēng)暴?！?啟示（1）：教學(xué)研究的一條可能途徑,用恰到好處的實(shí)例來解讀理論。,啟示（2）：關(guān)于教師培訓(xùn)工作,培訓(xùn)形式的必要轉(zhuǎn)變。 應(yīng)當(dāng)積極引導(dǎo)教師去讀書、讀好書。,加強(qiáng)學(xué)習(xí)的意義（1）,了解發(fā)展動(dòng)態(tài)，明確教學(xué)研究的方向。,例1 一段評(píng)論,“新課程實(shí)施以來，廣大一線教師在實(shí)踐中不斷遇到新問題，如算法多樣化、創(chuàng)設(shè)情境、小組合作等，隨著課程改革的深入，老師們對(duì)這些問題的認(rèn)識(shí)逐步趨于清晰并付諸實(shí)踐，而近兩年來，解決問題的教學(xué)成了教師們最為關(guān)注的話題”（小學(xué)數(shù)學(xué)教育編輯部 ，2008年第七期）,例2 另一篇受歡迎的文章,邱學(xué)華等：“2007年小學(xué)數(shù)學(xué)教育的回顧與展望”（小學(xué)教學(xué)，2008年第三期） 相關(guān)的大事； 熱點(diǎn)問題； 重要著作與論文。 展望。,加強(qiáng)學(xué)習(xí)的意義（2）,增強(qiáng)判斷能力，防止對(duì)于時(shí)髦潮流的盲目追隨。,例3 一段心得體會(huì),“最大的讀書心得是什么？許多事情，過去有過；許多問題，前人想過，許多辦法，曾經(jīng)用過；許多錯(cuò)誤，屢屢犯過。懂得先前的事情，起碼不至于輕信，不至于盲從。” （陳四益，文藝報(bào)，2005，9，17）,例4 美國課程改革的相關(guān)教訓(xùn),第一，對(duì)基本知識(shí)和技能的忽視。 第二，不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)形式，即如對(duì)于合作學(xué)習(xí)的過分強(qiáng)調(diào)等，但卻未能很好地發(fā)揮教師應(yīng)有的作用。特別是，由于“建構(gòu)主義”的盛行，人們認(rèn)為學(xué)生只能掌握（或理解）其自身或通過同伴間合作所得以“建構(gòu)”的知識(shí)，而這事實(shí)上就從根本上消取了教師在教學(xué)中所應(yīng)發(fā)揮的主導(dǎo)作用。,第三，數(shù)學(xué)并不只是一種有趣的活動(dòng)，僅僅使數(shù)學(xué)變得有趣起來并不能保證數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定能夠獲得成功，因?yàn)?，?shù)學(xué)上的成功還需要艱苦的工作。事實(shí)是，在實(shí)踐中我們經(jīng)?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象，即為了吸引學(xué)生的興趣，教師或教材把注意力和大量的時(shí)間放到了相應(yīng)的活動(dòng)或情景之上，但卻沒有能集中于其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這當(dāng)然是一種本末倒置。,第四，課程組織過分強(qiáng)調(diào)情景學(xué)習(xí)，而忽視了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。例如，在按照這種思想所編制的一些中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，傳統(tǒng)的關(guān)于幾何、代數(shù)和三角的區(qū)分被取消了，取而代之則是所謂的整合性數(shù)學(xué)，也即主要圍繞實(shí)際生活來組織有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。然而，盡管后者具有綜合性的特點(diǎn)，并較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)際意義，但卻未能使學(xué)生較好地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)。,第五，未能給予數(shù)學(xué)推理足夠的重視。盡管課程標(biāo)準(zhǔn)明確地指出應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的能力，但是，就實(shí)踐而言，所唯一得到強(qiáng)調(diào)的只是實(shí)驗(yàn)與猜測(cè)在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要作用，而邏輯與證明則完全被拋棄了。,第六，廣而淺薄，這即是指，由于未能很好地區(qū)分什么是最重要的和不那么重要的，現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教育表現(xiàn)出了廣而淺的弊病。特殊地，大眾數(shù)學(xué)看來忽視了不同的學(xué)生有著不同的需要，而一種更應(yīng)注意避免的弊病則是將為一切人的數(shù)學(xué)變成了最小公分母式的教育。”