函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(24).ppt

函數(shù)的極值 與導(dǎo)數(shù)二,一、復(fù)習(xí)引入 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值： 若x0滿足 f/(x)=0,且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)_,則x0是f(x)的極值點(diǎn),f(x0)是極值,并且如果 f/(x) 在x0兩側(cè)滿足“_”,則x0是f(x)的_,f(x0)是_;如果 f/(x) 在x0兩側(cè)滿足“_”,則x0是f(x)的_,f(x0)是_.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.,從曲線的切線角度看,曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為_,右側(cè)為_;曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為_,右側(cè)為_.,二、例題選講:,例1:求y=x3/3-4x+4的極值.,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,當(dāng)x變化時(shí), ,y的變化情況如下表:,因此,當(dāng)x=-2時(shí)有極大值,并且,y極大值=28/3; 而,當(dāng)x=2時(shí)有極小值,并且,y極小值=- 4/3.,三.探索思考:,導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎?,可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn).例如,函數(shù)y=x3,在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點(diǎn),原因是函數(shù)在點(diǎn)x=0處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零.,因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的_,其充分條件是在這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào).,一般地,求函數(shù)y=f(x)的極值的方法是:,(1):如果在x0附近的左側(cè) f/(x)0 右側(cè) f/(x)0 , 那么f(x0)是極大值;,(2):如果在x0附近的左側(cè) f/(x)0 , 那么f(x0)是極小值.,求f/(x).令f/(x)=0得到x0,故當(dāng)x=-a時(shí),f(x)有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)x=a時(shí),f(x)有極小值f(a)=2a.,例2:求函數(shù) 的極值.,解:函數(shù)的定義域?yàn)?令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,當(dāng)x變化時(shí), ,f(x)的變化情況如下表:,練習(xí)1:求函數(shù) 的極值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,當(dāng)x變化時(shí), ,y的變化情況如下表:,因此,當(dāng)x=-1時(shí)有極大值,并且,y極大值=3; 而,當(dāng)x=1時(shí)有極小值,并且,y極小值=- 3.,函數(shù)的極值 與導(dǎo)數(shù)三,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,例3:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值為-1, 求a、b的值. (2)若 ,函數(shù)f(x)圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜 率為k,試討論k-1成立的充要條件 .,解:(1)由 得x=0或x=2a/3.故2a/3=4, a=6.,由于當(dāng)x0時(shí), 故當(dāng)x=0時(shí), f(x)達(dá)到極小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等價(jià)于當(dāng) 時(shí),-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10對(duì)一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,當(dāng)a1時(shí),g(x)0對(duì)一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要條件.,例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1處有極值,且極大值為 4,極小值為0.試確定a,b,c的值.,解:,由題意, 應(yīng)有根 ,故5a=3b,于是:,(1)設(shè)a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,(2)設(shè)a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.,練習(xí)1:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為 10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一個(gè)根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,當(dāng)a=-3,b=3時(shí), ,此時(shí)f(x)在x=1處無 極值,不合題意.,當(dāng)a=4,b=-11時(shí),-3/111時(shí), ,此時(shí)x=1是極 值點(diǎn).,從而所求的解為a=4,b=-11.,(1)函數(shù)的極值是一個(gè)_(局部、整體）的概念,極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)而不會(huì)是端點(diǎn).,(2)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)_(是、不是）單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.,(3)極大值一定比極小值大碼？.,(4)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點(diǎn)的分布是 有規(guī)律的,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值 點(diǎn),同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn). 一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值 點(diǎn)時(shí),函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)