江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考前回扣4數(shù)列不等式學(xué)案.doc

4.數(shù)列、不等式1等差數(shù)列及其性質(zhì)(1)等差數(shù)列的判定：an1and(d為常數(shù))或an1ananan1 (n2)(2)等差數(shù)列的性質(zhì)當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Snna1dn2n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.若公差d0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d0、0、0三種情況；在有根的條件下，要比較兩根的大小，也是分大于、等于、小于三種情況在解一元二次不等式時(shí)，一定要畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，注意數(shù)形結(jié)合問(wèn)題5解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10)解原不等式化為(x1)0.當(dāng)0a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為.6處理二次不等式恒成立的常用方法(1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)用判別式法，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時(shí)，一般應(yīng)用此法(2)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，如大于零恒成立可轉(zhuǎn)化最小值大于零(3)能分離變量的，盡量把參變量和變量分離出來(lái)(4)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，從整體上把握?qǐng)D形問(wèn)題6如果kx22kx(k2)0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案(1,0解析當(dāng)k0時(shí)，原不等式等價(jià)于20，顯然恒成立，所以k0符合題意當(dāng)k0時(shí)，由題意，得解得1k0.所以1k0.7利用基本不等式求最值必須滿足三個(gè)條件才可以進(jìn)行，即“一正，二定，三相等”常用技巧：(1)對(duì)不能出現(xiàn)定值的式子進(jìn)行適當(dāng)配湊(2)對(duì)已知條件的最值可代入(常數(shù)代換法)或消元(3)當(dāng)題中等號(hào)條件不成立時(shí)，可考慮從函數(shù)的單調(diào)性入手求最值問(wèn)題7若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是_答案74解析由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)77274，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)8解決線性規(guī)劃問(wèn)題有三步(1)畫(huà)：畫(huà)出可行域(有圖象)(2)變：將目標(biāo)函數(shù)變形，從中抽象出截距或斜率或距離(3)代：將合適的點(diǎn)代入到原來(lái)目標(biāo)函數(shù)中求最值利用線性規(guī)劃思想能解決的幾類(lèi)值域(最值)問(wèn)題(1)截距型：如求zyx的取值范圍(2)條件含參數(shù)型：已知x，y滿足約束條件且zyx的最小值是4，則實(shí)數(shù)k2.已知x，y滿足約束條件且存在無(wú)數(shù)組(x，y)使得zyax取得最小值，則實(shí)數(shù)a.(3)斜率型：如求的取值范圍(4)距離型(圓半徑平方型R2)：如求(xa)2(xb)2的取值范圍問(wèn)題8已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a_.答案2解析畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若zaxy的最大值為4，則最優(yōu)解為x1，y1或x2，y0，經(jīng)檢驗(yàn)知x2，y0符合題意，所以2a04，此時(shí)a2.易錯(cuò)點(diǎn)1忽視等比數(shù)列中q的范圍例1設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3S6S9，則數(shù)列an的公比q_.易錯(cuò)分析沒(méi)有考慮等比數(shù)列求和公式Sn中q1的條件，本題中q1恰好符合題目條件解析當(dāng)q1時(shí)，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立當(dāng)q1時(shí)，由S3S6S9，得.q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或1易錯(cuò)點(diǎn)2忽視分類(lèi)討論例2若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a121，公差d4，求Sn|a1|a2|a3|an|.易錯(cuò)分析要去掉|an|的絕對(duì)值符號(hào)，要考慮an的符號(hào)，對(duì)n不討論或討論不當(dāng)容易導(dǎo)致錯(cuò)誤解an214(n1)254n.令an0，得n6，nZ.當(dāng)n6時(shí)，Sn|a1|a2|an|a1a2an2n223n；當(dāng)n7時(shí)，|a1|a2|a3|an|(a1a2a3a6)(a7a8an)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8an)2n223n132.所以Sn易錯(cuò)點(diǎn)3已知Sn求an時(shí)忽略n1例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an12Sn(nN*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)an.易錯(cuò)分析anSnSn1成立的條件是n2，若忽略對(duì)n1時(shí)的驗(yàn)證則出錯(cuò)解因?yàn)閍n12Sn，所以Sn13Sn，所以3.因?yàn)镾1a11，所以數(shù)列Sn是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn3n1 (nN*)所以當(dāng)n2時(shí)，an2Sn123n2(n2)，所以an易錯(cuò)點(diǎn)4數(shù)列最值問(wèn)題忽略n的限制例4已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n2)n(nN*)，則數(shù)列an的最大項(xiàng)是_易錯(cuò)分析求解數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最值，無(wú)論是利用Sn還是利用an來(lái)求，都要注意n的取值的限制，因?yàn)閿?shù)列中可能出現(xiàn)零項(xiàng)，所以在利用不等式(組)求解時(shí)，不能漏掉不等式(組)中的等號(hào)，避免造成無(wú)解或漏解的失誤解析因?yàn)閍n1an(n3)n1(n2)nn，當(dāng)n0，即an1an；當(dāng)n7時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n7時(shí)，an1an0，即an1an.