（“千年之交的美國數(shù)學(xué)教育”，載鄭毓信，數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代發(fā)展，江蘇教育出版社，1999年）,加強(qiáng)學(xué)習(xí)的意義（3）,從長遠(yuǎn)的角度看，能夠不斷提高自己的理論素養(yǎng)，開拓視野，增強(qiáng)思維的深刻性。,插入：一點(diǎn)建議,無論是專業(yè)的理論研究工作者，或是在職教師或未來的教師，都應(yīng)經(jīng)常自問：什么是自己專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)最為重要的一些著作或論文？ 教育領(lǐng)域內(nèi)的各個(gè)專家、包括各級(jí)教研員以及優(yōu)秀教師都能為一線教師認(rèn)真推薦本專業(yè)的幾本好書或好的文章。,我的推薦：一個(gè)值得關(guān)注的領(lǐng)域數(shù)學(xué)教育哲學(xué),（1）數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的興起 必要的思考：這是否僅僅是一種時(shí)髦，還是有其一定的必然性，合理性？,（2）數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的主要內(nèi)容,數(shù)學(xué)觀 數(shù)學(xué)教育觀 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀與數(shù)學(xué)教學(xué)觀,（3）回到主題,什么是數(shù)學(xué)教育的價(jià)值？特別是，數(shù)學(xué)教育對(duì)于提升學(xué)生的素養(yǎng)究竟又能起到怎樣的作用？ 基本立場(chǎng)：我們既應(yīng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的特殊性，同時(shí)也應(yīng)高度重視教育的整體性質(zhì)。,可能的結(jié)論,（1）充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價(jià)值； （2）幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，乃至“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”。,進(jìn)入主題：走進(jìn)數(shù)學(xué)思維！,一個(gè)持續(xù)的熱點(diǎn)； 現(xiàn)狀與問題： 第一，普遍存在的一個(gè)思想障礙：由于小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容較為簡單，因此就不可能很好體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維； 第二，在現(xiàn)實(shí)中我們并可經(jīng)?？吹健昂唵我浦病薄ⅰ半S意拔高”等作法。,當(dāng)務(wù)之急,應(yīng)當(dāng)針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際情況、包括具體的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知水平更為深入去開展工作，特別是， 第一，清楚的界定； 第二，很好處理具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容（包括知識(shí)與技能）的教學(xué)與數(shù)學(xué)思維的教學(xué)之間的關(guān)系。,一、從數(shù)學(xué)抽象談起,父：“如果你有一個(gè)橘子，我再給你兩個(gè)，你數(shù)數(shù)看一共有幾個(gè)橘子？” 子：“不知道！在學(xué)校里，我們都是用蘋果數(shù)數(shù)的，從而不用橘子。（譯林文摘版）,數(shù)學(xué)最基本的特性：抽象性,“甚至對(duì)數(shù)學(xué)只有膚淺的知識(shí)就能容易地察覺到數(shù)學(xué)的這些特征：第一是它的抽象性，。抽象性在簡單的計(jì)算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來。我們運(yùn)用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對(duì)象聯(lián)系起來。我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)的是抽象的乘法表總是數(shù)字的乘法表，而不是男孩的數(shù)目乘上蘋果的數(shù)目，或是蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價(jià)錢等等。”