2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量第5節(jié)平面向量應(yīng)用舉例教案（含解析）新人教A版.docx

2.5平面向量應(yīng)用舉例核心必知1預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P109P112的內(nèi)容，回答下列問(wèn)題(1)利用向量方法可以解決平面幾何中的哪些問(wèn)題？提示：距離、夾角等問(wèn)題(2)利用向量方法可以解決物理中的哪些問(wèn)題？提示：可以利用向量解決與力、位移、速度有關(guān)的問(wèn)題2歸納總結(jié)，核心必記(1)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系(2)向量在物理中的應(yīng)用物理問(wèn)題中常見的向量有力、速度、位移等向量的加減運(yùn)算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解中動(dòng)量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算功是力F與位移s的數(shù)量積問(wèn)題思考用向量解決幾何問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要選擇合適的基底，你知道怎樣選擇合適的基底嗎？提示：所選擇基向量的長(zhǎng)度和夾角應(yīng)該是已知的課前反思(1)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用： ；(2)平面向量在物理中的應(yīng)用： .知識(shí)點(diǎn)1平面幾何中的平行、垂直問(wèn)題講一講1.如圖所示，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線AC上任一點(diǎn)，PEAB，PFBC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DPEF.嘗試解答法一：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AEa(0a1)，則EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0.，即DPEF.法二：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(xiàn)(1，x)，所以(x，x1)，(1x，x)，由于x(1x)x(x1)0，所以，即DPEF.類題通法(1)向量法證明平面幾何中ABCD的方法：方法一：選擇一組向量作基底；用基底表示和；證明的值為0；給出幾何結(jié)論ABCD.方法二：先求，的坐標(biāo)，(x1，y1)，(x2，y2)，再計(jì)算的值為0，從而得到幾何結(jié)論ABCD.(2)用向量法證明平面幾何中ABCD的方法：方法一：選擇一組向量作基底；用基底表示和；尋找實(shí)數(shù)，使，即；給出幾何結(jié)論ABCD.方法二：先求，的坐標(biāo)，(x1，y1)，(x2，y2)利用向量共線的坐標(biāo)關(guān)系x1y2x2y10得到，再給出幾何結(jié)論ABCD.以上兩種方法，都是建立在A，B，C，D中任意三點(diǎn)都不共線的基礎(chǔ)上，才有得到ABCD.練一練1已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AEFCAC，試用向量方法證明四邊形DEBF也是平行四邊形證明：設(shè)a，b，則aba，bba，所以，且D，E，F(xiàn)，B四點(diǎn)不共線，所以四邊形DEBF是平行四邊形.知識(shí)點(diǎn)2平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題講一講2已知RtABC中，C90，設(shè)ACm，BCn.(1)若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CDAB；(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于F，求AF的長(zhǎng)度(用m，n表示)嘗試解答(1)證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)D為AB的中點(diǎn)，D，|，| |，| |，即CDAB.(2)E為CD的中點(diǎn)，E，設(shè)F(x,0)，則，(x，m)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，.即(x，m).則故，即x，F(xiàn)，|，即AF.類題通法利用向量法解決長(zhǎng)度問(wèn)題的策略向量法求平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題，即向量長(zhǎng)度的求解，一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a(x，y)，則|a|.練一練2如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD1，AB2，對(duì)角線BD2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)解：設(shè)a，b，則ab，ab，而|ab|2，52ab4，ab，又|2|ab|2a22abb2142ab6，|，即AC.知識(shí)點(diǎn)3向量在物理中的應(yīng)用講一講3在風(fēng)速為75()km/h的西風(fēng)中，飛機(jī)以150 km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向嘗試解答設(shè)風(fēng)速，va有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，vb無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，vbva.如圖所示設(shè)| |va|，|，|vb|，作ADBC，CDAD于D，BEAD于E，則BAD45.設(shè)| |150，則|75()|75，|75.從而|150，CAD30.|vb|150，即沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速為150 km/h，方向?yàn)楸逼?0.