函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(18).ppt

1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),【復(fù)習(xí)】已知函數(shù) f(x)=2x3 - 6x2 + 7, 求f(x)的單調(diào)區(qū)間,并畫出其大致圖象;,【思考】函數(shù) f(x)在 x0 和 x2 處的函數(shù)值與這兩點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?,一、復(fù)習(xí)與引入:,用“導(dǎo)數(shù)法”求函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的步驟：,極大值,極小值,二、新課函數(shù)的極值:,一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0及其附近有定義, 1.如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大,我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極大值; 2.如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小,我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值. 極大值與極小值統(tǒng)稱極值.,在定義中,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的值x0,極值指的是對應(yīng)的函數(shù)值f(x0).,y,x,x0,f(x),f(x0),x0,f(x0),(1)一個(gè)函數(shù)的極大值在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大. （ ）,考考你的判斷力：,(2)函數(shù)的極值是唯一的. （ ）,(3)函數(shù)的極大值一定大于極小值. （ ）,(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn). （ ）,如圖，函數(shù) y=f（x）在x1，x2，x3，x4等點(diǎn)的 函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？ y=f（x）在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=f（x）的導(dǎo)數(shù)的符號有什么規(guī)律？,探索思考：,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,極大值,f(x) 0,f(x) =0,極小值,f(x) 0,請問如何判斷f (x0)是極大值或是極小值？,左正右負(fù)為極大，左負(fù)右正為極小,函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù):,探索: x =0是否為函數(shù)f(x)=x3的極值點(diǎn)?,若尋找可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn),可否只由f(x)=0求得即可?,f(x)=3x2 當(dāng)f(x)=0時(shí)，x =0，而x =0不是該函數(shù)的極值點(diǎn).,f(x0) =0 x0 是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),x0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號 x0 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn) f(x0) =0,注意：f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件,探索,A,注意：數(shù)形結(jié)合以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像的區(qū)別,嘗試高考,三、例題選講:,例1:求y=x3/3-4x+4的極值.,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,當(dāng)x變化時(shí), ,y的變化情況如下表:,因此,當(dāng)x=-2時(shí)有極大值,并且,y極大值=28/3; 而,當(dāng)x=2時(shí)有極小值,并且,y極小值=- 4/3.,+,0,28/3,0,-4/3,+,求函數(shù)f(x)的極值的步驟如下:,(2).求導(dǎo)數(shù),(3).求方程 的根.,(4)檢查 在方程根左右的值的符號, 如果左正右負(fù), 那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值; 如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.,方法小結(jié)：,(1).確定函數(shù)的定義域；,強(qiáng)調(diào):要想知道 x0是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)就必須判斷 f(x0)=0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號.,(最好通過列表法),故當(dāng)x=-a時(shí),f(x)有極大值f(-a)=-2a; 當(dāng)x=a時(shí),f(x)有極小值f(a)=2a.,例2:求函數(shù) 的極值.,解:函數(shù)的定義域?yàn)?令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,當(dāng)x變化時(shí), ,f(x)的變化情況如下表:,a=2.,例3:函數(shù) 在 處具有極值，求a的值,分析：f(x)在 處有極值，根據(jù)一點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件可知， 可求出a的值.,解：, ， ,例4:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2處 有極值，求a、b的值,解：,因?yàn)樵趚=1和x=2處,導(dǎo)數(shù)為0,求函數(shù)f(x)的極值的步驟如下:,四、課堂小結(jié):,(2).求導(dǎo)數(shù),(3).求方程 的根.,(4)檢查 在方程根左右的值的符號, 如果左正右負(fù), 那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值; 如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.,(1).確定函數(shù)的定義域；,練習(xí)1:求函數(shù) 的極值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,當(dāng)x變化時(shí), ,y的變化情況如下表:,因此,當(dāng)x=-1時(shí)有極小值,并且,y極小值=-3; 而,當(dāng)x=1時(shí)有極大值,并且,y極大值=3.,思考題:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值為-1, 求a、b的值. (2)若 ,函數(shù)f(x)圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜 率為k,試討論k-1成立的充要條件 .,解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, a=6.,由于當(dāng)x0時(shí), 故當(dāng)x=0時(shí), f(x)達(dá)到極小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等價(jià)于當(dāng) 時(shí),-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10對一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,當(dāng)a1時(shí),g(x)0對一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要條件.,例3:下列函數(shù)中，x=0是極值點(diǎn)的函數(shù) 是( ) A.y=x3 B.y=x2 C.y=x2x D.y=1/x,分析：做這題需要按求極值的三個(gè)步驟，一個(gè)一個(gè)求出來嗎？不需要，因?yàn)樗灰袛鄕=0是否是極值點(diǎn)，只要看x=0點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號就可以了。,B,例6:下列說法正確