（亞歷山大洛夫）,數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí),第一，數(shù)學(xué)抽象源于現(xiàn)實(shí)生活，包括具體的事物與現(xiàn)象，以及人們的運(yùn)作； 第二，數(shù)學(xué)抽象又高于現(xiàn)實(shí)，并是一種建構(gòu)的活動(dòng)，即包含了與現(xiàn)實(shí)世界在一定程度上的分離。,分析與思考,“數(shù)學(xué)，對(duì)學(xué)生來說，就是利用自己的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的一種解讀?！保ㄞD(zhuǎn)引自衡鋒，“錯(cuò)題演繹的精彩”，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2007年第十期） 對(duì)照：學(xué)習(xí)主要是一個(gè)“順應(yīng)”的過程，也即如何對(duì)主體已有的認(rèn)知框架作出必要的調(diào)整或重建。,例一 這個(gè)學(xué)生缺的究竟是什么？ （樓文勝，“問題到底出在哪兒？”）,任課教師要求學(xué)生求解這樣一個(gè)問題：“52型拖拉機(jī)，一天耕地150畝，問12天耕地多少畝？” 一位學(xué)生是這樣解題的：5215012=,接下來的對(duì)話,“告訴我，你為什么這么列式？” “老師，我錯(cuò)了。” “好的，告訴我，你認(rèn)為正確的該怎么列式？” “除?！?“怎么除？” “大的除以小的?！?“為什么是除呢？” “老師，我又錯(cuò)了?！?“你說，對(duì)的該是怎樣呢？” “應(yīng)該把它們加起來。”,啟而不發(fā)？,“我們換一個(gè)題目，比如你每天吃兩個(gè)大餅，5天吃幾個(gè)大餅？” “老師，我早上不吃大餅的?！?“那你吃什么？” “我經(jīng)常吃粽子?！?“好，那你每天吃兩個(gè)粽子，5天吃幾個(gè)粽子？”,“老師，我一天根本吃不了兩個(gè)粽子?！?“那你能吃幾個(gè)粽子？” “吃半個(gè)就可以了?！?“好，那你每天吃半個(gè)（小數(shù)乘法沒學(xué)）粽子，5天吃幾個(gè)粽子？” “兩個(gè)半?！?“怎么算出來的？” “兩天一個(gè)，5天兩個(gè)半?！?結(jié)論之一,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維的首要涵義：學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象（模式化）。 數(shù)學(xué)：模式的科學(xué)。這就是指，數(shù)學(xué)所反映的不只是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)。,例二 這能否算一堂真正的數(shù)學(xué)課？,這是關(guān)于“問題解決”的一個(gè)教學(xué)實(shí)例，教師要求一群三年級(jí)的學(xué)生求解以下的問題： “某女士外出旅行時(shí)帶了兩件不同顏色的上衣和三條不同顏色的裙子，問共有多少種不同的搭配方法？” 教師鼓勵(lì)學(xué)生們用“實(shí)驗(yàn)”的方法去解決問題：學(xué)生拿出了筆和紙，開始在紙上實(shí)際地畫出各種可能的搭配結(jié)果表明，在大多數(shù)情況下學(xué)生都可憑借自身的努力（單獨(dú)地或合作地）得出正確的解答。,事后的思考,學(xué)生通過這一教學(xué)活動(dòng)究竟學(xué)到了什么，特別是，這些學(xué)生能否被認(rèn)為已經(jīng)掌握了相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)？,更多的問題,某人有兩套不同的西裝和三條不同顏色的領(lǐng)帶，問共有多少種不同的搭配方法？ 有兩個(gè)軍官和三個(gè)士兵，現(xiàn)由一個(gè)軍官和一個(gè)士兵組成巡邏隊(duì)，問共有多少種不同的組成方式？ 某女士外出旅行時(shí)帶了三件不同顏色的上衣和四條不同顏色的裙子，問共有多少種不同的搭配方法？ 有三個(gè)軍官和四個(gè)士兵，現(xiàn)由一個(gè)軍官和一個(gè)士兵組成巡邏隊(duì)，問共有多少種不同的組成方式？,結(jié)論之二,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵：應(yīng)當(dāng)超越問題的現(xiàn)實(shí)情境過渡到抽象的數(shù)學(xué)模式。（ “去情境化”） 相關(guān)的論述：數(shù)學(xué)教學(xué)必定包括“去情景化、去個(gè)人化和去時(shí)間化”。 問題：如何才能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“去情境化”？,例三 “找規(guī)律” （黃愛華、胡愛民）,“師：在中國少年先鋒隊(duì)鼓號(hào)隊(duì)的鼓號(hào)曲里，我們把第一個(gè)音唱做咚，第二個(gè)音唱做噠，第三個(gè)音唱做啦，所以這個(gè)樂句就變成咚 噠啦咚 噠啦咚 噠啦 “請(qǐng)想一想：第16個(gè)音符是什么？