江蘇省高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題八附加題第4講幾何證明選講不等式選講學(xué)案.doc

第4講幾何證明選講、不等式選講考情考向分析1.考查三角形及相似三角形的判定與性質(zhì)；圓的相交弦定理，切割線定理； 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定，屬B級要求.2.考查含絕對值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質(zhì)求最值以及幾個重要不等式的應(yīng)用，屬B級要求熱點一三角形相似的判定及應(yīng)用例1(2018徐州模擬)如圖， AB是圓O的直徑，弦BD, CA的延長線相交于點E, EF垂直BA的延長線于點F.求證： AB2BEBDAEAC.證明連結(jié)AD，BC，因為AB為圓O的直徑，所以ADBD，又EFAB，則A，D，E，F(xiàn)四點共圓，所以BDBEBABF.又ABCAEF，所以，即ABAFAEAC，所以BEBDAEACBABFABAFABAB2.思維升華在證明線段的乘積相等時，通常用三角形相似或圓的切割線定理同時，要注意等量的代換跟蹤演練1如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC2OC.求證：AC2AD.證明連結(jié)OD.因為AB和BC分別與圓O相切于點D，C，所以ADOACB90.又因為AA，所以RtADORtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.熱點二圓有關(guān)定理、性質(zhì)的應(yīng)用例2(2018江蘇南京師大附中模擬)在ABC中，已知ACAB，CM是ACB的角平分線，AMC的外接圓交BC邊于點N，求證：BN2AM.證明如圖，在ABC中，因為CM是ACB的角平分線，所以.又ACAB，所以，因為BA與BC是圓O過同一點B的弦，所以BMBABNBC，即由可知，所以BN2AM.思維升華本題使用三角形內(nèi)角平分線定理和圓的切割線定理，靈活進行等量代換，較好體現(xiàn)了化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想跟蹤演練2(1)(2018南通、徐州、揚州等六市模擬)如圖，A，B，C是O上的3個不同的點，半徑OA交弦BC于點D.求證： DBDCOD2OA2.證明如圖，延長AO交O于點E，則DBDCDEDA.OEOA，DBDCOA2OD2.DBDCOD2OA2.(2)(2018江蘇鹽城中學(xué)模擬)如圖，過點A的圓與BC切于點D，且與AB，AC分別交于點E，F(xiàn).已知AD為BAC的平分線求證： EFBC.證明如圖，連結(jié)ED.因為圓與BC切于D，所以BDEBAD.因為AD平分BAC.所以BADDAC.又DACDEF，所以BDEDEF.所以EFBC.熱點三不等式的證明例3(1)(2018南通、徐州、揚州等六市模擬)已知a，b，c為正實數(shù)，且abc，求證： 2.證明a, b, c為正實數(shù)，2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”)故原式成立(2)已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明因為x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.當(dāng)且僅當(dāng)xy1時，等號成立思維升華證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等；依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，也可以直接使用柯西不等式進行證明跟蹤演練3已知ab0，求證：2a3b32ab2a2b.證明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因為ab0，所以ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.熱點四 柯西不等式例4(1)(2018淮安等四市模擬)已知a，b，c，d都是正實數(shù)，且abcd1，求證： .證明(1a)(1b)(1c)(1d)2(abcd)21，當(dāng)且僅當(dāng)abcd時，等號成立又(1a)(1b)(1c)(1d)5，.(2)(2018南京模擬)已知a，b，c，且abc1，求的最大值解因為(121212)()2()2()2(111)2，即()29(abc)因為abc1，所以()29, 所以3，當(dāng)且僅當(dāng)，即abc時等號成立所以的最大值為3.思維升華利用柯西不等式證明不等式或求最值時，要先根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征對式子變形，使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu)跟蹤演練4(2018江蘇丹陽高級中學(xué)模擬)已知正數(shù)x，y，z滿足xyz4，求z2的最小值解由柯西不等式得， 2 2 16，所以z2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y，z時取“”所以z2的最小值為.1(2018江蘇)如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長線上一點，過P作圓O的切線，切點為C.若PC2，求BC的長證明如圖，連結(jié)OC.因為PC與圓O相切，所以O(shè)CPC.又因為PC2，OC2，所以O(shè)P4.又因為OB2，從而B為RtOCP斜邊的中點，所以BC2.2(2018江蘇)若x，y，z為實數(shù)，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值證明由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因為x2y2z6，所以x2y2z24，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式取等號，此時x，y，z，所以x2y2z2的最小值為4.3(2017江蘇)如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點C，APPC，P為垂足求證：(1)PACCAB；(2)AC2APAB.證明(1)因為PC切半圓O于點C，所以PCACBA，因為AB為半圓O的直徑，所以ACB90，因為APPC，所以APC90.因此PACCAB.(2)由(1)知PACCAB，故，即AC2APAB.4(2017江蘇)已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2b24，c2d216，證明：acbd8.證明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)，因為a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.1(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖所示，AB為O的直徑，AE平分BAC交O于E點，過E作O的切線交AC于點D，求證：ACDE.證明連結(jié)OE，因為ED是O切線，所以O(shè)EED.因為OAOE，所以1OEA.又因為12，所以2OEA，所以O(shè)EAC，所以ACDE.2.如圖，在ABC中，ABAC，ABC的外接圓O的弦AE交BC于點D.求證：ABDAEB.證明因為ABAC，所以ABDC.又因為CE，所以ABDE，又BAE為公共角，可知ABDAEB.3如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點，連結(jié)BD并延長至點C，使BDDC，連結(jié)AC，AE，DE.求證：EC.證明連結(jié)OD，因為BDDC，O為AB的中點，所以O(shè)DAC，于是ODBC.因為OBOD，所以O(shè)DBB，于是BC.因為點A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點，所以E和B為同弧所對的圓周角，故EB.所以EC.4解不等式x|2x3|2.解原不等式可化為或解得x5或x.綜上，原不等式的解集是.5(2018江蘇南京師大附中模擬)已知a0，b0，ab1，求證：.證明方法一因為a0，b0，ab1，所以(2a1)(2b1)14529.而(2a1)(2b1)4，所以.當(dāng)且僅當(dāng)即a，b時，等號成立方法二因為a0，b0，由柯西不等式得(2a1)(2b1)2(12)29.由ab1，得 (2a1)(2b1)4，所以.當(dāng)且僅當(dāng)即a，b時等號成立6(2016江蘇)設(shè)a0，|y2|，求證：|2xy4|a.證明由a0，|x1|可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.7(2018全國大聯(lián)考江蘇卷)如圖，AD，BC，CD是以AB為直徑的圓的切線，切點分別為A，B，P，AC和BD交于Q點求證：PQAB.證明AD，BC是以AB為直徑的圓的切線，ADAB，BCAB，ADBC，CQBAQD，.又DA，DP是