類題通法利用向量法解決物理問(wèn)題的步驟(1)抽象出物理問(wèn)題的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；(2)建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；(4)用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問(wèn)題練一練3已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30，大小為50 N，一個(gè)質(zhì)量為8 kg的木塊受力F的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)0.02的水平面上運(yùn)動(dòng)了20 m問(wèn)力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g取10 m/s2)解：如圖所示，設(shè)木塊的位移為s，則WFFs|F|s|cos 305020500(J)將力F分解，它在鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1|F|sin 305025(N)，所以摩擦力f的大小為|f|(GF1)|(8025)0.021.1(N)，因此Wffs|f|s|cos 1801.120(1)22(J)即F和f所做的功分別為500 J和22 J.課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，難點(diǎn)是平面向量在物理中的應(yīng)用2要掌握平面向量的應(yīng)用(1)利用平面向量解決平面幾何中的平行、垂直問(wèn)題，見講1；(2)利用平面向量解決平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)題，見講2；(3)平面向量在物理中的應(yīng)用，見講3.課下能力提升(二十一)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1平面向量在平面幾何中的應(yīng)用1已知直線l與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，2i3j(i，j分別是與x，y軸的正半軸同方向的單位向量)，則直線l的方程是()A3x2y60 B3x2y60C2x3y60 D2x3y60解析：選B由于i，j分別是與x，y軸的正半軸同方向的單位向量，所以(2，3)，而A，B分別在x軸，y軸上，可得A(2,0)，B(0，3)，由此可得直線l的方程為3x2y60.2在四邊形ABCD中，且| |，那么四邊形ABCD為()A平行四邊形 B菱形C長(zhǎng)方形 D正方形解析：選B由知四邊形ABCD為平行四邊形，由| |知ABCD的鄰邊相等，四邊形ABCD為菱形3已知非零向量與滿足0，且，則ABC為()A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形D等邊三角形解析：選D是向量，方向上的兩個(gè)單位向量的和，它在A的平分線上，由0，知此三角形為等腰三角形，再由知A為60，故此三角形為等邊三角形4如圖所示，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足為E，則ED_.解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，(3，)，設(shè)，則E的坐標(biāo)為(3，)，故(3，)因?yàn)锽EAC，所以0，即9330，解得，所以E.故，|，即ED.答案：5.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)求證：AFDE(利用向量證明)證明：設(shè)a，b，則ab，ba，b2a2ab.又，且| |，a2b2，ab0，0，即AFDE.題組2向量在物理中的應(yīng)用6人騎自行車的速度是v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為()Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D.解析：選B由向量的加法法則可得逆風(fēng)行駛的速度為v1v2.注意速度是有方向和大小的，是一個(gè)向量7一纖夫用纖繩拉船沿直線方向前行進(jìn)60 m，若纖繩與行進(jìn)方向夾角為30，纖夫的拉力為50 N，則纖夫?qū)Υ龅墓開J.解析：所做的功W6050cos 301 500 J.答案：1 5008在水流速度為4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的實(shí)際航行速度垂直于對(duì)岸行駛，求這艘船的航行速度的大小與方向解：如圖所示，設(shè)表示水流速度，表示船垂直于對(duì)岸行駛的速度，以為一邊，為一對(duì)角線作ABCD，則就是船的航行速度| |4，|12，|8，tan ACB，CADACB30，BAD120.即船的航行速度的大小為8 km/h，方向與水流方向的夾角為120.能力提升綜合練1設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且a與b不共線，ac，|a|c|，則|bc|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B以b，c為兩邊的三角形的面積C以a，b為兩邊的三角形的面積D以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積解析：選A假設(shè)a與b的夾角為，|bc|b|c|cosb，c|b|a|cos(90)|b|a|sin ，即為以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積2如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，則等于()A. B.C2 D3解析：選B()，因?yàn)镺AOB，所以在上的投影為| |，所以| | |2，同理|，故2.3已知ABC滿足2，則ABC是()A等邊三角形 B銳角三角形C直角三角形 D鈍角三角形解析：選C由題意得，2()2，0，ABC是直角三角形4已知一物體在共點(diǎn)力F1(lg 2，lg 2)，F(xiàn)2(lg 5，lg 2)的作用下產(chǎn)生位移s(2lg 5,1)，則共點(diǎn)力對(duì)物體做的功W為()Alg 2 Blg 5 C1 D2解析：選DW(F1F2)s(lg 2lg 5,2lg 2)(2lg 5,1)(1,2lg 2)(2lg 5,1)2lg 52lg 22.5已知A，B是圓心為C，半徑為的圓上的兩點(diǎn)，且|AB|，則_.解析：由弦長(zhǎng)|AB|，可知ACB60，|cosACB.答案：6三個(gè)大小相同的力a，b，c作用在同一物體P上，使物體P沿a方向做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)a，b，c，判斷ABC的形狀解：由題意得|a|b|c|，由于在合力作用下物體做勻速運(yùn)動(dòng)，故合力為0，即abc0.所以acb.如圖，作平行四邊形APCD，則其為菱形因?yàn)閍cb，所以APC120.同理，APBBPC120.又因?yàn)閨a|b|c|，所以ABC為等邊三角形7.如圖，已知直角梯形ABCD中，ADAB，AB2AD2CD，過(guò)點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，M為CE的中點(diǎn)，用向量的方法證明：(