為了能讓別人看得一清二白，請(qǐng)你在草稿本上用一種合適的方式表示出來，可以寫一寫、畫一畫、算一算。”,方法一：用圖形表示 方法二：用數(shù)字表示 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 1,結(jié)論之三,模式化的重要手段之一：引入適當(dāng)?shù)膱D形或符號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)與具體情境在一定程度上的分離。,二、數(shù)學(xué)中的分類,課改以來的一個(gè)新增內(nèi)容。 相應(yīng)的思考：究竟什么是數(shù)學(xué)中的分類？這與一般的分類又有什么不同（顯然，這也直接關(guān)系到了究竟什么是數(shù)學(xué)課所應(yīng)當(dāng)具有的“數(shù)學(xué)味”）？,例四 幾何模塊的分類,常見的組織方式。,分析與思考,問題：我們是否應(yīng)當(dāng)同樣地去肯定學(xué)生所提出的各種分類方法，包括按形狀、顏色和材料等進(jìn)行分類？ 有益的對(duì)照：自然數(shù)的認(rèn)識(shí)。,進(jìn)一步的問題：數(shù)學(xué)中究竟又為什么要進(jìn)行分類？,例四 “100以內(nèi)加減法練習(xí)”,34+42 =76， 37+17 =54， 69 -15 =54， 59 +17=76， 91 -15 =76， 83 - 29=54。,“師：剛才全體小朋友認(rèn)認(rèn)真真地做好了六道100以內(nèi)的加減計(jì)算題，并且做得很對(duì)。現(xiàn)在我們?cè)賮碜屑?xì)觀察這六道題，如果我們把它們分成兩類，你有什么好辦法？為什么可以這樣分？”,方法一：按照得數(shù)相同來分； 方法二：按加法和減法來分； 方法三：按不進(jìn)位加法和不退位減法、以及進(jìn)位加法和退位減法來分；,方法四：把 37+17、59 +17分成一組，把34+42、69-15、91-15 、83-29分成一組。（因?yàn)榍皟烧咧卸及?7。） 方法五：把34 + 42 = 76分成一組，剩下的為一組。（因?yàn)榍罢咚婕暗亩际桥紨?shù)。）,教師的總結(jié),“教學(xué)中教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來分析問題進(jìn)行合理的分類，讓學(xué)生通過相互的交流，從中感受到分類結(jié)果在不同標(biāo)準(zhǔn)下的多樣性，感受到不同標(biāo)準(zhǔn)的分類有著不同的意義和作用，就能使學(xué)生的思維得到發(fā)散，使學(xué)生的不同思想方法得到充分有效的交流?！?但是，我們究竟為什么要進(jìn)行分類？,結(jié)論之四,分類應(yīng)當(dāng)具有明確的目的性。 第一，歸類：數(shù)學(xué)抽象的直接基礎(chǔ)； 第二，不同類別的區(qū)分：由簡到繁、由特殊到一般地去開展研究。 分類問題也需要優(yōu)化。（用數(shù)學(xué)家的眼光去看待世界、分析問題、解決問題。）,一個(gè)練習(xí),“制作正方體及長方體的折紙圖樣”（展開圖）。 問題：如何去判別一個(gè)六聯(lián)方是不是正方體的展開圖？正方體又一共有多少種不同的六聯(lián)方展開圖？（馮振業(yè)：“通過數(shù)學(xué)化教學(xué)進(jìn)行教材研發(fā)及教師培訓(xùn)”，小學(xué)數(shù)學(xué)，2008年第五期）,例五 “三角形的分類”,究竟什么應(yīng)是這一堂課的教學(xué)重點(diǎn)：是角的度量？還是分類的必要性與合理性？ 一個(gè)重要的思想：分類活動(dòng)的科學(xué)性。,一個(gè)相關(guān)的研究：數(shù)學(xué)家與初學(xué)者（學(xué)生）的比較,問題的不同分類： 按問題的“表層結(jié)構(gòu)”（事實(shí)性內(nèi)容與表述方式）與“深層結(jié)構(gòu)”（內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、解題方法）。 學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維的又一重要內(nèi)涵：由“表層結(jié)構(gòu)”逐步深入到“深層結(jié)構(gòu)”。,例六 水池問題 （祝中錄）,“學(xué)生在解決水池問題時(shí)，往往會(huì)認(rèn)為水池一邊開進(jìn)水管，一邊開出水管，不論經(jīng)過多長時(shí)間都不會(huì)注滿水池。在教學(xué)時(shí)教師可以不急于講解，而是引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中類似的實(shí)例。（1）追及問題。客車每小時(shí)行40千米，小汽車每小時(shí)行50千米?，F(xiàn)在客車在小汽車前25千米的地方，同時(shí)沿筆直的公路行駛，多長時(shí)間小汽車能追上客車？（2）儲(chǔ)蓄問題。