故a1a2a9a10，所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是第7項(xiàng)或第8項(xiàng)答案第7項(xiàng)或第8項(xiàng)易錯(cuò)點(diǎn)5裂項(xiàng)法求和搞錯(cuò)剩余項(xiàng)例5在數(shù)列an中，an，又bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為_(kāi)易錯(cuò)分析裂項(xiàng)相消后搞錯(cuò)剩余項(xiàng)，導(dǎo)致求和錯(cuò)誤一般情況下剩余的項(xiàng)是對(duì)稱(chēng)的，即前面剩余的項(xiàng)和后面剩余的項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的解析由已知得an(12n)，從而bn4，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn44.答案易錯(cuò)點(diǎn)6線性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解判斷錯(cuò)誤例6P(x，y)滿足|x|y|1，求axy的最大值及最小值易錯(cuò)分析由axyt，得yaxt，欲求t的最值，要看參數(shù)a的符號(hào)忽視參數(shù)的符號(hào)變化，易導(dǎo)致最值錯(cuò)誤解P(x，y)滿足的線性區(qū)域如圖所示當(dāng)a1時(shí)，直線yaxt分別過(guò)點(diǎn)(1,0)與(1,0)時(shí)，axy取得最大值與最小值，其值分別為a，a.易錯(cuò)點(diǎn)7運(yùn)用基本不等式忽視條件例7函數(shù)y的最小值為_(kāi)易錯(cuò)分析應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值，當(dāng)?shù)忍?hào)成立的條件不成立時(shí)，往往考慮函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)注意函數(shù)的定義域解析y .設(shè)t，則t2，所以函數(shù)變?yōu)閒(t)t(t2)這時(shí)，f(t)在2，)上單調(diào)遞增，所以f(t)f(2)，所以函數(shù)y的最小值為.答案1不等式1的解集是_答案解析不等式1，2x2x10，即(2x1)(x1)0，解得1x，原不等式的解集為.2已知等差數(shù)列an的公差為d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差為8，則d的值為_(kāi)答案2解析因?yàn)閍n成等差數(shù)列，所以a1，a2，a3，a4，a5的平均數(shù)為a3，所以方差為(2d)2(d)20(d)2(2d)22d28，解得d2.3已知數(shù)列an滿足9(nN*)且a2a4a69，則(a5a7a9)_.答案3解析由已知，所以an1an2，所以數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，a5a7a9(a23d)(a43d)(a63d)(a2a4a6)9d99227，(a5a7a9)3.4若命題“xR，ax2ax20”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案8,0解析當(dāng)a0時(shí)，20，不等式顯然成立；當(dāng)a0時(shí)，由題意知解得8a0.綜上可知，8a0.5(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知數(shù)列an與均為等差數(shù)列(nN*)，且a12，則a10_.答案20解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，則annd2d，所以，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以d2，故a1020.6若x，y滿足約束條件則z2xy的取值范圍是_答案(4,0解析由z2xy，得y2xz，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域(陰影部分)如圖，平移直線y2xz，由圖象可知當(dāng)直線y2xz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)時(shí)，直線y2xz的截距最大，此時(shí)z最小當(dāng)直線y2xz經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0)時(shí)，直線y2xz的截距最小，此時(shí)z最大所以z的最小值為4，最大值為0.即40，當(dāng)取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是_答案2解析方法一2 ，當(dāng)且僅當(dāng)a0，所以，a2.設(shè)f(a)，a2，則f(a)當(dāng)a0時(shí)，f(a)，從而f(a)，故當(dāng)a2時(shí)，f(a)0；當(dāng)2a0，故f(a)在(，2)上是減函數(shù)，在(2,0)上是增函數(shù)，故當(dāng)a2時(shí)，f(a)取得極小值；同理，當(dāng)0a0，ba，兩邊平方得aba2m2b，即b2m2b，于是m212 ，令t(0t1)，則m212在0k的解集為x|x2，求k的值；(2)對(duì)任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范圍解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x2是其解集，得kx22x6k0的兩根是3，2.由根與系數(shù)的關(guān)系可知，(2)(3)，即k.(2)因?yàn)閤0，f(x)，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)由已知f(x)t對(duì)任意x0恒成立，故t，即t的取值范圍是.12已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足8Sna4an3(nN*)，且a1，a2，a7依次是等比數(shù)列bn的前三項(xiàng)(1)求數(shù)列an及bn的通項(xiàng)公式；(2)是否存在常數(shù)a0且a1，使得數(shù)列anlogabn(nN*)是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)當(dāng)n1時(shí)，8a1a4a13，a11或a13.當(dāng)n2時(shí)，8Sn1a4an13，anSnSn1(a4ana4an1)，從而(anan1)(anan14)0.因?yàn)閍n的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以anan14.所以，當(dāng)a11時(shí)，an4n3；當(dāng)a13時(shí)，an4n1.又因?yàn)楫?dāng)a11時(shí)，a1，a2，a7分別為