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22.2橢圓的幾何性質(zhì)建立了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后,我們就可以通過(guò)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)以方程1(ab0)為例,試著完成下列問(wèn)題:?jiǎn)栴}1:方程中對(duì)x,y有限制的范圍嗎?提示:由10,得axa.同理byb.問(wèn)題2:在方程中,用x代x,y代y,方程的形式是否發(fā)生了變化?提示:不變問(wèn)題3:方程與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么?提示:令x0,得yb; 令y0,得xa;與x軸的交點(diǎn)為(a,0),(a,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,b),(0,b)橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)范圍axa,bybaya,bxb頂點(diǎn)(a,0),(0,b)(0,a),(b,0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)2b,長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a焦點(diǎn)(c,0)(0,c)焦距F1F22c對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸x軸,y軸,對(duì)稱(chēng)中心(0,0)離心率e(0,1)1橢圓的對(duì)稱(chēng)性橢圓的圖像關(guān)于x軸成軸對(duì)稱(chēng),關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng),關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)2橢圓的離心率與橢圓形狀變化間的關(guān)系(1)0e4時(shí),由c2a2b2m4,得.解得m.當(dāng)mb0)由已知a2b,且橢圓過(guò)點(diǎn)(2,6),從而有1或1.由得a2148,b237或a252,b213.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.一點(diǎn)通在求橢圓方程時(shí),要注意根據(jù)題目條件判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,從而確定方程的形式,若不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,則應(yīng)進(jìn)行討論一般地,已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可以確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸;而已知橢圓的離心率、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)或焦距時(shí),則不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸3已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率為,且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的方程為_(kāi)解析:由題意得2a12,所以a6,c3,b3.故橢圓方程為1.答案:14求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在y軸上,焦距是4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,2);(2)離心率為,且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.解:(1)由焦距是4可得c2,且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(0,2)由橢圓的定義知,2a8,所以a4,所以b2a2c216412.又焦點(diǎn)在y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意知,2a26,即a13,又e,所以c5,所以b2a2c213252144,因?yàn)榻裹c(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.與橢圓離心率有關(guān)的問(wèn)題例3已知橢圓M:1(ab0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2.P是橢圓M上的任一點(diǎn),且PF1PF2的最大值的取值范圍為,其中c2a2b2,求橢圓的離心率的取值范圍思路點(diǎn)撥由P是橢圓上一點(diǎn),知PF1PF22a,進(jìn)而設(shè)法求出PF1PF2的最大值,再由已知的范圍求出離心率e的范圍精解詳析P是橢圓上一點(diǎn),PF1PF22a,2aPF1PF22 ,即PF1PF2a2,當(dāng)且僅當(dāng)PF1PF2時(shí)取等號(hào)c2a23c2,2,e22,e.0e1,eb0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為橢圓M上任一點(diǎn),且的最大值的取值范圍是c2,3c2,其中c,則橢圓M的離心率e的取值范圍是_解析:設(shè)P(x,y)、F1(c,0)、F2(c,0),則(cx,y),(cx,y),x2y2c2,又x2y2可看作P(x,y)到原點(diǎn)的距離的平方,所以(x2y2)maxa2,()maxb2,所以c2b2a2c23c2,即e2,所以e.答案:與橢圓相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題例4某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)地球半徑為R,若其近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別大約是R、R,求此宇宙飛船運(yùn)行的軌道方程思路點(diǎn)撥根據(jù)條件建立坐標(biāo)系,設(shè)出橢圓方程,構(gòu)造方程,求得宇宙飛船運(yùn)行的軌道方程精解詳析如圖所示,以運(yùn)行軌道的中心為原點(diǎn),其與地心的連線為x軸建立坐標(biāo)系,且令地心F2為橢圓的右焦點(diǎn),則軌道方程為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,不妨設(shè)為1(ab0),則地心F2的坐標(biāo)為(c,0),其中a2b2c2,則解得b2a2c222R2.此宇宙飛船運(yùn)行的軌道方程為1.