爸爸每月工資420元，媽媽每月工資300元，每月平均支出450元，余下的錢存在銀行，幾個(gè)月后能買一臺(tái)價(jià)格1350元的電視機(jī)？通過這些實(shí)例學(xué)生就容易弄明白只要進(jìn)水量大于出水量，經(jīng)過一段時(shí)間水池就一定能注滿水?！?結(jié)論之五,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維的又一重要內(nèi)涵：思維的必要優(yōu)化。,三、數(shù)學(xué)中的類比,數(shù)學(xué)思維的合理發(fā)展：由歸類、到分類、到類比（聯(lián)想）。 問題：究竟什么是類比（聯(lián)想）？在小學(xué)數(shù)學(xué)中我們又應(yīng)如何去進(jìn)行類比（聯(lián)想）的教學(xué)？,一個(gè)常見的說法,“我們觀察到兩個(gè)或兩類事物在許多屬性上都相等，便推出它們?cè)谄渌鼘傩陨弦蚕嗤?。這就是類比法?！?例七 必要的思考：一些實(shí)例,一元一次方程、一元二次方程與一元三次方程的比較。 等腰三角形與等腰梯形的比較。,結(jié)論之六：什么是真正的類比？,類比在數(shù)學(xué)中重要作用：就是通過兩個(gè)不同對(duì)象的比較由已經(jīng)獲得的知識(shí)去引出新的猜測(cè)。 成功應(yīng)用類比聯(lián)想的關(guān)鍵：求同存異,為了應(yīng)用類比，我們不需要相關(guān)對(duì)象在所有方面都完全一樣，而只要求在這兩者在某一方面或在某一抽象層次上是相似的，這就是“求同”，也即如何能在抽象分析的基礎(chǔ)上找出兩個(gè)對(duì)象的“類似之處”。 “存異”則是指新的猜測(cè)的產(chǎn)生并不是簡單的重復(fù)、模仿，而是一種創(chuàng)造性的工作，特別是，在由已知事實(shí)去引出新的猜測(cè)時(shí)，我們必須注意分析兩者之間所存在的差異，也即必須依據(jù)對(duì)象的具體情況作出適當(dāng)?shù)摹罢{(diào)正”。,結(jié)論之七,相對(duì)于歸類與分類而言，類比聯(lián)想是一種更為高級(jí)的思維形式。 教學(xué)中的關(guān)鍵：如何能夠針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平去有針對(duì)性地去進(jìn)行教學(xué)？,四、問題解決與數(shù)學(xué)思維從“植樹問題”談開去,教學(xué)研究的一個(gè)持續(xù)熱點(diǎn)：“眾所周知，植樹問題是一個(gè)經(jīng)典的問題，長期備受眾多專家、特級(jí)老師的青睞，曾經(jīng)無數(shù)次被搬上舞臺(tái)演繹出許多經(jīng)典課例。”（酈丹）,“植樹問題”與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,“在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，解題不是主要的教學(xué)目的，主要的任務(wù)是向?qū)W生滲透一種思想，”（吳荔丹，“植樹問題教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析”，小學(xué)數(shù)學(xué)教師2008年No.1) “設(shè)計(jì)上的一個(gè)重要思考是向?qū)W生滲透一種思想，一種在數(shù)學(xué)上和研究問題方面都很重要的思想”（張錫忠，“植樹問題課堂實(shí)錄”，小學(xué)數(shù)學(xué)2008年No.2）,另外一些共同點(diǎn),任課教師通常特別重視關(guān)于“植樹問題”的三種不同類型的區(qū)分，也即所謂的“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”。 就上述三個(gè)類型的區(qū)分而言，設(shè)計(jì)者又往往歸結(jié)為“規(guī)律的發(fā)現(xiàn)”，并普遍地采取了“學(xué)生獨(dú)立探究（或分組探究）、反饋交流、教師總結(jié)”這樣的教學(xué)方法。 第三，就相關(guān)的數(shù)學(xué)思想而言，有不少教師突出地強(qiáng)調(diào)了所謂的“化歸思想”。,分析與思考（1）： “歸類”與“分類”,“植樹問題”事實(shí)上涉及到了兩種不同的數(shù)學(xué)活動(dòng)： （1）以“植對(duì)問題”為原型引出普遍性的數(shù)學(xué)模式，然后再利用這一模式去解決各種新的問題，如路燈問題、鋸樹問題、爬樓問題等。 （2）對(duì)于所提到的每一個(gè)問題我們又都可以區(qū)分出三種不同的情況，這也就是所謂的“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”。 關(guān)鍵：究竟何者應(yīng)當(dāng)被看成這一教學(xué)活動(dòng)的重點(diǎn)？什么又是這一教學(xué)活動(dòng)的真正難點(diǎn)？