華中科技大學(xué)數(shù)理方程課件——第二章分離變量法.pptVIP

第二章 分離變量法,一、有界弦的自由振動,二、有限長桿上的熱傳導(dǎo),三、拉普拉斯方程的定解問題,四、非齊次方程的解法,五、非齊次邊界條件的處理,六、關(guān)于二階常微分方程特征值問題的一些結(jié)論,基本思想： 首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。,適用范圍：波動問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等,特點： a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學(xué)上由解的唯一性作保證； b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化。,一、有界弦的自由振動,令,代入方程：,令,代入邊界條件,1、 求兩端固定的弦自由振動的規(guī)律,特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)的常微分方程在一定條件下求非零解的問題,特征（固有）值：使方程有非零解的常數(shù)值,特征（固有）函數(shù)：和特征值相對應(yīng)的非零解,分情況討論：,1）,2）,3） 令 ， 為非零實數(shù),分離變量,求特征值和特征函數(shù),求另一個函數(shù),求通解,確定常數(shù),分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。,2 解的性質(zhì),x=x0時：,其中：,駐波法,t=t0時：,例1：設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦作微小橫向振動時的位移。,解：,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,解：,例2求下列定解問題,初始條件,例3 求下列定解問題,解：,由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特故原問題的解為,例4 求下列定解問題,令,代入方程：,解：,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,二 有限長桿上的熱傳導(dǎo),令,帶入方程：,解：,由例4知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為,滿足方程,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,令,代入方程：,令,例5 求下列定解問題,解：,由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,例6 求下列定解問題,解：令,于是得到一系列分離變量形式的特解,若 則u為多少？為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？,思考,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,若,分離變量流程圖,三 拉普拉斯方程的定解問題,1 直角坐標系下的拉普拉斯問題,解：,由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,例7 求下列定解問題,解：,由例6中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,例8 求下列定解問題,解：,由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,2 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題,例9 求下列定解問題,解：,（自然邊界條件）,（周期性邊界條件）,周期特征值問題,(歐拉方程),令,周期特征值問題,故以上周期特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為,（由自然邊界條件）,（由自然邊界條件）,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,例10 求下列定解問題,解：,（周期性邊界條件）,周期特征值問題,歐拉方程,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,其他為零,例11 求下列定解問題,解：,由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為,（自然邊界條件）,（由自然邊界條件）,例11 求解下列二維熱傳導(dǎo)方程的定解問題,解：,由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,例12 求下列熱傳導(dǎo)方程的定解問題,解法一：令,解法二：令,由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為,于是得到一系列分離變量形式的特解,這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為,常用特征值問題,周期特征值問題,四 非齊次方程的解法,求下列定解問題,方程是非齊次的，是否可以用分離變量法？,思考,由線性方程的疊加原理，令：,令：,為什么？,非齊次方程的特征函數(shù)展開法,用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方程的初值問題,例13 求下列定解問題,解：先解對應(yīng)的齊次問題,其特征值和特征函數(shù)為,例14 求下列定解問題,解：令,其特征值和特征函數(shù)為,用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方程的初值問題,例15 求定解問題,解：將原問題變換到極坐標系下：,周期特征值問題,非齊次方程的特征函數(shù)展開法,例16 求定解問題,周期特征值問題,非齊次方程的特征函數(shù)展開法,五 非齊次邊界條件的處理,解：首先要想辦法將非齊次條件齊次化。令,取,其中輔助函數(shù)滿足,常見非齊次邊界條件齊次化所使用輔助函數(shù),以上方法適用于波動方程、熱傳導(dǎo)方程和位勢方程。,例17 求下列定解問題,解：令,可以用非齊次方程的特征函數(shù)展開法求解以上問題。,若f(x,t)和非齊次邊界條件都與t無關(guān)，則此時W僅是x的函數(shù)W(x),此方法在使得非齊次邊界條件齊次化的同時將導(dǎo)致方程的非齊次化。能否做到兩者同時齊次化？,若能從中求出W(x,t)，就可以實現(xiàn)兩者同時齊次化。但一般很難求出!,例18 求下列定解問題,解：令,請與例17比較，研究其優(yōu)缺點。,例19 求定解問題,解：令,可以用分離變量法求解以上問題。,例20 求定解問題,解：令,可以用分離變量法求解以上問題。,例21 求定解問題,解：令,定解問題,選擇合適的坐標系,邊界條件非齊次，轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件,非齊次方程，齊次邊界條件,齊次方程，齊次邊界條件 直接用分離變量法,非齊次方程，齊次定解條件 特征函數(shù)展開法,應(yīng)用分離變量法求解定解問題的步驟,六 關(guān)于二階常微分方程特征值問題的一些