一點(diǎn)通解決此類(lèi)問(wèn)題,首先要根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有關(guān)橢圓的問(wèn)題,再將條件轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系,進(jìn)而求出橢圓方程,解決其它問(wèn)題注意:(1)橢圓方程中變量的范圍對(duì)實(shí)際問(wèn)題的限制;(2)最后要將數(shù)學(xué)模型還原回實(shí)際問(wèn)題作答7某航天飛行控制中心對(duì)某衛(wèi)星成功實(shí)施了第二次近月制動(dòng),衛(wèi)星順利進(jìn)入周期為3.5 h的環(huán)月小橢圓軌道(以月球球心為焦點(diǎn))衛(wèi)星遠(yuǎn)月點(diǎn)(距離月球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn))高度降至1 700 km,近月點(diǎn)(距離月球表面最近的點(diǎn))高度是200 km,月球的半徑約是1 800 km,且近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)及月球的球心在同一直線上,此時(shí)小橢圓軌道的離心率是_解析:可設(shè)小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,焦距為2c,由已知得2a1 70021 800200,a2 750.又a2c1 7001 800,c375.e.答案:8已知某荒漠上F1、F2兩點(diǎn)相距2 km,現(xiàn)準(zhǔn)備在荒漠上開(kāi)墾出一片以F1、F2為一條對(duì)角線的平行四邊形區(qū)域,建農(nóng)藝園按照規(guī)劃,平行四邊形區(qū)域邊界總長(zhǎng)為8 km.(1)試求平行四邊形另兩個(gè)頂點(diǎn)的軌跡方程;(2)問(wèn)農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到多少?解:(1)以F1F2所在直線為x軸,F(xiàn)1F2的中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0)設(shè)平行四邊形的另兩個(gè)頂點(diǎn)為P(x,y),Q(x,y),則由已知得PF1PF24.由橢圓定義知點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn),以4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上,此時(shí)a2,c1,則b.P點(diǎn)的軌跡方程為1(y0),同理Q點(diǎn)軌跡方程同上(2)SPF1QF2F1F2|yP|2cb2(km2),所以當(dāng)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),農(nóng)藝園的面積最大為2 km2.1橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心坐標(biāo)等幾何性質(zhì)與坐標(biāo)有關(guān),它們反映了橢圓在平面內(nèi)的位置2橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率等幾何性質(zhì)與坐標(biāo)無(wú)關(guān),它們反映了橢圓的形狀3討論與坐標(biāo)有關(guān)的幾何性質(zhì)應(yīng)先由焦點(diǎn)確定出橢圓的類(lèi)型,不能確定的應(yīng)分焦點(diǎn)在x軸上、y軸上進(jìn)行討論對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(九) 1(新課標(biāo)全國(guó)卷改編)設(shè)橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P是C上的點(diǎn),PF2F1F2,PF1F230,則C的離心率為_(kāi)解析:法一:由題意可設(shè)|PF2|m,結(jié)合條件可知|PF1|2m,|F1F2|m,故離心率e.法二:由PF2F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c,將xc代入橢圓方程可解得y,所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|,故2c,變形可得(a2c2)2ac,等式兩邊同除以a2,得(1e2)2e,解得e或e(舍去)答案:2(廣東高考改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于,則C的方程是_解析:依題意,設(shè)橢圓方程為1(ab0),所以解得a24,b23.答案:13曲線1與曲線1(kb0)的離心率是,過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作直線MA,MB分別交橢圓于A,B兩點(diǎn),且斜率分別為k1,k2,若點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則k1k2的值為_(kāi)解析:設(shè)點(diǎn)M(x,y),A(x1,y1),B(x1,y1),則y2b2,yb2.所以k1k21e21,即k1k2的值為.答案:5設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓E:1(ab0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x上一點(diǎn),F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形,則E的離心率是_解析:設(shè)直線x與x軸交于點(diǎn)M,則PF2M60.由題意知,F(xiàn)1F2PF22c,F(xiàn)2Mc.在RtPF2M中,F(xiàn)2MPF2,即cc.e.答案:6已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率e,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(,2),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解:設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0),則1.由已知e,ca.b2a2c2a2(a)2,即b2a2.把代入,得1,解得a225,b216,所求方程為1.7已知橢圓x2(m3)y2m(m0)的離心率e,求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)解:橢圓方程可化為1,由m0,易知m,a2m,b2.c.由e,得 ,解得m1,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.a1,b,c.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,短軸長(zhǎng)為1,兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1,F(xiàn)2,頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(1,0),A2(1,0),B1,B2.8若橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn),
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