,分析與結(jié)論,如果學(xué)生未能清楚地認(rèn)識(shí)到路燈問題、鋸樹問題、爬樓問題等都與植樹問題有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也即可以被歸結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)模式，對(duì)他們來說“這究竟屬于植樹問題中的哪個(gè)類型啊”這樣的問題就是完全沒有意義的。 從而，“模式的建構(gòu)”就比“三種情況的區(qū)分”有著更大的重要性，在教學(xué)上我們也應(yīng)對(duì)此予以更大的關(guān)注。,教學(xué)中的相關(guān)現(xiàn)象,“有些學(xué)生雖然會(huì)解決這一問題，但這些學(xué)生尚不能把植樹問題的解決方法與生活中相似的現(xiàn)象進(jìn)行知識(shí)鏈接，這就導(dǎo)致了能找到規(guī)律但不會(huì)熟練運(yùn)用規(guī)律”（張錫忠，“植樹問題課堂實(shí)錄”）,進(jìn)一步的思考：如何能夠超出“植樹問題”并引出相應(yīng)的普遍性模式？,由“植對(duì)問題”過渡到“分隔問題”； 圖形與符號(hào)符號(hào)的適當(dāng)應(yīng)用。 一些實(shí)例： 葉婉紅，“植樹問題教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析”，小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2008No.7； 張錫忠,，“植樹問題課堂實(shí)錄”，小學(xué)數(shù)學(xué)2008No.2,分析與思考（2）：規(guī)律的“機(jī)械應(yīng)用”與思維的靈活性,問題：我們?cè)诮虒W(xué)中是否應(yīng)當(dāng)對(duì)于“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”這樣三種情況的區(qū)分予以特別的重視，并要求學(xué)生牢牢地記住相應(yīng)的計(jì)算法則（“加一”、“不加不減”、“減一”）以致在面對(duì)新的類似問題時(shí)就能不假思索地直接加以應(yīng)用？,相關(guān)的思考,就“植樹問題”而言，在現(xiàn)實(shí)中是否真的就只有“兩端都種”、“只種一端”、“兩端都不種”這樣三種情況？ 進(jìn)而，對(duì)于其它一些可能的情況我們又是否也應(yīng)要求學(xué)生總結(jié)出相關(guān)類型，并牢牢地去記住相應(yīng)的“規(guī)律”（“加二”、“減二”、“乘二”、“除二”）？,分析與結(jié)論,將“三種情況”的區(qū)分以及相應(yīng)的計(jì)算法則看成是一種“規(guī)律”、并要求學(xué)生牢固掌握從而就能直接加以運(yùn)用恐怕不很恰當(dāng)；毋寧說，在此真正重要的應(yīng)是“一一對(duì)應(yīng)”這樣一個(gè)數(shù)學(xué)思想就“植樹問題”進(jìn)行分析，這也就是指，在此真正重要的是在“間隔”與“樹”之間所存在的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 進(jìn)而，所謂的“加一”、“減一”等法則又只是針對(duì)具體情況作出的適當(dāng)變化從而，在此真正需要的就不是“規(guī)律的應(yīng)用”；而是思維的靈活性，也即如何能夠依據(jù)基本模式并通過適當(dāng)變化以適應(yīng)變化了的情況。,總結(jié),對(duì)于“植樹問題”的教學(xué)應(yīng)當(dāng)區(qū)分出這樣兩個(gè)不同的教學(xué)要求或教學(xué)環(huán)節(jié)：（1）突出“分隔問題”，即是如何能以“植樹問題”為背景幫助學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模式；（2）明確引出“間隔數(shù)”與“所種樹的棵數(shù)”這兩者的關(guān)系，突出“一一對(duì)應(yīng)”的思想，并以此為基礎(chǔ)求解各種變化了的情況。 對(duì)于“兩端都種”等三種情況的區(qū)分不應(yīng)過于強(qiáng)調(diào)，更不應(yīng)將相應(yīng)的計(jì)算法則看成重要的規(guī)律乃至要求學(xué)生牢牢記住從而就能不假思索地加以應(yīng)用。,五、數(shù)學(xué)中的特殊化與一般化,兩個(gè)應(yīng)當(dāng)思考的問題： 究竟什么是數(shù)學(xué)中的特殊化與一般化？ 小學(xué)數(shù)學(xué)中是否也有特殊化與一般化？,一點(diǎn)提醒：對(duì)于抽象定義的必要超越,特殊化“是從考慮一組給定的對(duì)象集合過渡到考慮該集合的一個(gè)較小子集，或僅僅一個(gè)對(duì)象?！?一般化“是從考慮一個(gè)對(duì)象過渡到包含該對(duì)象的一個(gè)集合，或者從考慮一個(gè)該小的集合過渡到包含該較小集合的更大集合?！?（1）從概念學(xué)習(xí)的角度看,數(shù)學(xué)抽象就是一個(gè)一般化的過程； 如何為抽象的數(shù)學(xué)概念給出具體的例子則就是特殊化的過程。 