函數(shù)項級數(shù)的一致收斂(2).ppt

函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性,*第六節(jié),一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性,及一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì),二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì),第十二章,冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)類似于多項式,但一般函數(shù),項級數(shù)則不一定有這么好的特點.,例如, 級數(shù),每項在 0,1 上都連續(xù),其前 n 項之和為,和函數(shù),該和函數(shù)在 x1 間斷.,一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性,因為對任意 x 都有:,所以它的收斂域為 (, +) ,但逐項求導后的級數(shù),其一般項不趨于0,所以對任意 x 都發(fā)散 .,又如, 函數(shù)項級數(shù),問題: 對什么樣的函數(shù)項級數(shù)才有:,逐項連續(xù),和函數(shù)連續(xù);,逐項求導 = 和函數(shù)求導;,逐項積分 = 和函數(shù)積分,定義.,設(shè) S(x) 為,若對,都有一個只依賴于 的自然數(shù) N ,使,當n N 時, 對區(qū)間 I 上的一切 x 都有,則稱該級數(shù)在區(qū)間 I 上一致收斂于和函數(shù)S(x) .,在區(qū)間 I 上的和函數(shù),任意給定的 0,顯然, 在區(qū)間 I 上,一致收斂于和函數(shù)S(x),部分和序列,一致收斂于S(x),余項,一致收斂于 0,幾何解釋 : (如圖),當n N 時,曲線,總位于曲線,之間.,例1.,研究級數(shù),在區(qū)間 0, +) 上的收斂性.,解:,余項的絕對值:,因此, 任給 0,取自然數(shù),則當n N 時有,這說明級數(shù)在 0, +) 上一致收斂于,例2.,證明級數(shù),在 0,1 上不一致收斂 .,證:,取正數(shù),對無論多么大的正數(shù) N ,因此級數(shù)在 0, 1 上不,一致收斂 .,說明:,對任意正數(shù) r 1,級數(shù)在 0, r 上一致收斂 .,事實上, 因為在 0, r 上,任給 0,欲使,只要,因此取,只要,即級數(shù)在 0, r 上一致收斂 .,維爾斯特拉斯(Weierstrass) 判別法,用一致收斂定義判別級數(shù)的一致收斂性時, 需求出,這往往比較困難.,下面介紹一個較方便的,判別法.,若函數(shù)項級數(shù),在區(qū)間 I 上滿足:,則函數(shù)項級數(shù),在區(qū)間 I 上一致收斂 .,由條件2), 根據(jù)柯西審斂原理,當,n N 時,對任意正整數(shù) p , 都有,由條件1), 對 x I , 有,故函數(shù)項級數(shù),在區(qū)間 I 上一致收斂 .,證畢,證:,若冪級數(shù),的收斂半徑 R 0 ,則此級,數(shù)在 (R, R ) 內(nèi)任一閉區(qū)間 a , b 上一致收斂 .,證:,則對 a , b 上的一切 x , 都有,由阿貝爾定理(第三節(jié)定理1) 級數(shù),絕對收斂 ,由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立.,說明: 若冪級數(shù)在收斂區(qū)間的端點收斂,則一致收斂,區(qū)間可包含此端點.,證畢,推論.,證明級數(shù),在(, +) 上 一致收斂 .,證:,而級數(shù),收斂,由維爾斯特拉斯判別法知所給級數(shù),在 (, +) 上 一致收斂 .,例3.,維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級數(shù)的一致收,斂性,而且能判別其絕對收斂性.,當不易觀察到不等式,可利用導數(shù)求,例如, 級數(shù),用求導法可得,已知,收斂,因此原級數(shù)在0, +) 上一致收斂 .,說明:,定理1.,若級數(shù),證:,只需證明,由于,二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì),因為級數(shù),一致收斂于S (x) ,使當 n N 時, 有,對這樣選定的 n ,從而必存在 0 ,從而得,證畢,(1) 定理1 表明, 對一致收斂的級數(shù),極限運算與無限,求和運算可交換,即有,(2) 若函數(shù)項級數(shù)不一致收斂時, 定理結(jié)論不一定成立.,例如, 級數(shù),在區(qū)間 0 , 1 上處處收斂,而其和函數(shù),在 x = 1 處不連續(xù) .,說明:,定理2.,若級數(shù),則該級數(shù)在 a, b 上可逐項積分,且上式右端級數(shù)在 a, b 上也一致收斂 .,證: 因為,所以只需證明對任意,一致有,根據(jù)級數(shù)的一致收斂性,使當,n N 時, 有,于是, 當 n N 時, 對一切,有,因此定理結(jié)論正確.,證畢,說明:,若級數(shù)不一致收斂時, 定理結(jié)論不一定成立.,例如, 級數(shù),它的部分和,因此級數(shù)在 0 , 1 上,收斂于 S (x) = 0 ,所以,但是,為什么對級數(shù)定理結(jié)論不成立?,分析它是否滿足,定理2 條件.,級數(shù)的余項,可見級數(shù)在 0, 1 上不一致收斂 ,此即定理2 結(jié)論,對級數(shù)不成立的原因.,定理3.,若級數(shù),且可逐項求導, 即,證:,先證可逐項求導.,根據(jù)定理2,上式兩邊對 x 求導, 得,再證,根據(jù)定理 2 ,而,所以,級數(shù)一致收斂并不保證可以逐項求導.,例如, 例3中的級數(shù),說明:,在任意區(qū)間上都一致收斂,但求導后的級數(shù),其一般項不趨于 0,所以對任意 x 都發(fā)散 .,證畢,例4.,證明函數(shù),對任意 x 有連續(xù)導數(shù).,解:,顯然所給級數(shù)對任意 x 都收斂 ,且每項都有連續(xù),導數(shù),而逐項求導后的級數(shù),故級數(shù)在 (,+),上一致收斂,故由定理3可知,再由定理1可知,定理4 . 若冪級數(shù),的收斂半徑,則其和函,在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導與,逐項求積分,運算前后收斂半徑相同,即,證: 關(guān)于和函數(shù)的連續(xù)性及逐項可積的結(jié)論由維爾斯,特拉斯判別法的推論及定理 1, 2 立即可得 .,下面證明逐項可導的結(jié)論:,證:,則,由比值審斂法知級數(shù),故,故存在 M 0 , 使得,由比較審斂法可知,上一致收斂,故原級數(shù),內(nèi)任一閉區(qū)間,上滿足定理3條件,從而可逐項求導,即知,再證級數(shù),的收斂半徑,由前面的證明可知,若將冪級數(shù),級數(shù)的收斂半徑不會縮小,因逐項積分所得,冪級數(shù),(R, R ) 內(nèi)有任意階導數(shù),且有,其收斂半徑都為 R .,推論.,的和函數(shù) S (x) 在收斂區(qū)間,證畢,德國數(shù)學家.,他的主要貢獻是在函數(shù),論及分析學方面.,1854年, 他解決了橢圓,