插入：數(shù)學(xué)教師的一個(gè)基本功：適當(dāng)?shù)呐e例！,理論指導(dǎo)下的自覺實(shí)踐：變式理論,核心思想之一：“標(biāo)準(zhǔn)變式”與“非標(biāo)準(zhǔn)變式” 。 背景：一些常見的錯(cuò)誤觀念。 角必定有一條水平射線； 直角必定是指向右邊的角； 三角形和四邊形的底邊都應(yīng)處于水平位置； 三角形的高必須處于垂直的位置，并必定于三角形的底邊相交；,分析與思考,學(xué)生之所以會(huì)形成這些錯(cuò)誤觀念往往就與我們?cè)诮虒W(xué)中所使用的往往只是“標(biāo)準(zhǔn)變式”有著直接的關(guān)系。 從而我們?cè)诮虒W(xué)中不應(yīng)唯一地局限于平時(shí)所經(jīng)常用到的一些實(shí)例，而也應(yīng)有意識(shí)地引入一些“非標(biāo)準(zhǔn)變式”。,核心思想之二：“概念變式”與 “非概念變式” 就概念的理解而言，“非概念變式”事實(shí)上起到了“反例”的作用，這樣，通過與“正例”（ “概念變式”）的對(duì)照，就可以幫助學(xué)生更好地去掌握概念的本質(zhì)。,（2）從“問題解決”的角度看,相關(guān)的論述：“特殊化與一般化構(gòu)成了整個(gè)解題過程的基礎(chǔ)。”（梅森）,關(guān)于特殊化,由隨意的特殊化，去了解問題； 由系統(tǒng)的特殊化，為一般化提供基礎(chǔ)； 由巧妙的特殊化，去對(duì)一般性結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。（梅森）,例八 自行道問題,假設(shè)商店中鋪設(shè)了單一方向上前進(jìn)的自行道，問顧客由自行道往返一次（例如，由商店大門順道前往某一柜臺(tái)然后再逆道返回）所花費(fèi)的時(shí)間與先前完全依靠人力行走相比究竟是花費(fèi)了更多的時(shí)間、還是節(jié)省了時(shí)間？,例九 “小數(shù)乘整數(shù)”與找規(guī)律 （張勇成）,“師：有些小數(shù)和整數(shù)相乘很簡單，同學(xué)們口算就可以解決了，請(qǐng)看 0.14=0.4； （師：“這樣的8份呢？”） 0.014=0.04；（師：“這樣的23份呢？”） 0.0019=0.009。（“師：這樣的129個(gè)呢？） “師：剛才口算的這些乘法，都是哪些小數(shù)與整數(shù)相乘？ “生：都是0.1，0.01，0.001與整數(shù)相乘。 “師：當(dāng)0.1，0.01，0.001與一個(gè)整數(shù)相乘時(shí)，你們?yōu)槭裁催@么快就得出了結(jié)果？有什么規(guī)律嗎？,“生1：乘得的結(jié)果越來越小。 “生2：都和幾個(gè)零點(diǎn)幾有關(guān)系。 “生3：乘得的結(jié)果都是小數(shù)。 “師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，當(dāng)0.1，0.01，0.001乘一個(gè)整數(shù)時(shí)，它們的計(jì)算結(jié)果是幾位小數(shù)和誰有關(guān)系呢？ “師：也就是說，因數(shù)中有幾位小數(shù)，積 “生：就有幾位小數(shù)?！?（下略）,回顧,由隨意的特殊化，去了解問題； 由系統(tǒng)的特殊化，為一般化提供基礎(chǔ)； 由巧妙的特殊化，去對(duì)一般性結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。（梅森）,關(guān)于一般化,什么看上去像是真的？ 為什么它是真的？ 它在怎樣的范圍內(nèi)看上去也是真的？,例十 一般化的實(shí)例,在掌握了“三角形的內(nèi)角和為180”以后，我們顯然就應(yīng)進(jìn)一步去思考如何才能求得四邊形、五邊形、乃至n邊形后者的內(nèi)角和？ 在解決了“如何由長方形的長和寬去求取它的對(duì)角線”以后，我們就可進(jìn)而去考慮“如何由長方體的長、寬、高去求取它的對(duì)角線”；乃至 “已知平行六面體從對(duì)角線一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長度以及三棱間的三個(gè)夾角，求對(duì)角線的長？” “已知正八面體的棱，求其對(duì)角線的長？”,插入,數(shù)學(xué)教師的又一基本功：適當(dāng)?shù)奶釂枺?三個(gè)主要的方面： （1）解題策略； （2）數(shù)學(xué)的精神； （3）學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。,六、數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與教學(xué),努力加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維（數(shù)學(xué)方法論）的學(xué)習(xí)。 兩條主要的線索：（1）“問題解決”與“問題提出”；（2）概念的生成、分析與組織。,數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)的關(guān)鍵,不應(yīng)求全，而應(yīng)求用，也即應(yīng)當(dāng)密切聯(lián)系自己的教學(xué)實(shí)踐去進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)以致用。 長期的努力方向：理論指導(dǎo)下的自覺實(shí)踐。,相關(guān)的思想,基礎(chǔ)知識(shí)：不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)； 基本技能：不應(yīng)求全，而應(yīng)求變； 數(shù)學(xué)思維：不應(yīng)求全，而應(yīng)求用。,一個(gè)練習(xí),“紅花映綠葉春=葉綠映花紅，要求想出紅、花、映、綠、葉分別代表什么數(shù)字？” 請(qǐng)嘗試著以數(shù)學(xué)啟發(fā)法為指導(dǎo)去求解這一問題（相應(yīng)的解答為：219784=87912）。,當(dāng)前應(yīng)當(dāng)特別注意的一個(gè)問題,防止簡單的移植： 集合與分類； 函數(shù)與變化； 極限與無限； ,例十一 “除非它們都能站起來！”,這是發(fā)生在20世紀(jì)60年代的一個(gè)真實(shí)故事：當(dāng)時(shí)“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”作為風(fēng)靡全球的改革運(yùn)動(dòng)正處于高潮之中，其核心思想就是認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育作出改造，由于集合的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占據(jù)了特別重要的位置，因此，下述情況的出現(xiàn)就無足為奇了。,在幼兒園上學(xué)的女兒告訴數(shù)學(xué)家的父親：“我們今天學(xué)了集合！” 父親：“老師是怎么教的？” 女兒：“女教師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；其次，她又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，最后，教師問全班：大家是否都懂了？她得到了肯定的答復(fù)?！?父：“那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個(gè)集合？” 遲疑了一會(huì)，女兒最終作出了這樣的回答： “不行！除非它們都能站起來！”,結(jié)論,應(yīng)當(dāng)更為清楚地去界定，就小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)習(xí)階段而言什么是相關(guān)的數(shù)學(xué)思維？ 應(yīng)當(dāng)積極從事數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，這主要地又并非是指于專門性的思維教學(xué)，而應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的滲透，也即用數(shù)學(xué)思想的分析指導(dǎo)、帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)。,例十二 “重建”高斯,少年時(shí)代的高斯是如何很快求得1+2+3+99=4950的？,類比與啟示,為了求解S=1+2+3+99=？我們也可首先去計(jì)算2S： 2S= 1 + 2+ 3+ 99 +99 + 98+ 97+ 1 =10099=9900 S=4950,結(jié)論之八,用思維分析帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)的關(guān)鍵：方法論的重建，從而實(shí)現(xiàn)化神奇為平凡、化難為易。 意義之一：使數(shù)學(xué)教學(xué)真正“講活”、“講懂”、“講深”； 意義之二：使數(shù)學(xué)思維真正成為可以理解的、可以學(xué)到手的、和可以加以推廣應(yīng)用的。,“講活”：教師應(yīng)當(dāng)通過自己的教學(xué)活動(dòng)向?qū)W生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí)； “講懂”：教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生真正理解有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗，死記硬背； “講深”：教師不僅應(yīng)幫助學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也應(yīng)幫助學(xué)生深入領(lǐng)會(huì)并逐